Радиотехнические цепи и сигналы. Математическое описание аналоговых сигналов и анализ их прохождения через линейные цепи
.pdf
20
2.7Спектральный анализ непериодических сигналов. Интеграл Фурье
Интеграл Фурье находим по формуле:
|
|
X (ω)= T∫X (t )exp{− jϖt}dt. |
|
( 2.25) |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Применяя метод интегрирования по частям, в ходе несложных матема- |
|||||||
тических вычислений получаем: |
t =U; dV = exp{− jωt}dt |
|
|||||
T |
Et |
2T |
|
||||
|
|
|
|
= |
|||
X (ω)= ∫ |
T |
exp{− jωt}dt + ∫ |
E exp{− jωt}dt = |
exp{− jωt} |
|||
0 |
T |
dt = dU; V = |
|
|
|
|
|
− jω |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t exp{− jωt} |
|
T |
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
∫exp{− jωt}dt + |
∫ E exp{− jωt}dt = |
||||||||||||
T |
jω |
|
|
|
jω |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T exp{− jωT} |
|
|
1 |
exp{− jωt} |
|
T |
|
|
|
E |
|
|
2T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
E |
− |
+ |
|
|
|
|
− |
|
exp{− jωt} |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T |
jω |
|
|
|
|
|
|
− jω |
|
|
|
jω |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
jω |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= TEω2 (exp{− jωT}+ jωT exp{− j2ωT}−1)
2.8 Графическое представление периодических и непериодических сигналов
Спектр сигнала для наглядности может быть представлен в графическом виде. Для построения графической картины спектра воспользуемся выражениями, полученными в подразделах 3.6 и 3.7.
2.8.1 Графическое представление амплитудного и фазового спектра для периодического сигнала.
Амплитуды спектральных составляющих дискретного спектра определим из выражения:
A = |
a2 |
+b2 . |
( 2.26) |
n |
n |
n |
|
Фазы гармонических составляющих определяются выражением:
ϕn = arctg |
bn |
. |
( 2.27) |
|
|||
|
an |
|
|
Используя эти формулы для нашего сигнала, получаем:
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|||
A = |
4E2 |
+ |
|
E2 |
= |
E 4 +π2n2 |
|
( 2.28) |
|||||||
π4n4 |
π2n2 |
|
|
|
π2n2 |
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
||
|
|
|
|
|
πn |
|
|
||||||||
|
ϕn = arctg |
|
|
|
|
|
|
= arctg |
( 2.29) |
||||||
|
|
|
|
2E |
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π2n |
|
|
|
||||
Построим спектральную диаграмму данного периодического сигнала
0,75A(n) |
|
|
|
|
|
0,37 |
|
|
|
|
|
|
0,167 |
|
|
|
|
|
0,11 |
|
0,08 |
0,065 |
|
|
|
|
0,05 |
||
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
n |
Рисунок 2.4. Амплитудный спектр периодического сигнала |
|||||
ф(n)[Rad] |
|
1,36 |
|
1,41 |
|
|
1,26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
Рисунок 2.5. Фазовый спектр периодического сигнала |
|||||
22
2.8.2 Графическое представление амплитудного и фазового спектра для непериодического сигнала
При построении спектра непериодического сигнала следует помнить, что данный спектр является непрерывным. Таким образом, задача построения
данного спектра сводится к построению его огибающей. |
|
|
||||||||||||
Координаты точек огибающей определим из соотношений: |
для ам- |
|||||||||||||
плитудного спектра |
|
X&(ω) |
|
= |
Re2 X&(ω)+ Im2 X&(ω), |
|
( 2.30) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
для фазового спектра |
ϕ(ω)= arctg |
Im X& (ω) |
, |
|
|
( 2.31) |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re X& (ω) |
|
|
||
где X (ω) - спектральная плотность непериодического сигнала (3.25) |
|
|||||||||||||
|
X (ω)= |
E (exp{− jωT}+ jωT exp{− j2ωT}−1) |
= |
|
||||||||||
|
|
Tω2 |
|
|||||||||||
|
E (exp{− jωT}−1) |
|
|
|
||||||||||
|
+ j |
E exp{− j2ωT} |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Tω2 |
|
|
|
ω |
|
|
|||||
X (ω) |
|
= |
E2 (exp{− jωT}−1)2 |
+ |
E2 exp{− j4ωT} |
= |
|
||||||
|
T 2ω4 |
ω2 |
||||
|
|
|
|
|
=E (exp{− jωT}−1)2 +exp{− j4ωT} =
ωω2T 2
= |
E |
|
(exp{− j2πn} |
−1)2 |
+ |
exp{ |
− |
π |
n} |
= |
(2.32) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2π fn |
|
|
|
4π2n |
|
|
|
|
|
j8 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E |
|
(cos 2πn − j sin 2πn −1)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+cos8πn − j sin 8πn = |
|
||||
2π fn |
|
|
|
4π2n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
E |
(1 −0 |
−1)2 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2n |
+1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π fn |
|
4π |
|
2π fn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
23 |
|
|
|
|
A(n) |
|
|
|
|
0,75 |
|
|
|
|
|
|
0,37 |
|
|
|
|
0 |
0,167 |
0,11 |
0,08 |
0,065 |
|
|
0,05 |
||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
Удалено: 3 |
Рисунок 2.6 Амплитудный спектр непериодического сигнала |
|||||
|
|
|
|
Eexp{−j2πn} |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(ω)=arctg |
|
|
|
ω |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E |
exp |
−j2πn |
−1 |
|||||
|
|
|
( |
{ |
} |
) |
|||
|
|
|
|
Tω2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
arctg (∞)= |
π . |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tωexp{−j2π} |
|
Tω(1−0) |
|
|||
|
=arctg |
|
|
=arctg |
|
|
= |
|
|
||||||
|
exp{−j2π}−1 |
|
|
(1−0 −1) |
( 2.33) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ф(n)[Rad]
1,26 |
1,36 |
1,41 |
1,44 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
n |
|
Удалено: 3
Рисунок 2.7 Фазовый спектр непериодического сигнала
24
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 2003. - 462 с.
2.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1986. - 512 с.
3.Сиберт У. М. Цепи. Сигналы. Системы. (в двух частях) – М.: Мир, 1988.
– 342 с., 359 с.
4.Каратаева Н.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Теория сигналов и линейные цепи: Учебное пособие. - Томск.: ТУСУР, ТМЦДО, 2001. - 260 с.
Отформатировано: русский
(Россия)
25
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Возможные виды сигналов и варианты построения простейших двухэлементных цепей
В1
2E
E
0
3
E
0 -E
В5
E
0
В7
E
0
В9
2E
E 0
T |
2T t |
T |
t |
T |
2T |
t |
T |
2T |
T |
t |
В2
E
0
В4
E
0
-E
В6
E
E 0
В8
E
0
В10
E
0
T |
t |
T |
t |
|
T |
t |
T |
2T |
T 2T |
3T |
t |
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
В11 |
|
|
|
|
В12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
T |
2T |
3T |
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
T |
-E |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
В13 |
|
|
|
|
В14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
T |
|
|
2T |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
-Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
T |
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В15 |
|
|
|
E |
В16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosωt |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
-T/4 |
0 T/4 |
t |
|
0 |
T |
2T |
t |
И1 |
|
|
Д1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
L |
C |
|
R |
||
R |
||
Д2 |
И2 |
|
R |
R |
|
L |
C |
|
|
27
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Томский государственный университет автоматизированных систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).
РАДИОКОНСТРУКТОРСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой КИПР, проф.
____________ В.Н.Татаринов
_________________________
ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
на курсовую работу_ __________________________________________________________ |
|
на курсовой проект |
(тема) |
_______Математическое описание аналоговых сигналов и анализ_____________
______их прохождения через линейные цепи. |
________________ |
|
|
|
|
по дисциплине_________Основы радиоэлектроники и связи__________________
Исполнитель: студент гр.________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
(фамилия) (имя) (отчество) обучающийся в университете по специальности 200800
Дата выдачи технического задания _______________________________________________
Срок сдачи законченного проекта (работы) на кафедру_______________________________
Руководитель курсового проекта (работы):_________________________________________
__________________________________________________________________________ __
(должность, место работы) (фамилия, имя, отчество)
28
ЦЕЛЬ И НАЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ. Целью настоящей курсовой работы является закрепленние теоретических знаний и приобретение навыка самостоятельной работы по анализу___
простых радиотехничских цепей при воздействии на них сигналов заданной формы.________
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
1.Найти системнную функцию для варианта линейной электрической цепи (см. рис. 1).___
2.Найти преобразование Лапласа для сигнала заданной формы (см.__ рис.2).______ _____
3.Определить образ по Лапласу сигнала на выходе цепи.______________________________
4.Выполнить обратное преобразование Лапласа и найти временную зависимость U(t).___
5.Найти временную зависимость U(t) используя интеграл свертки._____________________
6.Сравнить результаты полученные при выполнении заданий 4 и 5._____________________
7.Считая сигнал периодическим выполнить разложение в ряд Фурье.__________________
8.Считая сигнал непериодическим найти интеграл Фурье.____________________________
9.Построить спектры периодического и непериодического сигналов, сравнить их форму.__
Рис.1 |
Рис. 2 |
Результаты работы представляются руководителю не позднее указанной даты в виде “Пояснительной записки” оформленной в соответствии с требованиями
ОС ТУСУР 6.1 – 97*
Задание принял(а) к исполнению студент(ка) ___________________ /____________________/
подпись фамилия, инициалы
Руководитель курсового проекта (работы)
_________________________ / |
/ |