Радиотехнические цепи и сигналы. Математическое описание аналоговых сигналов и анализ их прохождения через линейные цепи

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

E (1 −exp{−2sT}−Ts exp{−2sT}− sT )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

773.31 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

бом графического представления дискретной спектральной информации является линейчатый график4.

1.6 Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье; теорема Фурье

Известно, что существует весьма обширный класс сигналов, не являющихся периодическими. Для анализа таких сигналов метод рядов Фурье неприменим и, следовательно, необходимо рассмотреть возможность расширения возможностей данного метода5.

Исследуя структуру ряда Фурье для периодической функции в предельном случае очень большого периода мы можем, устремив период к бесконечности, перейти к так называемому преобразованию Фурье:

X (ω)= ∞∫x(t )exp{− jωt}dt .

( 1.19)

По аналогии с преобразованием Лапласа, существует также обратное преобразование Фурье, (или интеграл Фурье) позволяющее восстановить временную зависимость x(t ):

	x(t )= ∞∫X (ω)exp{jωt}dω .			( 1.20)
	0
Величина	X (ω)dω представляет	собой «вклад» комплексной экспоненты
exp{jωt},	«содержащейся в x(t )	(поэтому величина	X (ω)	носит название

спектральной плотности x(t )).

Иначе говоря, выражение (2.20) анализирует функцию x(t) на основе использования её спектральных составляющих, а выражение (2.19) восстанавливает, или синтезирует x(t ) из этих составляющих.

Таким образом пара выражений (2.19) и (2.20) составляют теорему Фурье, которая утверждает, что процесс анализа-синтеза может выполняться без каких-либо потерь. Восстановленный сигнал по своей форме идентичен исходному сигналу.

Отметим, что в отличие от случая периодического сигнала, спектр непериодического сигнал является непрерывным. Однако в случае, если периодический сигнал представляет собой бесконечную последовательность импульсов, аналогичных некоторому непериодическому сигналу, спектры данных сигналов будут иметь аналогичную форму огибающей.

4Исторически название «линейчатый спектр» связано с тем обстоятельством, что обычно на выходе оптического спектрометра отдельные частотные составляющие имеют вид ярких линий.

5Обобщение ряда Фурье на случай непериодических функций было предложено самим Фурье.

1.7Графическое представление спектра сигнала

Как отмечалось выше, спектр сигнала, для наглядности, может быть представлен в графическом виде.

Для построения графической картины спектра воспользуемся выражениями (2.15 – 2.18) для случая периодического сигнала и выражением (2.20) для случая непериодического сигнала.

Построим амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Амплитуды спектральных составляющих дискретного спектра опреде-

лим из выражения

A =	a2	+ b2 .	( 1.21)
n	n	n

Фазы гармонических составляющих определяются выражением

ϕn = arctan	bn	.	( 1.22)

	an

При построении спектра непериодического сигнала следует помнить, что данный спектр является непрерывным. Таким образом, задача построения данного спектра сводится к построению его огибающей.

Координаты точек огибающей определим из соотношений:

для амплитудного спектра	X&(ω)		= Re2 X&(ω)+ Im2 X&(ω),			( 1.23)

для фазового спектра	ϕ	(ω)	= arctan	Im X&(ω)	,	( 1.24)
				Re X&(ω)

где X (ω) - спектральная плотность непериодического сигнала (2.20).

2 ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

2.1Определение системной функции радиотехнической цепи

Рассмотрим простую двухэлементную радиотехническую цепь (см.

рис.3.1)

Данная цепь является интегрирующей.

Рисунок 2.1

Определим системную функцию, используя выражение (2.6):

H(s)=UUВЫХВХ (s(s)).

Всоответствии с (2.7.) и (2.8) можем записать

U ВХ (s)= I (s)Z&ВХ (s);

U ВЫХ (s)= I (s)Z&ВЫХ (s).

Определим входное и выходное комплексные сопротивления данной

цепи:

Z&ВХ (s)= R + 1sC ;

( 2.1)

Z&ВЫХ (s)= 1sC ,

( 2.2)

где s =σ + jω - комплексная частота.

Полагая силу тока I (s) постоянной,

перепишем (2.6) с учетом (3.1) и

(3.2):

UВЫХ (s)

I (s)1sC

1sC

H (s)=

I (s)[R + 1

[R + 1

( 2.3)

UВХ (s)

sC[sRC +1]

τ0s +1

где τ0 = RC - постоянная времени.

2.2Преобразование Лапласа сигнала заданной формы

Найдем преобразование Лапласа для сигнала, изображенного на рис. 3.2.

Рисунок 2.2

Воспользуемся выражением (2.1):

X (s)= L[x(t )]= ∞∫x(t )exp{− st}dt .

Для нахождения преобразования Лапласа определим, прежде всего, запишем функцию времени x(t) для данного сигнала (рис. 3.2):

x(t )= TE t − E .

Подставляя (2.3) в (2.1) получим:

2T E
X (s)= ∫		t − E exp{− st}dt .
0	T
0

( 2.4)

( 2.5)

При выполнении интегрирования выражение (3.5) распадается на два интеграла:

		E	2T				2T
X (s)=		E	∫ t exp{− st}dt − E ∫exp{− st}dt .							( 2.6)
X (s)=		T	∫ t exp{− st}dt − E ∫exp{− st}dt .							( 2.6)
		T	0				0
			0				0
Взятие интеграла	2∫T exp{−st}dt				не представляет сложности:
	0
2∫Texp{− st}dt = −				1 exp{− st}		2T	= −exp{− 2sT}	+	1 .	( 2.7)
2∫Texp{− st}dt = −				1 exp{− st}		2T	= −exp{− 2sT}	+	1 .	( 2.7)
0				s		0	s		s
0				s		0	s		s
2T
Интеграл ∫t exp{− st}dt				находим, используя метод интегрирования по
0

частям.

Известно, что ∫UdV =UV − ∫VdU . Для данного интеграла определим,

что

U =t ;

dV = exp{− st}dt ;

dU = dt ;

V = −1 exp{− st}.

Таким образом, можем записать:

exp{− st}t

∫t exp{− st}dt = −

+ ∫

exp{− st}dt =

= −

exp{− st}t

1 2T

∫exp{− st}dt =

exp{− st}t

= −

−

exp{− st}

2T exp{− 2Ts}

= −

exp{−

2Ts}+

−

= −

2T exp{− 2Ts}

−

exp{− 2Ts}+

= − 2Ts exp{− 2Ts}− exp{− 2Ts}+1.

( 2.8)

С учетом (3.6) и (3.7) запишем частотную зависимость

X (s) в оконча-

тельном виде:

E − 2Ts exp{− 2sT}− exp{− 2sT

}+1

X (s)=

−

exp{−

2sT

}

E(1 − exp{− 2sT}−Ts exp{− 2sT}− sT )

− E

−

s2T

2.3Образ по Лапласу сигнала на выходе цепи

Для нахождения образа по Лапласу сигнала на выходе рассматриваемой нами цепи используем выражение (2.12):

Y (s)= H (s)X (s).

Необходимые для этого параметры – системная функция цепи H (s) и преобразование Лапласа X (s) были нами найдены ранее (см. выражения (3.3) и (3.8) соответственно):

H (s)= τ0s1+1 ;

X (s)= E(1 − exp{− 2sT}−Ts exp{− 2sT}− sT ). s2T

						15
Y (s)= H (s)X (s)=			1	E(1 − exp{− 2sT}−Ts exp{− 2sT}− sT )=
Y (s)= H (s)X (s)=				E(1 − exp{− 2sT}−Ts exp{− 2sT}− sT )=
=	τ0		τ0s +1				s2T
=	τ0	* E((1 − exp{− 2sT}−Ts exp{−						2sT}− sT )).
	1							( 2.9)
					1		2
				s +	1	(s	T )
					τ0

2.4Определение временной зависимости U (t) с использованием

обратного преобразования Лапласа

Как было отмечено ранее, задача определения временной зависимости U (t) по заданной функции комплексной частоты может быть разрешена с

помощью обратного преобразования Лапласа (2.2) сигнала на выходе цепи:

x(t)= L−1[Y (s)]= 1 ∫Y (s)exp{st}ds . 2πj C

Обратное преобразование Лапласа может быть найдено с использованием теоремы разложения Хевисайда (2.4):

x(t )= k1 exp{s p1t}+ k2 exp{s p2t}+... + km exp{s pmt}.

Чтобы применить разложение Хевисайда мы, прежде всего, должны определить полюса (корни полинома знаменателя функции, описывающей исследуемый сигнал) и вычеты (постоянные коэффициенты разложения).

Сигнал на выходе цепи, найденный нами в предыдущем разделе работы, описывается выражением (3.9):

Определим полюса и вычеты для данной функции. Очевидно, что полином знаменателя имеет два корня:

s p2 = 0 .

Для определения вычета k1 можно воспользоваться выражением:

ki =[X (s)(s − spi )]s=s pi ,

где X (s) - образ по Лапласу входного сигнала.

( 2.10)

( 2.11)

−exp{−2sT}

−Ts exp{−2sT}

− sT ) s +

τ0

−exp

0 }

exp 2T

τ0}

s=−τ0

τ0

{

τ0

( 2.12)

1τ2

τ0 }

Eτ0

+ T

exp 2T

1 −exp 2T

τ0

{

τ0

Найдем вычет k2 :

E (1 −exp{−2sT}−Ts exp{−2sT}− sT )

τ0

s T

d E

( 2.13)

−

exp{−2sT}− Es exp{−2sT}− Es

=2E exp{−2sT}− E exp{−2sT}+ 2EsT exp{−2sT}− E =

=2E − E − E = 0

U (t): С учетом (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) запишем временную зависимость

Eτ

+ T

− exp 2T

τ0

exp 2T

U (t )=

τ0

( 2.14)

exp −t

τ0

2.5Определение временной зависимости U (t ) с использованием

интеграла свертки

Как было указано в разделе 2, метод определения временной зависимости путем обратного преобразования Лапласа сигнала на выходе цепи не является единственным. Того же результата можно достичь, используя интеграл свертки.

Интеграл свёртки имеет вид (2.13)

y(t) = ∫t x(τ)h(t −τ)dτ ,

где h(t ) - импульсная реакция цепи, т.е. реакция цепи при воздействии на неё

единичного импульса.

Импульсная реакция радиотехнической цепи определяется как обратное преобразование Лапласа системной функции H (s) (2.6).

Системная функция данной (интегрирующей) цепи имеет вид (3.3)

H (s)=τ0s1+1 .

………………………………………………………………………………

При определении импульсной реакции цепи необходимо проверить, удовлетворяет ли системная функция требованиям, предъявляемым к

изображениям по Лапласу lim H (s) = 0 .

s→∞

Это условие может не выполняться (например, для фильтров верхних частот). В этом случае из системной функции следует выделить целую часть.

Для дифференцирующей цепи, состоящей из R и С, системная функция

HDIF (s)= τ0s преобразуется следующим образом:

τ0s +1

HDIF (s)=	τ0s +1−1	=1−	1	.
			τ0s +1
	τ0s +1

……………………………………………………………………………..

Для определения импульсной реакции найдем обратное преобразование Лапласа от функции (3.3).

Найдем полюсы и вычеты системной функции.

						s p1 = −						1		;	( 2.15)
						s p1 = −								;	( 2.15)
											τ0
					1
					1

			s +							1
k	=			τ0					=	1			.		(	2.16)
k	=								=				.		(	2.16)
1					1					τ	0
					1

		τ0 s +
					τ0
С учетом (3.15) и (3.16) запишем импульсную реакцию:
h(t )=		1					1								(	2.17)
		1	exp −				1	.
	τ0		exp −					.
	τ0					τ0

Используя выражения (2.13) и (3.17) вычислим временную зависимость U (t ).

2.6 Спектральный анализ периодических сигналов

Для сигнала, изображенного на рис. 3.3, временная функция x(t ) записывается следующим образом.

Рисунок 2.3

На интервале [0;T]	X1 (t )=			E	t	.	( 2.18)

				T
На интервале [T;2T]	X2 (t )= E .						( 2.19)
X (t) = X1(t) + X2	(t) =	E	t + E				( 2.20 )

		T

При выполнении пункта расчетов предполагается, что сигнал представляет собой периодическую последовательность импульсов заданной формы (см. рис. 3.3) со скважностью 1. В наших обозначениях период сигнала равен

- 2T .

Для анализа периодических сигналов используется разложение в ряд Фурье, т.е. представление функции X (t) в виде взвешенной суммы гармони-

ческих колебаний:

N	2πnt	N	2πnt
X (t )= a0 + ∑an cos	2πnt	+ ∑b0 sin	2πnt	,
n=1	T	n=1	T

где a0 , an , bn , - коэффициенты ряда Фурье:

a	=		1		TП	x	(	t dt;
a	=		T		∫	x		t dt;
0			T		∫			)
				П	0
				2	T
an =				2	∫П x(t )cos 2Tπnt dt;
an =				T	∫П x(t )cos 2Tπnt dt;
				П	0			П
		2			T		(t )sin 2Tπnt dt.
bn =		2			∫П x
bn =		T			∫П x
				П	0			П

( 2.21)

( 2.22)

Находим эти коэффициенты, учитывая сигнал (рис. 3.3). Используя метод интегрирования по частям, находим коэффициенты an , bn :

=t; cos

πnt

dt = dV ;

2πnt

t cos

E cos

dt =

2T ∫0 T

2T T∫

T sin πnt

dU = dt;

V =

πn

πnt

E 2T

πnt

T sin

πnt

tT sin

∫0 t cos

dt +

T∫cos

dt =

− ∫0

dt +

T 2

πn

+ E

πnt dt =

−

cos

+0 = −

2 2

T T∫

π n

πnt

= dV ;

2πnt

U =t; sin

t sin

E sin

dt =

2T ∫0 T

2T ∫0

T cos

πnt

= dt; V = −

πn

πnt

E 2T

πnt

tT cos

πnt

T T cos

πnt

∫0 t sin

dt + T T∫sin

dt =

−

+ ∫0

−

T 2

πn

−

cos

πnt

E T 2

−

= −

πn

T 2 πn

πn

T 2

Находим a0 : a0 =

∫

Edt

+ 2ET − ET

( 2.23)

Таким образом, функция X (t)

при разложении в ряд Фурье принимает

вид:

cos πnt

πnt.

X (t )=

−∑

sin

( 2.24)

n=1

πn

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023592.67 Кб23Радиотехнические системы.-2.pdf
#
05.02.2023323.87 Кб13Радиотехнические системы.-3.pdf
#
05.02.2023438.84 Кб24Радиотехнические системы.-4.pdf
#
05.02.20233.47 Mб48Радиотехнические системы..pdf
#
05.02.20236.52 Mб24Радиотехнические цепи и сигналы. Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация.pdf
#
05.02.2023773.31 Кб23Радиотехнические цепи и сигналы. Математическое описание аналоговых сигналов и анализ их прохождения через линейные цепи.pdf
#
05.02.2023986.56 Кб17Радиотехнические цепи и сигналы. Ч. 2 Нелинейная радиотехника.pdf
#
05.02.20232.11 Mб41Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1 Теория сигналов и линейные цепи-1.pdf
#
05.02.202324.88 Mб18Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1 Теория сигналов и линейные цепи.pdf
#
05.02.20231.27 Mб27Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1. Математическое описание сигналов и расчет характеристик.pdf
#
05.02.2023450.74 Кб22Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1.pdf