Высшая математика IV. Теория вероятностей

Пример 4. Даны плотности распределения независимых

= 0,1e−0,5x−0,2y , если x ≥ 0, y ≥ 0. Для отыскания ρ(z) воспользуемся приёмом, описанным в свойстве 10 плотности рас-

3.4. Математическое ожидание от функции нескольких случайных аргументов

Пусть дана случайная величина Z = ϕ(X, Y ), являющаяся функцией двух случайных аргументов X и Y .

Если случайные величины X и Y дискретны и известна матрица распределения, т.е. заданы вероятности pij = P (X = = xi, Y = yj ), то

i,j

Пусть система непрерывных величин (X, Y ) распределена в области D плоскости (O, X, Y ) с плотностью ρ(x, y). Найдём математическое ожидание случайной величины Z = ϕ(X, Y ),

81

не находя плотности распределения ρ(z). Предположим функции ϕ(x, y) и ρ(x, y) интегрируемыми по Риману. Разобьём область D на n частичных областей Di площадью ∆Si, в каждой из частичных областей выберем по точке (ξi, ηi) и построим

дискретную случайную величину ˜ с рядом распределения

Z

при условии сходимости этого интеграла.

Формулы (3.15) и (3.17) легко обобщаются на любое число

аргументов. Так, если U = ϕ(x, y, z), то

M [U ] = (D)ϕ(x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz, где D — область определения системы.

Пример 1. Дана матрица

распределения системы (X, Y ) двух дискретных случайных величин. Найти M [Z], если Z = X2 + Y 2.

82

Решение. Применяя формулу (3.14), получаем

M [Z] = [(−2)2 + 1] · 0,32 + (32 + 1) · 0,18 + [(−2)2 + 42] · 0,13+

+(32 + 42) · 0,37=1,60+1,80+2,60+9,25=15,25. Пример 2. Система непрерывных случайных величин

(X, Y ) задана в круге x2 + y2 ≤ R2 плотностью распределе-

2

ния ρ(x, y) = πR4 (x2 + y2). Найти математическое ожидание случайной величины Z = X2 · Y 2.

3.5. Характеристики связи двух случайных величин

3.5.1. Кривые регрессии (условные математические ожидания)

Пусть даны две случайные величины X и Y . Наиболее полную характеристику их связи дают либо условные функции распределения F (x/y), F (y/x), либо условные плотности ρ(x/y), ρ(y/x). Иногда достаточны менее полные характеристики, но более просто определяемые. К таким и относятся условные математические ожидания или функции регрессии одной случайной величины на другую.

Для дискретных случайных величин X и Y условные математические ожидания мы определили в подразделе 3.1. Для непрерывных величин полагают:

83

Условное математическое ожидание M [X/Y = y], как это следует из (3.18), есть некоторая функция ψ(y) аргумента y. Её называют функцией регрессии случайной величины X на случайную величину Y . График функции x = ψ(y) называют кривой регрессии случайной величины X на Y . Соотношение (3.19) определяет функцию ϕ(x), называемую функцией регрессии Y на X, а её график называют кривой регрессии Y на X.

Функции ϕ(x) и ψ(y) дают представление о виде зависимости случайных величин X и Y . Графики этих функций получаются при экспериментальном исследовании вида зависимости двух случайных величин.

Если случайные величины X и Y независимы, то кривые регрессии являются прямыми, параллельными осям координат, пересекающимися в точке (mx, my ).

Для характеристики степени отклонения экспериментальных точек от кривой регрессии применяют условные диспер-

сии, определяемые для непрерывных величин соотношениями:

D[Y /X = x] = +∞

D[X/Y = y] = −+∞∞

−∞

Для дискретных величин эти формулы принимают вид:

D[Y /X = xi] = (yj − M [Y /X = xi])2P (yj /xi),

j

D[X/Y = yj ] = (xi − M [X/Y = yj ])2P (xi/yj ).

i

Пример. Система (X, Y ) распределена равномерно в тре-

угольнике с вершинами O(0, 0), A(2, 0), B(2, 4), т.е.

c, если (x, y) лежит внутри треугольника OAB, 0, в остальных точках.

Найти функции регрессии y = ϕ(x) и x = ψ(y). (Так как c = S1 ,

1

где S — площадь области D, то в нашем случае c = 4 = 0,25.)

Решение. Зафиксируем каким-либо образом X = x в промежутке (0,2). При этом значении x величина Y меняется равно-

мерно в интервале [0, 2x). Поэтому M [Y /X = x] = 0 + 2x = x

2

84

(см. подраздел 2.9). Следовательно, ϕ(x) = x. При фиксированном значении y величины Y из промежутка (0,4) величина

Такой простой способ отыскания функций регрессии пригоден лишь для равномерных распределений. В общем случае

Мы пришли к тому же результату.

3.5.2. Коэффициент корреляции

Функции регрессии хорошо характеризуют зависимость одной случайной величины от другой, но их отыскание связано с громоздкими вычислениями. Применяют более простые, хотя и не столь полные характеристики. К таким и относится коэффициент корреляции.

Для числовой характеристики степени зависимости величин X и Y используют величину M [(X − mx)(Y − my )], называемую ковариацией случайных величин X и Y , которая обозначается cov(X, Y ). Для непрерывных величин

+∞ +∞

cov(X, Y ) = (x − mx)(y − my )ρ(x, y)dxdy, (3.20)

−∞ −∞

85

ij

Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то cov(X, Y ) = 0.

Доказательство проведём для непрерывных случайных величин. Если случайные величины X и Y независимы, то ρ(x, y) = ρ1(x)ρ2(y), следовательно, по формуле (3.20)

Обратное утверждение неверно, т.е. из того, что cov(X, Y ) = = 0, не следует независимость величин X и Y . Для зависимых величин cov(X, Y ) может быть как равной нулю, так и отличной от нуля.

Случайные величины X и Y называются коррелированными, если rxy = 0 и некоррелированными, если rxy = 0. Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы. Зависимые случайные величины могут быть как некоррелированными, так и коррелированными.

Как мы покажем в следующем подразделе, коэффициент корреляции характеризует не любого вида зависимости случайных величин, а лишь только линейные. Величина rxy — это мера линейной зависимости случайных величин.

Непосредственное применение формул (3.20) и (3.21) для вычисления ковариации не всегда удобно. Преобразуем эти формулы.

Пользуясь аддитивным свойством двойного интеграла, из (3.20) получаем

86

Воспользуемся далее свойствами 7 и 5 плотности распределения. Получим

ij

Формулы (3.22) и (3.23) можно объединить в одну

распределения системы дискретных случайных величин. Найти cov(X, Y ).

Решение. Находим ряды распределения для X и Y :

Следовательно, mx = 0,6 + 0,8 = 1,4, my = 1,5 + 2,0 = 3,5.

По формуле (3.23) получаем cov(X, Y ) = 1 · 3 · 0,2 + 3 · 2 · 0,3+ +4 · 1 · 0,4 + 4 · 2 · 0,1 − 1,4 · 3,5 = 0,6 + 1,8 + 1,6 + 0,8 − 4,9 = = 4,8 − 4,9 = −0,1.

Пример 2. Двумерная случайная величина (X, Y ) задана плотностью распределения

87

Решение. В примере 3 из подраздела 3.3 мы нашли, что

3.6. Теоремы о свойствах числовых характеристик случайных величин

3.6.1.Свойства математического ожидания

Вподразделе 2.4 мы уже показали, что

M [C] = C, M [CX] = CM [X], C = const.

Теорема 1. Если случайные величины X и Y имеют конечные математические ожидания, то M [αX + βY ] = αM [X] + +βM [Y ], где α и β — константы.

Доказательство теоремы проведём для непрерывных случайных величин. Пусть ρ(x, y) — плотность распределения системы (X, Y ), тогда по формуле (3.16) находим

88

этом мы воспользовались формулами (3.11)).

Если α = β = 1, то M [X + Y ] = M [X] + M [Y ].

Теорему 1 легко обобщить на любое число слагаемых и по-

лучить M [α1X1 + α2X2 + . . . + αnXn] = α1M [X1] + α2M [X2] + + . . . + αnM [Xn].

Теорема 2. Если случайные величины X и Y имеют конеч-

Соотношение (3.25) следует из формулы (3.24). В частности, если X и Y некоррелированы, то cov(X, Y ) = 0 и тогда

M [X · Y ] = M [X] · M [Y ].

3.6.2.Свойства дисперсии

Вподразделе 2.6 мы уже показали, что

D[C] = 0, D[CX] = C2D[X], где C — константа.

Теорема 3. Для любых случайных величин, имеющих конечную дисперсию, справедливо соотношение

Доказательство. D[X + Y ] = M [(X + Y − M [X + Y ])2] = = M [{(X −mx) + (Y −my )}2] = M [(X −mx)2] + M [(Y −my )2]+ +2M [(X − mx)(Y − my )] = M [(X − mx)2] + M [(Y − my )2]+ +2M [(X − mx)(Y − my )] = Dx + Dy + 2cov(X, Y ).

Для некоррелированных величин D[X + Y ] = D[X] + D[Y ]. Пользуясь свойством D[CX] = C2D[X] и формулой (3.26),

легко показать, что

89

3.6.3. Свойства коэффициента корреляции. Понятие линейной среднеквадратичной регрессии

Теорема 4. Для любых случайных величин X и Y , имеющих

ку Z1,2 ≥ 0, то и M [Z1,2] ≥ 0, а потому 1 ± rxy ≥ 0, т.е. −1 ≤ rxy ≤ 1.

Теорема 5. Если случайные величины X и Y связаны ли-

нейной зависимостью Y = aX + b, где a и b константы, то

1, если a > 0, −1, если a < 0.

Доказательство. По свойству математического ожидания

my = amx + b, поэтому Y −my = aX + b −amx −b = a(X −mx). Следовательно,

cov(X, Y ) = M [(X − mx)(Y − my )] = M [a(X − mx)2] = aDx, D[Y ] = M [(Y − my )2] = M [a2(X − mx)2] = a2Dx,

90