Высшая математика IV. Теория вероятностей

функции Лапласа (приложение C) находим Φ(0,5) = 0,1915,

Φ(1) = 0,3413. P (2 < X < 3) = 0,3413 − 0,1915 = 0,1498.

Пусть δ > 0 — произвольное число. Вычислим вероятность P (|X − a| < δ) того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую δ. Так как P (|X − a| < δ) = P (a − δ < X < a + δ), то по формуле (2.37) при α = a − δ, β = a + δ получаем

Пусть δ = 3σ. Тогда из (2.38) следует, что

P (|X − a| < 3σ) = 2Φ(3) = 2 · 0,49865 = 0,9973,

т.е. событие |X − a| < 3σ почти достоверно.

Таким образом, вероятность того, что нормальная случайная величина примет значения вне интервала (a − 3σ, a + 3σ) равна всего 0,0027. Такое событие можно практически считать невозможным. В этом и заключается правило трёх сигм, часто применяемое на практике для доказательства нормальности эмпирических случайных величин.

2.11.4. Линейное преобразование нормальной случайной величины. Композиция нормальных законов распределения. Центральная предельная теорема

Пусть X — нормальная случайная величина N (a, σ2). Покажем, что величина Z = αX + β, где α и β константы, также нормальна и найдём её параметры. По второй формуле из (2.28) кумулянтная функция величины Z может быть записана

плотность распределения, следует, что величина Z = αX + β распределена нормально с законом N (αa + β, α2σ2). Как видим, при линейном преобразовании нормальной величины она остаётся нормальной, при этом изменяется как расположение, так и форма нормальной кривой.

63

Пусть даны две независимые нормальные случайные величины X и Y с параметрами (a1, σ12) и (a2, σ22) соответствен-

Отсюда следует, что величина Z также нормальна, причём

M [Z] = a1 + a2, σ[Z] = σ12 + σ22.

Легко показать, что сумма любого числа нормальных величин приводит к нормальной же величине. Как показано А.М. Ляпуновым, нормальный закон возникает во всех случаях, когда случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин (не обязательно нормальных), каждая из которых в отдельности незначительно влияет на сумму. Этим объясняется широкое распространение в природе нормального распределения.

Теоремы, выясняющие условия, которые приводят к нормальному, закону, называют центральными предельными теоремами. Мы познакомимся с одной простейшей формой предельной теоремы, относящейся к одинаково распределённым величинам.

Теорема. Если X1, X2, . . . , Xn независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ2 < ∞, то при неограниченном увеличении n закон распределения величины

Yn = X1 + X2 +√. . . + Xn − nm nσ

неограниченно приближается к нормальному закону. Доказательство. Так как величины Xi имеют общий закон

распределения, то они имеют и общую кумулянтную функцию ϕ(t). Представим функцию ϕ(t) рядом Тейлора в окрестности

точки t = 0:

ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ (0)t + ϕ (0) t2 + α(t), 2!

64

где α(t) — величина порядка малости выше второго относительно t. Так как ϕ(0) = 0, ϕ (0) = im, ϕ (0) = −σ2 (см. фор-

σ2

мулу (2.31)), то ϕ(t) = imt − 2 t2 + α(t). По свойству куму-

личины !, то по формуле (2.28), в которой надо положить

Y

личины Yn при n −→ ∞ неограниченно приближается к куму-

лянтной функции нормированного нормального закона. Можно доказать, что при этом закон распределения величин Yn неограниченно приближается к нормальному.

Замечание. Если закон распределения случайных величин

Xn − An

Bn

но доказать, что случайную величину Xn при достаточно больших n приближённо можно считать нормальной с параметрами

(An, Bn2 ).

65

Ранее (см. подраздел 2.4, пример 5) мы показали, что случайную величину X, распределённую по биномиальному закону, можно представить в виде суммы X = X1 + X2 + . . . + Xn величин, распределённых по одному закону с математическим ожиданием p и дисперсией p(1 − p). При этом M [X] = np, D(X) = np(1 − p) = npq, q = 1 − p. По центральной предельной теореме при неограниченном возрастании n закон распре-

X − np

деления величин √npq сходится к нормированному нормальному, следовательно величина X является приближённо нор-

при достаточно больших m. Интегральная теорема Лапласа следует из формулы (2.37), в которой надо положить α = m1,

β = m2, a = np, σ = npq.

2.12. Закон больших чисел

При выполнении некоторых широко встречающихся условий средний результат действия большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и может быть предсказан с большой степенью точности. Эти условия выясняются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. В данном подразделе мы приведём несколько теорем, относящихся к этому типу.

2.12.1. Неравенство Чебышева. Понятие сходимости по вероятности

Пусть дана случайная величина X с конечным математическим ожиданием mx и конечной дисперсией Dx. Тогда для любого α > 0 справедливо неравенство

66

Неравенства (2.39) и (2.40) получены Чебышевым и называются его именем.

Доказательство. Проведём для непрерывных случайных величин. Пусть ρ(x) — плотность распределения X. Тогда

Неравенство Чебышева даёт только верхнюю границу вероятности заданного отклонения. Последняя не может превзойти эту границу ни при каком законе распределения. Для некоторых распределений эта граница может быть уточнена. Например, если в неравенстве (2.39) положить α = 3σx, то

распределения, встречающихся на практике, вероятность того,

что значения случайной величины выйдут за пределы участка

1

(mx −3σx, mx + 3σx), значительно меньше 9 . Так, для нормаль-

ного распределения она равна примерно 0,0027.

Дадим определение нового понятия — сходимости по вероятности.

Пусть дана последовательность случайных величин {Xn}. Говорят, что последовательность {Xn} сходится по вероятности к числу a, если для любых чисел ε > 0 и δ > 0 найдётся такое число N (ε, δ), зависящее от ε и δ, что для всех n > N

2.12.2. Теорема Чебышева и некоторые её следствия (теоремы Бернулли и Пуассона)

Теорема 1. Если X1, X2, . . . , Xn, . . . — последовательность попарно независимых случайных величин с конечными мате-

матическими ожиданиями mx1 , mx2 , . . . , mxn , . . . и дисперсиями Dx1 , Dx2 , . . . , Dxn , . . ., ограниченными одним числом L, т.е.

67

ожидания и дисперсии для независимых случайных величин,

большим, чтобы выполнялось неравенство εL2n < δ для любого δ > 0. Тогда

ных величин и средним значением математических ожиданий стремится по вероятности к нулю.

Следствие 1. Пусть X1, X2, . . . , Xn, . . . — последовательность случайных величин, распределённых по одному закону, имеющему конечное математическое ожидание m и конечную

= Dn . Положив D[Xk ] = D и выбрав n настолько большим,

68

чтобы выполнялось неравенство D < δ, неравенство (2.42) nε2

приведём к виду

Следствие 2 (теорема Бернулли). Пусть производится n независимых опытов по схеме Бернулли (см. подраздел 1.7), в каждом из которых может появиться с постоянной вероятностью p некоторое событие A. При неограниченном увеличении числа опытов n относительная частота p появления события A сходится по вероятности к p.

Доказательство. Введём в рассмотрение величины Xk — число наступлений события A в k-ом опыте. Так как P (Xk =

= 0) = 1 − p, P (Xk = 1) = p, то M [Xk ] = p, D[Xk ] = p(1 − p). Если X — число наступлений события A в n опытах, то X =

(2.43) принимает вид P (|p − p| < ε) > 1 −δ. Отсюда и следует справедливость теоремы Бернулли.

Теорема Бернулли объясняет причину устойчивости относительной частоты при большом числе испытаний и даёт теоретическое обоснование статистическому определению вероятности.

Следствие 3 (теорема Пуассона). Если производится n независимых опытов и вероятность появления события A в k-ом опыте равна pk, то при возрастании n относительная частота p появления события A сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей pk.

Доказательство. Представим величину X — число наступлений события A в n опытах, как и в следствии 2, в виде сум-

69

ских применений теории вероятностей, так как обычно при повторении опытов трудно, а иногда и невозможно соблюсти одни и те же условия опыта. Однако, как утверждает теорема Пуассона, и здесь наблюдается определённая устойчивость средних.

На теореме Чебышева, её обобщениях и следствиях основан выборочный метод в математической статистике, позволяющий по сравнительно небольшому числу обследованных объектов делать достаточно надёжные выводы о всей совокупности этих объектов.

70