Высшая математика IV. Теория вероятностей

Все другие выборки с возвращением при этих же числах m1, m2, . . . , mn сводятся к перестановке элементов последовательности (4), но при этом m1! · m2! · . . . · mn! выборок, получающихся перестановкой только элементов a1, только элементов a2, . . . , только элементов an, неразличимы, т.е. дают одну и ту же выборку. Поэтому

где m = m1 + m2 + · · · + mn.

Пример 6. На тарелке лежат 4 яблока, 2 персика и 5 слив. Сколько существует способов взять три плода?

Решение. В данном случае m = 4 + 2 + 5 = 11, m1 = 4, m2 = 2, m3 = 5. Неизвестное число способов, очевидно, равно

˜ . По формуле (5) получим:

P11

A6. Размещение без повторения

Пусть дано конечное множество A объёма n, т.е. |A| = n, и m ≤ n — любое натуральное число. Размещением без повторения из n элементов по m называется любая упорядоченная выборка без возвращения объёма m из множества A объёма n. Число всех размещений из n элементов по m обозначают Amn . Пусть, например, множество A состоит из элементов {a, b, c}. Тогда различными размещениями по два элемента из трёх являются подмножества {a, b}, {b, a}, {b, c}, {c, b}, {a, c}, {c, a}, которые мы уже отмечали, т.е. A23 = 6. Если множество A содержит n элементов, то любое упорядоченное множество из m элементов строим следующим образом. Первый элемент можно выбрать n способами, второй элемент — (n − 1) способами из оставшихся и так далее, m-й элемент — (n −m + 1) способами. По правилу произведения всё множество можно выбрать n(n − 1)(n − 2) · · · · · (n − m + 1) способами, т.е.

Это формула числа размещений из n элементов по m без повторения.

141

Пример 7. На четыре различных должности претендует 9 кандидатов. Сколько существует вариантов занять эти должности?

Решение. Это число, очевидно, равно A49. По формуле (6)

при n = 9, m = 4 находим: A49 = 9 · 8 · 7 · 6 = 72 · 42 = 3024.

Пример 8. Из 10 изучаемых предметов для сдачи экзамена ученики должны выбрать три. Сколько вариантов расписания экзаменов можно предположить?

Решение. Число вариантов расписания экзаменов совпадает с числом A310 = 10 · 9 · 8 = 720.

A7. Размещение c повторением

Пусть дано множество A объёма n. Размещением по m элементов из множества A с повторениями называется любая упорядоченная выборка с возвращением объёма m. Их число

обозначим через ˜m. Поскольку каждый отбираемый элемент

An

возвращается в исходное множество, то любой элемент разме-

Пример 9. Три стрелка, первый, второй и третий, стреляют по шести различным целям, выбирая цель случайно, независимо друг от друга. Сколько существует вариантов обстрела этих целей?

Решение. Каждый стрелок может выбрать цель шестью способами. Поэтому множество вариантов обстрела состоит из

˜3 элементов. По формуле (7) находим: ˜3 = 63 = 216.

A6 A6

Подсчитайте самостоятельно число способов обстрела, если будут выбраны три различных цели. Сколько существует способов обстрела, если по одной цели будут стрелять более одного стрелка?

A8. Сочетания без повторения

Пусть, как и прежде, дано конечное множество A объёма n. Сочетанием из n элементов по m элементов (m ≤ n) без повторения называется любая неупорядоченная без возвращения

142

выборка объема m. Другими словами — это любое подмножество множества A объема m.

Напомним, что само множество и все его подмножества рассматриваются как неупорядоченные совокупности.

Число всех сочетаний без повторения из n элементов по m элементов обозначают Cnm.

Возьмем конкретное сочетание Q, т.е. подмножество, содержащее m элементов. Из этого неупорядоченного подмножества можно получить m! упорядоченных подмножеств объёма m путем всевозможных перестановок элементов множества Q. Получим m! различных размещений из n элементов по m. Каждому сочетанию соответствует m! размещений, следовательно,

Am

Amn = Cnm · m!, поэтому Cnm = mn! . Применяя формулу (6), получаем:

Если числитель и знаменатель в (8) умножить на (n − m)!, то формулу (8) можно записать в виде:

Из соотношения (8) следует, что Cnn = 1. Для общности записи формул принято соглашение, что 0! = 1. Тогда следует считать, что Cn0 = 1, хотя понятие Cn0 лишено смысла.

Легко доказать справедливость следующих соотношений:

1) Cnm = Cnn−m; 2) Cnm = Cnm−1 + Cnm−−11;

3) Cn0 + Cn1 + · · · + Cnn = 2n.

Пример 10. Сколько различных стартовых шестёрок можно образовать из 10 волейболистов?

Решение. Число стартовых шестёрок, очевидно, равно C106 . По формуле (8) находим:

Пример 11. На окружности расположены двенадцать точек. Каждая пара точек соединена прямой линией. Сколько точек

143

пересечения этих прямых находится внутри круга, ограниченного этой окружностью?

Решение. Каждая четвёрка точек на окружности порождает одну точку пересечения внутри круга. Поэтому, число точек пересечения совпадает с числом различных четверок точек на окружности, но количество таких четверок равно:

A9. Сочетание c повторениями

Пусть дано множество A, содержащее n элементов. Сочетанием с повторением из n элементов по m (m- любое натуральное число) называется любая неупорядоченная с возвращением выборка объёма m. Число всех сочетаний с повторением из n

элементов по обозначим ˜m. m Cn

Множество A обозначим в виде A = {a1, a2, . . . , an}. Здесь все a1, a2, . . . an — различные элементы. Никакие два между собой не совпадают.

Пусть в неупорядоченной выборке с возвращением объёма m элемент a1 встречается m1 раз, a2 − m2 раз ,. . ., an − mn раз, так что m1 + m2 + . . .+ mn = m. Этой выборке взаимно однозначно можно сопоставить двоичный код, состоящий из

Здесь нули разделяют серию одних повторяющихся элементов от другой повторяющейся серии. Эти нули назовем разделительными. Их, очевидно, n−1. Поэтому длина кода (10) рав-

содержащих m единиц и n−1 нулей, т.е. из m+n−1 мест нужно выбрать (n − 1) мест и поставить в них (n − 1) разделитель-

Заметим, что код (10) может начинаться с нулей, заканчиваться нулями, несколько нулей подряд может находиться

144

внутри кода. Определите, каким выборкам соответствуют подобные коды.

Пример 12. В мебельном магазине имеется 4 вида стульев. Требуется купить 8 стульев. Сколько различных наборов стульев можно сформировать для покупки?

Решение. Очевидно, что некоторые виды стульев в наборе будут повторяться и набор является неупорядоченной выбор-

145

148

149

D. Таблица значений tγ = t(γ, n)

E. Таблица значений q = q(γ, n)

150