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|
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|
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|
|
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|
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22 |
||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
VII |
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ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ |
|||
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|
|
|
|
|
|
|
|
x 1. Простой предел 1=1 |
|||||
Определить тип неопределенности и найти предел 1 - 7: |
|||||||||||||||||||||||||||
1. |
lim |
|
16x7 + 24x6 + 5x3 + x + 2 |
|
8x4 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 2x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
lim |
|
6x7 + 3x5 4x4 + 1 |
|
|
6x7 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
x5 4x6 |
2x5 4x6 . |
|
|
|
||||||||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ p3 |
x 2. Предел с корнем infty=1 |
|||||||||||
3. |
lim |
|
64x3 + 6x2 + 7x |
27x3 x2 + 4x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x!1 p4 81x2 7x + 10 + p4 16x3 3x2 + 10x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3. Умножение на сопряженное 0=0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
|
x 1 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x 82 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x!82 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
x 3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x!11 |
|
|
|
|
|
x2 121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
p |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
x2 + 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x!0 |
px2 + 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
lim |
p3 |
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
x + 8 |
8 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 4. Умножение на сопряженное 1 1
Найти предел 8 - 16:
8. |
xlim |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4x2 + 20 4x2 20 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
!1 |
|
|
x(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
x lim |
|
|
x2 + 8 |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
! 1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
x lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
25x2 3x 4 |
|
|
25x2 + 5x + 1 |
||||||||||||||||||||||||||
11. |
! 1 |
3 |
|
|
|
x |
2 |
|
x |
+ 3 |
||||||||||||||||||||||||
x!1 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
p 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 45x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5. Показательная |
||||||||||||
12. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x! 1 4 45x 9 |
|
|
|
|
|
x 6. Дополнительные задания |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
1 |
|
|
|
|
1. |
|
|||||||||
|
|
|
B 4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
x3 + 27 3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||||||||||||
|
|
x 0 |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
p3 |
|
|
|
|
|
p |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
14. |
x3 + 26 |
x2 + 8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x!1 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15. |
lim |
|
|
px |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16. |
x!1 |
5x |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
5x . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
289x |
|
+ 1 + 8x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
p |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
7x
17. Найти односторонние пределы lim 949 x2 .
x!7
23
VIII ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Определить тип неопределенности и найти предел 1-21:
x 1. Простой 1-й замечательный
1. |
lim |
|
2 sin( 9x) |
. |
|
||||||
|
x!0 |
|
|
7x |
|
||||||
2. |
lim |
|
8 tg(6x) |
. |
|
|
|
|
|||
|
x!0 |
|
|
9x |
|
||||||
3. |
lim |
|
10 sin(3x) |
). |
|
||||||
|
x!0 |
|
11 sin(9x |
|
|||||||
|
lim |
|
|
3 tg( 10x) |
|
||||||
4. |
|
4 sin(2x) . |
|
||||||||
x!0 |
|
||||||||||
5. |
lim |
|
10 sin(4x) |
. |
|
||||||
|
x!1 |
11x |
|
||||||||
6. |
lim |
|
8 arcsin(6x) |
. |
|||||||
9x |
|||||||||||
x 0 |
|||||||||||
|
! |
|
1 cos(9x) |
|
|
|
|
||||
7. |
lim |
|
. |
|
|||||||
|
x!0 |
|
|
2x2 |
|
||||||
x 2. 1-ый замечательный предел (косинус)
8. lim 1 cos3(4x). x sin(2x)
x(1 cos(4x))2 . x!0 tg3(4x) sin3(4x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3. 1-ый замечательный предел 1 1 |
|||
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
x |
! |
0 |
|
x sin(4x) x tg(4x) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4. 1-ый замечательный предел x0 6= 0 |
||
11. |
lim |
8 sin(x2 + 4x 5) |
. |
|
|||||||||
|
x!0 |
|
x2 + 4x 5 |
||||||||||
12. |
lim |
1 sin(x) |
. |
|
|
||||||||
|
x! 2 |
( 2 x)2 |
|||||||||||
13. |
lim |
7 sin(2x) |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x! |
6 sin(6x) |
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
|
lim |
|
9 sin(x) |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x! cos(x) 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
x 5. 1-ый замечательный предел (сложный) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
15. |
lim |
|
10 cos(x) + 9 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
(5x) |
|||||||
|
x |
|
0 |
|
|
sin |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pp
16. lim |
3x sin(4x) + 1 cos(2x) |
. |
x!0 |
tg2(x5 ) |
|
24
x 6. Дополнительные задания
|
|
tg |
|
24x + |
|
+ tg |
24x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
17. |
lim |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x!0 sin |
24x + |
|
+ sin |
24x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 sin |
48x + |
sin |
24x + |
+ |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18. |
lim |
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
27x |
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||
|
x! 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
19. |
lim 1 |
|
tg2 x( 7 sin2(x) + 6 sin(x) + 13 |
|
|
|
|
|
6 sin2(x) + 12 sin(x) + 8. |
|||||||||||||||
pp
20. |
lim |
3 |
|
arctg(7x) + 1 3 |
1 arcsin(5x) |
. |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
x!0 |
p |
|
8px + 1 |
|
p |
|
|
||||||
|
|
|
1 arcsin(6x) |
|
arctg(4x) + 1 |
|||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
x!0 p |
|
parccos(x). |
|
|
|
|
|||||||
25
IX ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
x 1. 2-ой замечательный предел (простой)
|
lim |
|
|
|
2 |
|
9x+5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
1 x |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
||||||||
x!1 |
|
4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
x!1 |
|
|
|
|
|
7x+5 . |
|
|||||||||||
|
lim |
|
8x + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
8x + 9 |
|
|
. |
|
|
||||||||||||
x!1 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5x + 10 |
|
|
7x |
+4 |
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
|
|
|
2x+5 |
|
|
|
|||||||||||
4. |
|
5x + 6 |
|
. |
|
|
|||||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2. 2-ой замечательный предел (степени) |
|
5. x!1 |
3x2 + 5 |
|
x2+7 |
|
|
|
|||||||||||||
3x2 + 4 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3. 2-ой замечательный предел (сложный) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
|
4x2 7x + 3 |
|
|
x+16 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
|
4x2 + 9x 10 |
|
. |
|||||||||||||||
x!1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x 4. 2-ой замечательный предел (обманка) |
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7. x!1 |
x3 + 4 |
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3x 15 |
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4x3 + 3 |
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. |
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lim |
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x 5. 2-ой замечательный предел (с функциями) |
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sin(6x) |
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1 |
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8. |
lim |
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sin(10x) |
. |
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7 |
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x!0 1 |
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x 6. 2-ой замечательный предел (следствие )
ln |
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11x |
+ 1 |
7 |
|||
.
9x
10. lim ln(5x + 9) ln(9).
x!0 4x
11. lim ex 6 e4 . x 10
12. lim esin(9x) esin(12x) . x!0
13. |
xlim 3x |
1 |
1 . |
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e |
7x |
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!1 |
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1 |
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14. |
lim 10 arcsin(9x) + cos(3x) |
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. |
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4x |
||||||
x!0
26
x 7. Дополнительные задания
15. lim (x 1)x 1 (x + 5)x+5 . x!1 (x + 4)2x+4
16. xlim 8 1 cos |
4 |
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x2. |
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5x |
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!1 |
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2 arcsin(2x)
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17. |
lim |
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sin(9x) |
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9x sin(9x) . |
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||||||||
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9x |
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x!0 |
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. |
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18. |
x!1 |
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8x |
1 |
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8x 1 |
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lim x arctg |
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5x + |
3 |
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arctg |
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5x + 6 |
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lim |
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7x |
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7x |
::: cos |
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7x |
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19. |
cos |
2 |
|
cos |
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2n . |
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||||||||
x!1 |
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4 |
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