120

используют различные способы упрощения физико-топологических моделей, поскольку решение трехмерной нестационарной задачи (9.1) – (9.5) или стационарной (9.7) весьма трудоемко даже для простейших полупроводниковых структур39.

Первый способ упрощения задач – переход к одноили двумерным моделям. Так для структуры интегрального транзистора (см. рис. 1.3) характерны большие размеры областей в плоскости кристалла по сравнению с размерами в вертикальном направлении (на рис. 1.3 вертикальные размеры увеличены по сравнению с горизонтальными). Поэтому при расчете распределения концентрации носителей в вертикальном направлении допустимо одномерное приближение. При анализе электрических процессов в таких областях как база или коллектор транзистора допустимо рассчитывать поля потенциалов и горизонтальных токов с помощью двумерных моделей. Многие электрические параметры транзисторов, такие как тепловые токи, статические коэффициенты усиления, сопротивления тел базы и коллектора, могут быть определены в статических режимах. Для анализа этих режимов вместо нестационарной модели используется более простая стационарная модель.

Второй способ упрощения задач основан на идее макромоделирования. Макромодели могут быть получены для некоторых типовых структур или для отдельных участков структур полупроводниковых элементов в результате приближенного аналитического решения уравнений, входящих в исходную систему (9.1) – (9.5). Использование макромоделей отдельных участков полупроводниковой структуры, прежде всего участков с заметными перепадами концентраций, потенциалов и др. переменных, существенно облегчает численное решение уравнений (9.1) – (9.5) для оставшихся областей, делает приемлемыми затраты машинного времени на решение таких задач, как оптимизация или статистический анализ активных элементов ИС, в частности транзисторов.

9.4 Электрические модели

Электрические (функциональные) модели полупроводниковых структур используются для расчета характеристик всей ИС или фрагментов ИС (фрагментные модели). Модель ИС получают объединением моделей, входящих в нее элементов: транзисторов, диодов, резисторов и т. д. В ЭВМ вводят описание модели разрабатываемой схемы, т. е. ее математическое представление, а затем исследуют реакцию и чувствительность схемы к изменению отдельных параметров и окружающих условий. Точность машинного расчета характеристик любой ИС полностью определяется точностью используемых моделей элементов.

39 Трехмерное численное моделирование субмикронных тонкослойных сильнолегированных полупроводниковых структур сопряжены с вычислительными ресурсами, сравнимыми или превосходящими ресурсы при решении задач точного прогнозирования погоды или проектирования авиалайнеров [2].

121

По степени универсальности электрические модели разделяют на статические и динамические, для малого и большого сигналов, низкочастотные и высокочастотные. Для любого элемента такое деление позволяет организовать иерархический ряд моделей, отличающихся вычислительными затратами и допускающими переход от одной модели к другой в процессе моделирования. Очевидно, что наиболее точной и универсальной в таком ряду является динамическая высокочастотная модель большого сигнала40.

Структуру электрической модели обычно представляют эквивалентной схемой (схемой замещения). Внутренние параметры определяются на основе физико-топологических моделей. Электрические параметры элементов можно измерить также с помощью так называемых тестовых структур. Однако, такое измерение сопряжено с рядом трудностей, основные из которых следующие [18]: большая погрешность методов измерения, связанная с влиянием на параметры нагрузки измерительных устройств; наличие паразитных эффектов, обусловленных токами утечки, влиянием электрических зарядов, локализованных в диэлектрических пленках и др.; невозможность измерения параметров на выводах каждого элемента ИС.

Различают формальные и физические эквивалентные схемы (модели). Формальные схемы не связаны с процессом, лежащим в основе действия структуры, и фактически иллюстрируют уравнения четырехполюсника. Физические эквивалентные схемы состоят из элементов, отражающих физическую природу явлений в данной структуре.

Например, при построении физических эквивалентных схем биполярных транзисторов учитываются процессы инжекции, экстракции, рекомбинации, перемещения носителей заряда, а также модуляция толщины базы, собственные шумы в структуре и др. Простейшей статической моделью биполярного транзистора является модель Эберса-Молла [17]: два диода и два источника тока включены навстречу друг другу (см. рис. 9.2, а). Источники тока управляются токами диодов, сами диоды считаются идеальными, а их характеристики имеют вид

IЭД = IЭ0[exp(qVЭБ kT) − 1],

IКД = IК0[exp(qVКБ kT) − 1],

где IЭ0 и IК0 – соответственно токи насыщения диодов, смещенных - при нормальном включении транзистора - в прямом и обратном направлении. Внешние токи транзистора:

IЭ = IЭД − α iIКД ,

IК = IКД − α nIЭД ,

40 Автоматизация схемотехнического проектирования / Под ред. В.Н.Ильина. – М.: Радио и связь, 1987. – 368 с.