Линейная алгебра

Векторы a = (a1; a2; : : : ; an) è b = (b1; b2; : : : ; bn) называют равными, если если их соотвествующие координаты равны, то есть a1 = b1, a2 = b2; : : :, an = bn.

Суммой векторов a = (a1; a2; : : : ; an) è b = (b1; b2; : : : ; bn) называется вектор

Произведением вектора a = (a1; a2; : : : ; an) на число k называется вектор

Вектор 0 = (0; 0; : : : ; 0), все координаты которого равны 0, называется

нулевым.

Вектор a = ( a1; a2; : : : ; an) называется противоположным

вектору a = (a1; a2; : : : ; an).

Два вектора a и b называют коллинеарными, åñëè b = ka.

Пример коллинеарных векторов дает таблица обменных курсов ва-

Любые две строки или любые два столбца этой матрицы представляют собой коллинеарные вектора.

Oперации сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяют условиÿì:

Множество n-мерных арифметических векторов, в котором вве-

дены операции сложения векторов и умножения вектора на чис-

15по курсу мая 2018 года

29

ло, удовлетворяющие условиям 1 8, называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn.

Рассмотрим два примера.

Пример 9.1. Пусть вектор a = (a1; a2; : : : ; an) вектор цен на n видов

продукции, вектор b = (b1; b2; : : : ; bn) вектор объема выпуска этой продукции за месяц. Тогда месячный объем товарной продукции (в рублях) равен числу a1 b1 + a2 b2 + : : : + an bn.

Пример 9.2. Некоторая фирма для строительства офиса взяла кредит в трех банках. Каждый из банков предоставил 150 млн., 130 млн. и 125 млн. рублей под годовую процентную ставку 25%, 30% и 32% соот-

ветственно. Получили два вектора: вектор кредитов c = (150; 130; 125) и

вектор процентных ставок p = (25; 30; 32). Тогда в конце года фирме по

кредитам придется уплатить 150 1; 25+130 1; 30+125 1; 32 = 521; 5 млн.

рублей.

Эти примеры показывают, что полезно ввести еще одно действие над векторами.

Скалярным произведением двух векторов a = (a1; a2; : : : ; an) è

b = (b1; b2; : : : ; bn) называется число, равное сумме произведений их одноименных координат.

Свойства скалярного прîизведения:

1) (a; b) = (b; a); 2) (a + b; c) = (a; c) + (b; c); 3) ( x; y) = (x; y); 4) (a; a) > 0 при a 6= 0 и (a; a) = 0 только тогда, когда a = 0.

Два ненулевых вектора a и b называются ортогональными, åñëè èõ

скалярное произведение равно нулю, то есть a b = 0.

Рассмотрим экономический пример на ортогональность векторов. Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции

является расчет стоимости потребительской корзины, состоящей из 300 видов товаров и услуг, получаемых потребителями. В стаблице приведен пример, как можно вычислять индекс цен. Расчет индекса

30

цен проводится по формуле: "Расходы в текущем месяце" делим на "Расходы в предыдущем месяце".

Таким образом, в нашем случае, индекс инфляции составляет

15331575; 7 100% 100% 2; 7%.

Обозначим через q = (15; 10; 17; 24; 2) вектор количества потребляемых товаров, c = (4; 34; 5; 28; 25; 5; 41) вектор цен в текущем месяце,

c 1 = (3; 9; 33; 27; 6; 25; 38) вектор цен в предыдущем месяце. Индекс цен вычисляетñя по формуле

p = (c; q) 100%:

(c 1; q)

Откуда (100c; q) = p (c 1; q) èëè (100c p c 1; q) = 0.

Таким образом, индекс цен можно определить как численный коэффициент p, который делает вектор q ортогональным вектору 100c p c 1.

Индекс инфляции расчитыâается по формуле

10. Линейная зависимость векторов.

Операции сложения и умножения векторов лежат в основе и находят многочислåнные приложения в математике и физике.

Вектор b называется пропорциональным вектору a, если существует

число k 6= 0 такое, что b = ka. Обобщением понятия пропорциональности

31

векторов является понятие их линейной комбинации.

Определение 10.1. Пусть дана система векторов a1; a2; : : : ; am èç пространства Rn. Вектор b вида

ãäå 1; 2; : : : ; m действительные числа называется линейной комбинацией векторов a1; a2; : : : ; am.

Говорят также, что вектор b линейно выражается через вектора

a1; a2; : : : ; am.

Если векторы заданы своими координатами, то используÿ определение операций над векторами, для любой координаты вектора b получим

bi = 1a1i + 2a2i + : : : + mami (i = 1; 2; : : : ; n).

Определение 10.2. Cистема векторов a1; a2; : : : ; am (m > 2) èç ïðî- странства Rn называется линейно зависимой, если существуют такие числа 1; 2; : : : ; m, не равные нулю одновременно, что справедливо равенство

1; 2; : : : ; m равна нулю). Если равенство (10:2) выполняется только тогда, когда все коэффициенты равны нулю ( 1 = : : : = m = 0), òî система векторов a1; a2; : : : ; am называется линейно независимой.

Докажем несколько теорем о свойствах линейно зависимых векторов.

Теорема 10.1. Система векторов a1; a2; : : : ; am линейно зависима то- гда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов a1; a2; : : : ; am линейно за- висима. По определению существуют такие числа 1; 2; : : : ; m, не равные нулю

остальных векторов системы. Необходимость доказана.

32

Достаточность. Пусть для определенности вектор a1 является линейной комбина- цией остальных векторов системы, то есть выполнено равенство a1 = 2a2 +: : :+ mam èëè a1 2a2 : : : mam = 0. В линейной комбинации a1 2a2 : : : mam = 0 не все коэффициенты равны нулю ( 1 = 1), значит, система векторов a1; a2; : : : ; am линейно зависима.

Теорема 10.2. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов a1; a2; : : : ; am; 0, содержащая нулевой вектор. Коэффициенты линейной комбинации можно выбрать так: 0; 0; : : : ; 0; 1. Линейная комбинация векторов равна нулю 0 a1 + 0 a2 + : : : + 0 am + 1 0 = 0, но не все коэффициенты нулевые.

Теорема 10.3. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов a1; a2; : : : ; am, и ее подсистема a1; a2; : : : ; ak (k < m). Так как система векторов a1; a2; : : : ; ak линейно зависимa, то существу- ют такие числа 1; 2; : : : ; k, не все равные нулю, что справедливо равенство1a1 + 2a2 + : : : + kak = 0. Если взять коэффициенты линейной комбинации1; 2; : : : ; k; 0; : : : ; 0, то получим верное равенство 1a1 + 2a2 +: : :+ kak +0ak+1 +

: : : + 0an = 0, в которой не все коэффициенты равны 0.

Теорема 10.4. Если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство. Доказывать будем методом от противного. Предположим, что в линейно независимой системе векторов a1; a2; : : : ; am существует линейно зависимая подсистема. По теореме 10.3 тогда и вся система векоров будет линейно зависима. Получили противоречие. Значит, наше предположение неверно, и система векторов a1; a2; : : : ; am линейно независима.

Теорема 10.5. Система векторов, содержащая два коллинеарных век-

тора, линейно зависима. (Докажите эту теорему самостоятельно.)

Примером линейно независимых векторов являются два некîллинеарных вектора на плоскости. В самом деле, если векторы a и b линейно

зависимы и в равенстве 1a + 2b = 0 , например, 1 6= 0, òî b = 2 a è,

1

значит, векторы a и b коллинеарны. Также линейно независимыми явля-

ются три некомпланарных вектора в пространстве R3 (векторы называ- þòñÿ компланарными, если они параллельны некоторой плоскости).

33

Данное выше определение линейно зависимой системы векторов предполагает, что эта система содержит конечное число векторов. Однако часто приходится рассматривать и бесконечные системы. Мы условимся бесконечную систему считать линейно зависимой, если линейно зависимой будет какая-нибудь ее подсистема, и линейно независимой, если любая ее подсистема является линейно независимой. С бесконечными линейно независимыми системами мы встретимся в курсе анализа.

Возникает вопрос: сколько линейно независимых векторов может содержать система n-мерных векторов. Для ответа на него рассмотрим систему векторов

Эта система векторов линейно независима. Действительно, линейная комбинация векторов (10.3) обращается в 0 только при 1 = 2 = : : : = = n = 0. Значит, существует система, состоящая из n линейно независимых n-мерных векторов.

А может ли существовать система n-мерных линейно независимых

векторов, число векторов в которой больше n? Ответ на поставленный

вопрос дает

Теорема 10.6. Всякие k n-мерных векторов при k > n линейно зави-

ñèìû.

11. Линейные пространства. Базис линейного пространства. Подпространства.

Для построения общей теории систем линейных уравнений недостаточ- но того аппарата, который мы до этого применяли. Помимо матриц и определителей нам необходимо понятие линейного пространства.

Определение 11.1. Множество V элементов произвольной природы

называется линейным пространством, если а) задана внутренняя операция сложение элементов простран-

ства (правило, по которому 8x; y 2 V ставится в соответствие эле-

34

ìåíò z 2 V), òî åñòü z = x + y;

б) задана внешняя операция умножение элемента на число (правило, по которому 8x 2 V, 8 2 R (или C) ставится в соответствие

элемент w 2 V), то есть w = x.

Эти операции удовлетворяют следующим условиям:

I.1) x + y = y + x, 8x; y 2 V;

2)(x + y) + z = x + y + z, 8x; y z 2 V;

3) 9 0 2 V (нулевой элемент), такой что 0 + x = x; 8x 2 V;

4) 8x 2 V 9x0 2 V (противоположный элемент), такой что x + x0 = 0;

II.5) 1 x = x, 8x 2 V;

6)( x) = ( ) x, 8x 2 V, 8 ; 2 R;

7)( + ) x = x + x, 8x 2 V, 8 ; 2 R;

8)(x + y) = x + y, 8x; y 2 V, 8 2 R.

Исходя из определения линейного пространства можно доказать следующие утверждения:

Предложение 11.1. 1. В линейном пространстве существует единственный нулевой элемент;

2.8x 2 V существует единственный противоположный элемент, который равен ( 1) x = x;

3.Произведение 0 x = 0; 8x 2 V;

4.Произведение 0 = 0; 8 2 R;

5.Если произведение x = 0; то либо = 0 , либо x = 0.

Доказательство. Доказывать утверждения 1 и 2 будем от противного.

1. Предположим, что в линейном пространстве существуют два нулевых элемента 01 è 02. Тогда с одной стороны 01 + 02 = 01, с другой стороны 01 + 02 = 02. Откуда следует равенство 01 = 02.

2.Предположим, что в линейном пространстве для любого элемента x существуют два противоположных элемента x0 è x00. Имеем x0 +x+x00 = (x0 +x)+x00 = 0+x00 = x00

èëè x0 + x + x00 = x0 + (x + x00) = x0 + 0 = x0. Откуда x0 = x00.

3.Пусть 0 x = 0. Тогда 0 x = ( )x = x x = 0.

4.Пусть 0 = 0: Тогда (x x) = x x = 0:

35

Примеры линейных пространств.

1. Множество матриц размера m n с обычными операциями сложения

матриц и умножения матрицы на число.

2. Множество многочленов степени меньше или равной n с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на число.

3.Множество Rn n-мерных векторов с введенными в предыдущем параграфе операциями сложения векторов и умножения вектора на число.

4.Множество C[a; b] функций, непрерывных на отрезке [a; b]. Введем

на этом множестве операции сложения функций и умножения функции на число по следующим правилам: сумма функций f + g находится по

правилу (f + g)(x) = f(x) + g(x), произведение функции f на число

находится по правилу ( f)(x) = f(x).

Определение 11.2. Линейное векторное пространство V называется

n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов,

а любые n + 1 векторов уже являются линейно зависимыми.

Другими словами, размерность пространства это максимальное число содержащихся в этом пространстве линейно независимых векторов. Обозначают n-мерное пространство Rn.

Определение 11.3. Максимальная совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного векторного пространства.

Теорема 11.2. Все базисы конечномерного линейного векторного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Теорема 11.3. Каждый вектор x линейного векторного пространства

Rn можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство. Пусть векторы f1; f2; : : : ; fn образуют базис пространства Rn. Так как любые n + 1 векторов в Rn линейно зависимы, то система f1; f2; : : : ; fn; x будет линейно зависимой. Тогда существуют числа 1; 2; : : : ; n; , не равные одновременно нулю, такие что 1f1 + 2f2 + : : : + nfn + x = 0. Ïðè ýòîì 6= 0, èáî

36

в противном случае система f1; f2; : : : ; fn будет линейно зависима. Следовательно,

x= 1 f1 2 f2 : : : n fn. Обозначив xi = i , получим x = x1f1 + x2f2 + : : : + xnfn:

Это выражение x через f1; f2; : : : ; fn; единственное, так как если существует другое выражение вектора x через векторы базиса, например, x = y1f1 +y2f2 +: : :+ynfn, òî вычитая из этого равенства равенство (11.1), получим (y1 x1)f1 + (y2 x2)f2 + : : : + (yn xn)fn = 0. В силу линейной независимости векторов f1; f2; : : : ; fn; получим y1 x1 = y2 x2 = : : : = yn xn = 0 èëè y1 = x1; y2 = x2; : : : ; yn = xn.

Равенство (11.1) называется разложением вектора x по базису f1; f2; : : : ; fn: Коэффициенты в разложении вектора по базису называют координатами вектора в данном базисе.

В n-мерном векторном пространстве Rn базис состоит из n векторов. Система векторов (10.3) содержит n векторов и линейно независима. Значит, эти векторы образуют базис. Базис, состоящий из векторов e1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1), называют каноническим.

Теорема 11.4. При сложении векторов их координаты (относительно одного базиса) складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

В произвольном n-мерном пространстве понятие линейной комбина-

ции элементов, их линейной зависимости, базиса пространства вводятся аналогично. После выбора базиса задание любого элемента сводится к заданию упорядоченного набора из n чисел координат элемента в дан-

ном базисе. Все линейные пространства одной конечной размерности n устроены одинаково (говорят они изоморфны), поэтому обозначать их мы будем также Rn.

Определение 11.4. Множество L Rn называется подпростран- ством, если оно само является линейным пространством относительно введенных в Rn операций, то есть

1.8x; y 2 L их сумма x + y 2 L,

2.8 2 R и 8x 2 L произведение x 2 L.

37

Определение 11.4 эквивалентно определению

Определение 11.5. Множество L Rn называется подпростран- ством, если 8 ; 2 R и 8x; y 2 L имеем x + y 2 L.

Если векторы a1; a2; : : : ; ak 2 Rn, òî линейной оболочкой этой системы векторов называется множество их всевозможных линейных комбинаций

L(a1; a2; : : : ; ak) = f 1a1 + 2a2 + : : : + kakg:

Линейная оболочка является подпространством в Rn.

Простейший способ построения подпространств состоит в следующем. Выберем систему векторов a1; a2; : : : ; ak 2 Rn и рассмотрим линейную оболочку этой системы. Согласно определению 11.4 эта линейная обо- лочка образует в Rn подпространство. Базисом подпространства будет максимальная линейно независимая подсистема в a1; a2; : : : ; ak 2 Rn.

12. Ранг матрицы.

Дана матрица A размера m n

Строки матрицы можно рассматривать как n-мерные вектора, а столбцы как m-мерные вектора.

Минором порядка k называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и k столбцов матрицы (см. x3).

Определение 12.1. Число r называется рангом матрицы , если в матрице существует минор M порядка r, отличный от 0, а все миноры порядка r + 1, если они существуют, равны 0.

38