Теория информации

a1 a3 a5 a7 = 0 0, a2 a3 a6 a7 = 1 0, a4 a5 a6 a7 = 0 0,

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 = 0 1.

По значению синдромов S1 = 000 и S2 = 1 приемник делает вывод, что произошла ошибка в восьмом разряде, исправляет последнюю 1 на 0 и получает правильную последовательность 01100110.

Вариант второй.

При передаче произошла двойная ошибка.

Сделаем для примера любые два изменения в исходной последовательности 01100110. Пусть ошибка будет в контрольном разряде 2 и информационном разряде 6, тогда последовательность, полученная приемником, будет выглядеть следующим образом: 00100010. Приемник использует уравнения декодирования на полученном коде:

a1 a3 a5 a7 = 0 0, a2 a3 a6 a7 = 0 0, a4 a5 a6 a7 = 0 1,

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 = 0 0.

Приемник получает синдромы S1 = 100 и S2 = 0. Так как первый синдром не равен нулю, а второй равен нулю, приемник понимает, что сделана двойная ошибка, однако установить, в каких именно разрядах, он не может. Поэтому принятая последовательность удаляется, а источнику отправляется уведомление об ошибке и запрос на повторную отправку.

Вариант третий.

Помехи в канале привели к возникновению одиночной ошибки. Для примера сделаем ошибку в разряде 3, тогда код, полученный приемником, будет выглядеть следующим образом: 01000110. Проверяем:

a1 a3 a5 a7 = 0 1, a2 a3 a6 a7 = 1 1, a4 a5 a6 a7 = 0 0,

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 = 0 1.

Получаем синдромы S1 = 011 (синдром S1 составляется, начиная с последнего уравнения, не считая уравнения для S2) и S2 = 1. При обнаружении одиночной ошибки приемник может осуществить её исправление, сравнив полученный в S1 синдром с опознавателями из таблицы 8.2. Опознаватель 011 соответствует ошибке в третьем разряде. Исправив в третьем разряде 0 на 1, приемник получит исходную последовательность 01100110.

61

8.7. Аудиторные задания

1.Даны кодовые слова: 00001, 11100, 10110, 01110. Оцените корректирующие способности данного кода.

2.Постройте таблицу декодирования по методу максимального правдоподобия для двоичного кода, состоящего из четырех кодовых слов

0000, 0011, 1100, 1111:

а) для двоичного симметричного канала; б) для двоичного стирающего канала при отсутствии трансформации

символов.

3.Какое количество символов первичного алфавита можно передать

спомощью пятизначного двоичного кода, исправляющего одиночную ошибку? Определить количество информационных двоичных символов в коде. Построить код и таблицу декодирования.

4.Построить код Хэмминга с исправлением одиночной ошибки для передачи 15 информационных сообщений. Закодировать четыре информационных сообщения: 0001, 0010, 1000, 1011. Проверить правильность при-

нятых сообщений: 1111001, 0101010, 1100011.

5.Построить код Хэмминга с исправлением одиночной ошибки и обнаружением двойной ошибки для передачи 15 информационных сообщений. Закодировать четыре информационных сообщения: 0010, 0100, 1100, 1011. Проверить правильность построенного кода на следующих кодовых комбинациях: а) переданных без искажений; б) искажен один разряд; в) искажено два разряда;

6.Построить код Хэмминга с исправлением двойной ошибки для передачи 3 информационных сообщений. Закодировать четыре информационных сообщения: 0100, 0010, 1010, 1001. Проверить правильность приня-

тых сообщений: 11110010, 00101010, 10100011.

8.8. Самостоятельная работа

1.Даны кодовые слова: 000010, 111000, 010110, 011101. Оцените корректирующие способности данного кода.

2.Какое количество символов первичного алфавита можно передать

спомощью шестизначного двоичного кода, исправляющего одиночную ошибку? Определить количество информационных двоичных символов в коде. Построить код и таблицудекодирования.

3.Построить код Хэмминга с исправлением двойной ошибки для передачи 7 информационных сообщений. Закодировать четыре информационных сообщения: 0100, 0010, 1010, 1001. Проверить правильность приня-

тых сообщений: 11110010, 00101010, 10100011.

4.Предложить пошаговую схему декодирования кодаХэмминга.

62

8.9. Контрольные вопросы

1.Какая основная концепция лежит в основе построения помехоустойчивых кодов?

2.Какова вероятность искажения любых r символов в n-разрядной кодовой комбинации при взаимно независимых ошибках?

3.Как определяется расстояниеХэмминга?

4.Поясните связь минимального кодового расстояния с обнаружением и исправлением ошибок.

5.Как ведется декодирование по методу максимального правдо-

подобия?

6.Что есть опознаватель или синдром? Какова его функция?

7.Как строится код Хэмминга?

8.Что представляет собой синдром при обнаружении и исправлении

ошибок?

ЛИТЕРАТУРА

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование, 2008. 479 с.

2.Капитонова Ю.В. Лекции по дискретной математике / Ю.В. Капитонова, С.Л. Кривой, А.А. Летичевский, Г.М. Луцкий / СПб.: БХВПетербург, 2004. 624 с.

3.Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. М.: Высш. шк., 1989. 320 с.

4.Теория кодирования. Под ред. Э.Л. Блоха. М.: Мир, 1964. 258 с.

63