Прикладная информатика

a(kkk). Но возникает вопрос: где хранить результаты деления? Можно ли просто за-

замена на процесс обратной подстановки. Во-первых, умножение всех коэффициентов на один и тот же множитель не изменяет значения неизвестных. Во-вторых, при делении на a(kkk) значение самого a(kkk) становится равным 1, и, следовательно, в процессе обратной подстановки деление становится излишним. Поэтому предлагаемая замена не только допустима, но и желательна. На основании вышесказанного запишем третий вариант программы для фазы исключения неизвестных, который предназначен заменить строки 1.2–1.4 в варианте 1.

Вариант 3:

{3.9} end;

Наконец, при детализации инструкции «вычислить a(i k+1) и b(i k+1), в соответствии с (4.1)» (строка 3.7 в варианте 3) следует учитывать, что A[i, j] имеет значе-

ние a(kjk) (на k-м шаге).

a(kkk)

Вариант 4:

Теперь тот же процесс постепенной детализации мы применяем к фазе обратной подстановки. Обратная подстановка реализуется как последовательность вычитаний по (4.2). Заметим только, что деление на a(kkk) уже было выполнено во время фазы исключения неизвестных. Таким образом, строку 1.7 в варианте 1 необходимо заменить следующими строками:

Вариант 5:

{5.1} t = B[k];

{5.2} for j = k + 1 to n do

{5.3} t = t − A[k, j] X [j]; {5.4} X [k] = t;

Обратите внимание, что здесь существенно используется то свойство инструкции for, в соответствии с которым не выполняется никаких действий, если конечное значение меньше начального значения параметра цикла.

Ниже приводится окончательный вид программы решения системы линейных уравнений. Заметим, что теперь требуется n шагов исключения неизвестных (вместо n − 1 шагов), так как на n-м шаге выполняется деление b(nn) на a(nnn).

Решение системы n линейных уравнений методом исключения неизвестных по методу Гаусса.

var

i, j, k: 1..n; p, t: real;

A: array[1..n, 1..n] of real; B, X : array[1..n] of real;

begin

«присвоить значения переменным A и B»; for k = 1 to n do begin

p = 1/A[k, k];

for j = k + 1 to n do

A[k, j] = p A[k, j]; B[k] = p B[k];

for i = k + 1 to n do begin for j = k + 1 to n do

A[i, j] = A[i, j] − A[i, k] A[k, j]; B[i] = B[i] − A[i, k] B[k];

end; end;

k = n; repeat

t = B[k];

for j = k + 1 to n do

t = t − A[k, j] X [j]; X [k] = t

until k = 0; end.

{X [1]. . .X [n] являются решением системы уравнений}

Особое внимание нужно уделить операции деления, поскольку алгоритм перестает работать, если делитель окажется равным нулю. Это тем более важно, если арифметические операции выполняются с конечной точностью, так как даже близкий к нулю делитель может привести к ошибке или в лучшем случае к совершенно обескураживающим результатам. То, что перестановка строк (уравнений) и столбцов A и B не влияет на значения неизвестных, позволяет нам в такой последовательности производить исключение неизвестных, чтобы вообще избежать деления на нуль или близкое к нулю значение. Делители называются осевыми элементами. В качестве осевого элемента мы можем выбрать компоненту a(ijk) с наибольшим абсолютным значением. Разумеется, алгоритм при этом усложняется, но без поиска осевого элемента невозможно, как правило, обойтись, если мы хотим иметь удовлетворительную точность и надежность вычислений. Если на некотором шаге исключения не удается найти отличный от нуля осевой элемент, то такая система уравнений называется сингулярной, т. е. она имеет не единственное решение.

Если же нет делителя, который существенно отличается от нуля, то такая система является плохо обусловленной.

Краткий анализ алгоритма показывает, что в самом внутреннем цикле операции

A[i, j] = A[i, j] − A[i, k] × A[k, j]

выполняются

(n − 1)2 + (n − 2)2 + . . . + 22 + 12 = 16(2n3 − 3n2 + n)

раз. То есть при решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса объем вычислений растет как третья степень числа порядка системы n.

4.2 Метод прогонки

Данный метод применяется в случае трехдиагональной матрицы A. В этом случае учитывается особенность структуры матрицы, а систему можно записать в виде:

Путем несложных манипуляций, в частности применив метод исключения Гаусса, систему можно преобразовать к виду:

Однако данный процесс требует хранения всей матрицы A, что в случае матрицы большой размерности не всегда возможно. А учитывая, что матрица имеет трехдиагональный вид, то метод Гаусса большую часть времени будет выполнять операции с нулевыми элементами.

Но, допустим, матрица вида (4.5) получена, что нам это дает? Из нее получаем рекуррентные соотношения:

76 РАЗДЕЛ II. Прикладной

Пока нам известны только α1 и β1 (α1 ≡ −b0/c0; β1 ≡ f0/c0), а α2, . . ., αn и β2, . . ., βn — пока неизвестны.

Подставив уравнение (4.7) в уравнение (4.3), получаем:

αi(αi−1yi + βi−1) + ciyi + biyi+1 = fi, i = 1, . . ., n − 1

Приведя подобные получаем:

Сравнив полученное уравнение с (4.6), обнаружим, что:

+ +

Таким образом, видим, что нет необходимости в преобразовании (4.4) к виду (4.5), так как все коэффициенты (4.8) можно получить, имея только α1, β1 и 3 одномерных массива размерности n каждый (или один двумерный, размерности 3×n). Соотношения, определяющие коэффициенты (4.8), называются формулами прямой прогонки.

После того как по рекуррентным соотношениям (4.8) найдем все значения прогоночных коэффициентов: (α2, β2), (α3, β3), . . ., (αn−1, βn−1), переходим ко второму этапу, называемому — обратная прогонка.

Этот этап начинается с вычисления yn. Его значение находим, разрешив систему уравнений, составленную из уравнения с последними полученными прогоночными коэффициентами и последнего уравнения исходной системы:

Разрешив систему относительно yn, получим:

−anβn−1 + fn

yn = cn + anαn−1 .

Здесь все коэффициенты известны, следовательно, значение определено. Все остальные значения yi (i = n−1, n−2, . . ., 0) находим по рекуррентной формуле (4.6).

4.3 Итерационные методы решения СЛАУ

При изучении итерационных методов используются понятия нормы вектора и нормы матрицы. Рассмотрим основные виды норм. Если в пространстве векторов x = (x1, . . ., xn)T введена норма x , то согласованной с ней нормой в пространстве матриц A называют норму

A = sup Ax . x≠0 x

3. Итерации по уточнению решения заканчиваются при выполнении условия:

где ε > 0 — заданная точность, которую необходимо достигнуть при решении задачи.

Ниже приведен примерный шаблон программы, реализующий метод простых итераций, в котором расписана основная часть алгоритма. Для конкретной задачи данный шаблон естественно требует уточнения.

Метод простых итераций вычисления решения СЛАУ

ˆn — количество неизвестных и уравнений системы

ˆc[n][n] — матрица коэффициентов после преобразования

ˆd[n] — вектор свободных членов после преобразования

ˆxk[n] — вектор решения на шаге k

ˆxk1[n] — вектор решения на шаге k + 1

ˆe — точность

type

matrix=array[1..n, 1..n] of real; vect=array[1..n] of real;

function norm_matrix(var m: matrix): real;

{

Для каждого типа нормы определяется по своему

}

function norm_vect(var y: vect): real;

{

Для каждого типа нормы определяется по своему

}

var

. . .

i, j: integer; tmp, norm: real; t: vect;

begin

. . .

for i = 1 to n do xk1[i] = d[i];

repeat

for i = 1 to n do xk[i] = xk1[i]; for i = 1 to n do

begin

xk1[i] = 0;

for j = 1 to n do

xk1[i] = xk1[i] + c[i][j] xk[j]; xk1[i] = xk1[i] + d[i];

t[i] = xk1[i] − xk[i]; end;

tmp = norm_matrix(c);

norm = norm_vect(t) tmp/(1 − tmp); until norm < e;

end.

4.3.2 Метод итераций

Для решения частичной проблемы собственных чисел для матриц практически любой размерности удобнее всего использовать метод итераций. Следует заметить, что данный метод позволяет получить собственное значение приближенно.

Для демонстрации метода найдем собственное значение и соответствующий

80 РАЗДЕЛ II. Прикладной

Шаблон программы, реализующей данный метод, представлен ниже.

Метод итераций, решения частичной проблемы собственных чисел

ˆn — размерность матрицы

ˆc[n][n] — матрица

ˆxk[n] — собственный вектор на шаге k

ˆxk1[n] — собственный вектор на шаге k + 1

ˆe — точность

ˆlk — собственное значение на k-ом шаге

ˆlk1 — собственное значение на k + 1-ом шаге

type

matrix=array[1..n, 1..n] of real; vect=array[1..n] of real;

const

n = 10;

procedure mult(var a: matrix; var x1, x0: vect); var

i, j: integer; begin

for i = 1 to n do begin

x1[i] = 0;

for j = 1 to n do

x1[i] = x1[i] + a[i][j] x0[j];

end; end; var

. . .

i, j: integer; t, lk, lk1: real;

begin

. . .

for i = 1 to n do xk[i] = 1;