литография / 1_3_Совмещаемость

ренцированной оценки отдельных составляющих являются математические модели по-

грешностей совмещения (ММПС), описывающие распределение погрешностей по полю

топологического слоя .

Вобщем случае ПС, измеренные в тестовых структурах вдоль ортогональных осей X

иY, могут включать внутри- и межмодульные погрешности (рис. 1). Несмотря на многооб-

разие ПС и их причин, можно выделить несколько однотипных для обоих уравнений со-

ставляющих (рис. 2).

Рис. 1. Уровни контроля погрешностей совмещения а – тестовая структура, б – размещение структур в модуле, в - пластина.

Следует подчеркнуть, что все составляющие, за исключением сдвига, зависят от ко-

ординат Xj, Уj и Хi,j, Уi,j тестовых структур относительно базовых точек модуля и подлож-

ки соответственно: j = 1,2,...,m; i = 1,2,...,n (рис. 1).

Совместное действие внутри- и межмодульных составляющих различного вида приводит к тому, что распределение ПС по полю топологического слоя индивидуально для каждой подложки.

Для описания распределения ПС и оценки отдельных составляющих проводятся вы-

борочные измерения рассовмещений в нескольких контрольных модулях. Возможны раз-

личные варианты организации измерений ПС.

При измерении рассовмещений в одной тестовой структуре каждого модуля предпо-

лагается, что измеренные ПС Хi , Уi примерно одинаковы для всего поля i -ro модуля. В

этом случае j= 1 и Xij = Xi , Уij=Уi . Возможно также проведение измерений в нескольких тестовых структурах в пределах каждого контрольного модуля. В этом случае ПС i-го мо-

дуля характеризуются несколькими значениями Хij и Уij,соответствующими коорди-

натам Xij, Уij (рис. 1).

Рис. 2 . Составляющие погрешностей совмещения

В первом варианте по результатам измерений можно оценить лишь распределение межмодульных рассовмещений по полю топологического слоя, во втором - совместно оце-

нить и описать распределение внутри- и межмодульных погрешностей.

Распределения ПС xi, yi, xij, yij соответственно модулей и тестовых структур можно описать ММПС в виде полиномов различных степеней, которые включают ряд со-

ставляющих, зависящих от координат Хj, Уj и Хij, Уij (рис.2). Кроме того, каждый полином содержит случайные составляющие, характеризующие случайные погрешности позицио-

нирования модулей и тестовых структур, а также случайные погрешности измерений.

Такие полиномы можно рассматривать как уравнения регрессии, в которых функции от координат являются независимыми переменными, а коэффициенты при них - неизвест-

ными параметрами. Основной задачей MМПC является численная оценка этих параметров,

характеризующих влияние различных групп факторов, по результатам измерений ПС.

Можно предположить, что случайные погрешности, возникающие как при формиро-

вании топологических слоев, так и при измерениях рассовмещений, распределены по нор-

мальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, не зависящи-

ми от координат тестовых структур. Это предположение позволяет находить неизвестные параметры любой ММПС иэ условия, чтобы сумма квадратов случайных погрешностей была минимальной, т.е. из основного условия метода наименьших квадратов (МНК).

Выбор ММПС в каждом конкретном случае определяется типом литографической системы, размерами модулей на подложке, требуемой точностью оценки отдельных пара-

метров. Особенности применения ММПС рассмотрим на примерах решения практических задач контроля и анализа совмещаемости при различных вариантах проведения микролито-

графии.

10. 2 Линейная ММПС для оценки межмодульных рассовмещений

При формировании топологических слоев с небольшими (2-5 мм) размерами модулей,

существенно меньшими диаметра пластины, целесообразно ограничиться учетом лишь тех факторов, которые определяют межмодульные рассовмещения xi, yi .В погрешностях xi,

yi можно выделить ряд составляющих. В их число входят общий для всех модулей сдвиг

x0 , y0 , угловые развороты Ах, Ау и искажения совмещаемых слоев, характеризуемые ко-

эффициентами Мх, My.

Невоспроизводимость шага стола фотоповторителя при мультипликации фотошабло-

нов ведет к случайным смещениям модулей относительно их номинальных положений. Со-

вместно с погрешностями измерений они составляют случайные погрешности δхi, δyi.

Суммируя рассмотренные погрешности i-го модуля получим, следующую ММПС:

(1)

(2)

Полагая, что случайные погрешности xi и yi удовлетворяют условиям, сформирован-

ным в предыдущем разделе, рассмотрим процедуру МНК применительно к рассматриваемой ММПС, приведенную в табл.1.

Минимизация сумм квадратов случайных погрешностей (квадратов отклонений) Qx и Qy,

записанных в табл. 1 уравнениями (3) и (4), дает систему нормальных уравнений (5)-(7).

Эта система и получаемые при ее решении формулы значительно упрощаются, если коор-

динаты Хi и Yi измерять в отклонениях от их средних значений, т.е. Xi Xi Xi , Yi Yi Yi .

Начало координат в этом случае переносится в точку Xi , Yi ; при этом обеспечивается условие

(3.8) симметричности расположения контрольных модулей.

Таблица 1

Процедура метода наименьших квадратов

СУММЫ КВАДРАТОВ ОТКЛОНЕНИЙ

Дальнейшее упрощение системы нормальных уравнений возможно при размещении кон-

трольных модулей на линиях, перпендикулярных осям X и У, т.е. при выполнении условия орто-

гональности (9).

Решение системы нормальных уравнений с учетом условий (8), (3,9) позволяет получить формулы (10) - (23) для оценки всех составляющих ММПС. Следует особо рассмотреть вариант,

когда базовая точка подложки совпадает с началом координат, т.е. Xi = Yi = 0. Это возможно,

например, когда центр вращения подложки относительно шаблона совпадает с ее геометричес-

ким центром. В этом случае не только предельно упрощается оценка параметров ММПС (урав-

нения (13)-(15), (20)-(22)), но и сами они становятся независимыми друг от друга. Это означает,

что исключение или введение в ММПС новых членов не изменит оценок других составляющих.

Поскольку оценки большинства составляющих ММПС не зависят от выбора базовой точки,

расчеты всех параметров ММПС целесообразно вести в предположении Xi = Yi = 0. При необ-

ходимости далее можно учесть реальное положение базовой точки и скорректировать значения координатных смещений Х0, ΔY0 по формулам (10), (17).

Дисперсии случайных погрешностей (16), (23) равны остаточным суммам квадратов Qx и

Qy , деленным на соответствующее число степеней свободы. В данном случае число степеней свободы равно числу контрольных модулей минус число определяемых коэффициентов. ММПС в виде уравнений (1), (2) содержат по 3 неизвестных коэффициента.

При планировании измерений необходимо выбрать количество тестовых структур, кон-

трольных модулей и их расположение так, чтобы при минимальных затратах времени и средств получить достаточно точную оценку неизвестных составляющих параметров ММПС

Минимальное количество контрольных модулей, необходимое для анализа межмодульных рассовмещений линейной ММПС, равно п=4. Координаты контрольных модулей необходимо выбирать максимальными в пределах рабочей зоны подложки.

Условиям симметричности и ортогональности удовлетворяет, в частности, схема располо-

жения контрольных модулей, приведенная в табл. 2. В этой таблице значения ПС приведены в нанометрах, а натуральные координаты тестовых структур пронормированы – приняты равными

± 1.

При увеличении количества контрольных модулей для облегчения последующей обработки результатов измерений следует учитывать условия (8) и (9).

Для упрощения записи условий измерений и облегчения расчета оценок параметров ММПС в большинстве случаев целесообразно изменить масштаб координат так, чтобы они соот-

ветствовали значениям ±1, ±2 и т.д. Это можно получить, если соотнести все используемые ко-

ординаты с интервалами их изменения.

Так, при n = 4 можно выбрать в качестве интервалов расстояния контрольных модулей от центра подложки. Кодированные значения координат в этом случае имеют вид

Хi = 1; Yi = 1

Перечисленные условия планирования и результаты проведения измерения ПС можно записать в виде таблицы - матрицы измерений ПС, в которой строки соответствуют различным модулям, а столбцы - координатам и измеренным вдоль осей Х, Y и рассовмещениям.

Пример оформления такой матрицы и расчета с ее помощью параметров ММПС приведен в таблице 2. Рассмотренный пример является базой для выполнения лабораторной работы.

Таблица 2