Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие «Прикладная информатика»

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

476.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

нуля

будут

только

коэффициенты

при

нечетном k , т.е.

C1, C3 , C5 , а коэффициенты C0 , C2 , C4 равны нулю.

Вычислим коэффициенты C1, C3 , C5 .

P (y) sin

π y

dy =

= 3

=1.215854,

∫

π2

−1

P (y) sin

π y

dy =

[5y3 − 3y]sin

π y dy =

∫

−1

2 4

= 42

−105

= −0.224891,

P (y) sin

p y

dy =

∫

−1

1 1

∫

[63y

- 70y

+15y]sin

y dy =

−1

2 6 π / 2

2 4 π / 2

∫

x5 sin xdx -

∫

x3 sin xdx +

−π / 2

2 2 π / 2

∫

x sin xdx = 165

4620

−π / 2

2 6

+10395

= 0.0091979.

(y) = C y + C

[5y3 - 3y] + C

[63y5 - 70y3 + 15y];

3 2

5 8

y Î[-1;1].

или

Q (y) =( C		- 3C	3	+	15	C )y + (	5	C	-	70	C )y3	+	63	C	5	y5 .
Q (y) =( C		- 3C		+		C )y + (		C	-		C )y3	+		C		y5 .
5	1			8		5	2	3	8		5		8
				8			2		8				8
Подставим значения коэффициентов C1, C3 , C5 , получим
Q	(y) = 1.570436 y - 0.642709 y3 + 0.072433 y5
5

Ответ:

sin(yp/2)=Q5 (y) = 1.570436 y - 0.642709 y3 + 0.072433 y5 . Вы-

числим погрешность:

π / 2

xdx - ∑Ck

S = ∫ [sin(

2 y) - Q5 (y)]

∫

sin

2k +1

−1

−π / 2

- (C2 / 3 + C2 / 7 + C2 /11) = 1 - 2 × 0.4999 » 0

Задача 3

Пусть f (x) =

1 - x 2 ,

x Î[-1,1] . Необходимо аппроксимиро-

вать полиномом

Чебышева 5-ой

степени P5 (x)

и вычислить

ошибку.

Решение. Т.к.

f (x)

– четная, то отличными от нуля будут ко-

эффициенты Ci

с четными номерами, а с нечетными равны нулю.

По формуле (5.51) получим

−+11

;

∫ (x 2 -1/ 2)dx = -

= -

;

−1

p 3

x]|−+11 =

C4 =

∫ (x 4 - x 2 + 1/ 8)dx =

[

x 5 -

x 3 +

−1

= -

p 60

15p

В результате получим

1 − x 2

≈

−

(x 2 −

) −

(x 4

− x 2 +

)

3π

15π

−

или

1 − x 2

−

x 2

x 4 .

15π

Погрешность равна:

S =

−

∑ Ck2

∫ ρ(x)f 2 (x)dx

∫ ρ(x)Tk2 (x)dx =

−1

k=0

−1

− x 2 dx − [C2 π + C2 π + C

] =

∫ 1

4 27

−1

2 8

arcsin x ]+1 − [

= [

1 − x 2

] =

225π

−1

9π

=π − 1.5675 = 0.0033. 2

Задача 4

Материальная точка M движется прямолинейно. Закон движения S = f (t) представлен в виде таблицы.

Найти скорость v и ускорение w т. M в момент t = t* сек.

Решение.

Найти q = t * −t0 . h

Вычислить S0 , 2S0 , 3S0 в момент времени t0 .

Построить полином Ньютона.

Скорость v - есть первая производная полинома Ньютона, ускорение w -вторая производная полинома Ньютона.

2.1.5 Практическая работа № 5

Работа № 5 выполняется после изучения глав «Численное интегрирование», «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений» и «Интегральные уравнения».

Пример решения типового варианта

Задача 1. Вычислить интеграл

∫ dx при n = 5 .

0.5 x

а) по формуле трапеций; б) по формуле прямоугольников; в) по формуле Симпсона; г) по формуле Гаусса; д) по формуле Чебышева. Рассчитать погрешность.

Решение. Для 5 узлов интегрирования шаг сетки составит

0.125.

При решении будем пользоваться таблицей значений функции.

Здесь f (x) = 1/ x .

	x		f (x)

x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a)формула трапеций:

I= h × (y0 +2(y1 +y2 +y3 )+y4 ) ; 2

I=(0.125/2) × (2+2(1.6+1.33+1.14)+1)=0.696 .

R=	h × (b-a)	M2 , где M2 = max	f ¢¢(x)	; f ¢¢ =	2	.


12					x3

Максимальное значение второй производной функции на ин-

тервале [0.5, 1] равно:	max {	f ¢¢(x)	, x Î[0.5,1]}=	2		=16 ,

				(0.5)	3

поэтому R = 0.125 × (1 - 0.5) ×16 = 0.0833 ; 12

б) Формула прямоугольников.

Для левосторонней формулы имеем I=h × (y0 +y1 +y2 +y3 ) , от-

сюда I=0.125 × (2+1.6+1.33+1.14)=0.759 .
Погрешность R =			h × (b - a)			× M ,
Погрешность R =						× M ,
				2		1
				2
где M = max {		f ¢(x)			, x Î[0.5, 1]}; f ¢(x) = -			1		.
								1

1									x2
Отсюда M =	1				= 4 , R =		0.125 × (1 - 0.5)		x2
	1						0.125 × (1 - 0.5)		× 4 = 0.125 ;
									× 4 = 0.125 ;
1	(0.5)2					2
	(0.5)2					2

в) формула Симпсона:

I= 2h ×{y0 +y4 +4(y1 +y3 )+2y2 }. 6

I= 2 × 0.125 {2+1+4 × (1.6+1.14)+2 ×1.33}=0.693 . 6

h4 × (b - a)

M4 , где M4 = max {f (4) (x),

x Î[0.5, 1]}.

180

M4 = max

, x Î[0.5,1]

= 768 ;

(0.125)4 × (1 - 0.5)

× 768=5.2 ×10- 4 .

180

г) формула Гаусса:

(b-a)

× (A

× f(x )+ A

× f(x

)+ A

× f(x

)+ A

× f(x

+A5 × f(x5 )).

(b + a ) +

(b - a ) × ti . Здесь Ai , ti - табличные данные.

ti , (n = 5)

Ai (n = 5)

0.90617985

0.23692688

0.53846931

0.47862868

0.56888889

-0.53846931

0.47862868

-0.90617985

0.23692688

Вычисленные значения xi и yi

приведены в таблице

0.9765

1.024

0.8846

1.130

0.75

1.333

0.6154

1.625

0.5234

1.911

(1-0.5)

× (0.2426+0.5408+0.7566+0.7777+0.4525)=0.6923 .

д) формула Чебышева:

b - a

I = ∫ f (x)dx =

∑ f (xi ) ;

i =1

(b + a ) +

b − a

ti ,

i = 1, 2,..., n приведение интервала ин-

тегрирования к интервалу [−1,1] . Узлы ti приведены в таблице для n = 5 .

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541

t5	-0.832498
Вычислим		значения		аргумента x и значения функции
y = f (x) в узлах ti :
x1	0,958		y1		1,043
x2	0,844		y2		1,185
x3	0,75		y3		1,333
x4	0,656		y4		1,524
x5	0,542		y5		1,845

Сумма значений функции равна 6,927.

I = (1 − 0.5) × 6.927 = 0.6927 . 5

Задача 2 Решить дифференциальное уравнение

y′ = y + 2x + 1, y(0) = 0, h = 0.5 .

Решение.

1) метод численного интегрирования:

Формулы, по которым подсчитывается значение очередного приближения для трех узлов ( x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1 ):

y n (x1 ) - y(x 0 ) = h [5f (x 0 , y n−1 (x 0 )) + 8f (x1, yn−1 (x1 )) - 12

- f (x 2 , yn−1 (x 2 ))];

y n (x 2 ) - y(x 0 ) = h [f (x 0 , y n−1 (x 0 )) + 4f (x1, y n−1 (x1 )) + 3

+ f (x 2 , y n−1 (x 2 ))].

По условию, y0 (xi ) = y(0) = 0 , x = (0, 0.5, 1) .

n	yn (x)
1	y (x )=		0.5	×[5 ×1+8 × (2 × 0.5+1)-(2 ×1+1)]=	18	=	3
	y (x )=			×[5 ×1+8 × (2 × 0.5+1)-(2 ×1+1)]=		=
	1	1	12	24		4
			12	24		4

		y (x			2	) =						0.5					×[1×1+4 × (2 × 0.5+1)+(2 ×1+1)]=2
		y (x				) =											×[1×1+4 × (2 × 0.5+1)+(2 ×1+1)]=2
		1										3
												3
	2	y	2	(x )=					0.5						×[5 ×1+8 × (						3		+2 × 0.5+1)-(2+2 ×1+1)]=									11
		y		(x )=											×[5 ×1+8 × (								+2 × 0.5+1)-(2+2 ×1+1)]=
					1		12											4													12
							12											4													12
		y2		(x2 )=							0.5					×[1×1+4 × (						3		+2 × 0.5+1)+(2+2 ×1+1)]=									17
		y2		(x2 )=												×[1×1+4 × (								+2 × 0.5+1)+(2+2 ×1+1)]=
												3						4													6
	3	y	3	(x )=				0.5					×[5 ×1+8 × (							11						+2 × 0.5+1)-(	17			+2 ×1+1)]=					127		»
		y		(x )=									×[5 ×1+8 × (													+2 × 0.5+1)-(				+2 ×1+1)]=							»
					1		12											12									6				144
							12											12									6				144
		» 0.882								0.5									11									17						107
		y3		(x2 )=						0.5				×[1×1+4 × (					11						+2 × 0.5+1)+(			17	+2 ×1+1)]=					107		»
		y3		(x2 )=										×[1×1+4 × (											+2 × 0.5+1)+(				+2 ×1+1)]=							»
												3						12									6				36
		» 2.972

	2) метод РунгеКутта
	первого порядка
yi +1 = yi + k1,										k1 = h × f (xi , yi )
	Результаты вычислений:
	i	xi										yi						yi +1
0		0					y					0	= 0					y =0+0.5 × (0+2 × 0+1)=0.5
												0						1
1		0.5					y1 = 0.5											y2 =0.5+0.5 × (0.5+2 × 0.5+1)=1.75
2		1				y2 = 1.75

3) второго порядка:

yi+1	=yi	+	1	×[k1+k2];	k1=h × f(xi , yi ); k2= h × f(xi +h, yi +k1);
yi+1	=yi	+		×[k1+k2];	k1=h × f(xi , yi ); k2= h × f(xi +h, yi +k1);
		2
Результаты вычислений:
i	xi			yi	k1	k2	yi +1
0	0			y0 = 0	0.5	1.25	y1	= 0.875
1	0.5		y1 = 0.875		1.4375	2.65625	y2	=2.9219

2	1		y2 =2.9219

								28