Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие «Прикладная информатика»

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

476.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	1		a13		3				1				a23													1						a33	1			1					a43
%		=		=			%			23 =														%						=				%					=			= 1;
%							%																	%										%
a 13			a43			; a							a43					= 1; a 33														a43	= ; a 23								a43
			a43		2								a43																			a43	2								a43
%	1						a13							3													%	1							a23
%																											%					= a21 - a41 a43 = -2;
a 11		= a11 - a41 a43 = 1- 4 × 2 = -5; a 21																														= a21 - a41 a43 = -2;
%	1	= a31		- a41			a33									1									%		1				= a41		- a41	a43				= 0;
%																									%
a 31							a43				= 3 - 4 × = 1; a 41																							a43
							a43									2																		a43
%	1						a13									3								5					%		1							a23
%		= a12 - a42 a43 = 2										- 3× 2 = -																	%
a 12		= a12 - a42 a43 = 2										- 3× 2 = -												2 ; a 22 = a22 - a42 a43 = -2;
%	1							a33									1						1					%	1								a43
%		= a32		- a42							= 2	- 3× =																%												= 0;
a 32		= a32		- a42				a43			= 2	- 3× =									2			; a 42 = a42 - a42													a43			= 0;
								a43								2					2																a43
%	1						a13								3						5
%		= a14 - a44 a43 = 4										-1× 2 = 2 ;
a 14		= a14 - a44 a43 = 4										-1× 2 = 2 ;
%	1							a23
%		= a24		- a44							= 3	-1×1 = 2;
a 24		= a24		- a44				a43			= 3	-1×1 = 2;
								a43
%	1							a33								1						3					%	1								a43
%		= a34		- a44							= 2	-1× =															%					= a44 - a44							= 0.
a 34		= a34		- a44				a43			= 2	-1× =									2			; a 44								= a44 - a44				a43			= 0.
								a43								2				~	2															a43
		Таким образом, матрица																		A1 равна
											- 5 - 5 / 2 3 / 2																					5 / 2
																				- 2
							~				- 2									- 2								1				2
								A1			=	1							1/ 2														.
												1							1/ 2								1/ 2 3 / 2
												0								0								1				0
												0								0								1				0

Далее вычисляем матрицу A1 . Она равна матрице A1 , в которой необходимо изменить только третью строку.

a131 = ∑ anka%1k1 = 4 ×(-5) + 3×(-2) + 2 ×1+ 0 = -24; k =1

a132 = ∑ anka%1k2 = 4 ×(-5 / 2) + 3×(-2) + 2 ×(1/ 2) + 0 = -15; k =1

a133 = ∑ anka%1k3 = 4 ×(3 / 2) + 3×1+ 2 ×(1/ 2) +1×1 = 11; k =1

a134 = ∑ anka%1k4 = 4 ×(5 / 2) + 3× 2 + 2 ×(3 / 2) + 0 = 19. k =1

							-5							-5 / 2 3 / 2 5 / 2
								-2						-2					1			2
				A =				-2						-2					1			2		.
				1				-24						-15					11			19
									0						0				1			0
									0						0				1			0
		Вычисляем матрицу														%
		Вычисляем матрицу														A2 .
	2			a121		(-5 / 2)									1				2		a122					(-2)
a12			=		=									=			;	a22 =						=
%				a132		(-15)									6			%			a132				(-15)
				a132		(-15)									6						a132				(-15)
%	2			1		1			a121											1
%			= a11 - a31 a132										= -5 - (-24) ×									= -1;
a11			= a11 - a31 a132										= -5 - (-24) ×							6		= -1;
	%	2		1				1				a122											2		18

														= -2 - (-24) ×										= ;
	a21 = a21 - a31													= -2 - (-24) ×										= ;
												a132										15			15
	2			1		1				a132
%			= a31 - a31										= 0;
%									1
a31									1
										a32
	2			1		1				a121																		1
%			= a13 - a33										= (3 / 2) - (11) ×(1/ 6) = -
%																												;
a13										a132																		;
										a132																		3
%	2			1		1					a122																7
%			= a23 - a33											= 1- (11) ×(2 /15) = -														;
a23			= a23 - a33											= 1- (11) ×(2 /15) = -														;
											a132															15

	2	%	2		a132
= ;				=		= 1;
		a32			a132
15

2	1	1	a132
%	= a33 - a33			= 0;
%
a33			a132
			a132

	2		1		1		a121								2
%		= a14 - a34								= (5 / 2)	- (19) ×(1/ 6) = -
%															;
a14							a132								;
							a132								3
%	2		1		1			a122						8
%		= a24 - a34								= 2 - (19) ×(2 /15) = -					;
a24		= a24 - a34								= 2 - (19) ×(2 /15) = -					;
								a132					15
~ 2		= a	1	- a	1	a132			= 0.
a	34		34		34
a	34		34		34	a132
						a132
									-1		1/ 6	-1/ 3				-2 / 3
												-7 /15			-8 /15
					%				18 /15		2 /15	-7 /15			-8 /15		.
					A2 =					0	1	0			0		.
										0	0	1			0
										0	0	1			0

Вычисляем матрицу						%
					A2 . Она равна матрице A2 , в которой
необходимо изменить только вторую строку.
2		4	% 2
		1		= (-24) ×(-1) + (-15) ×(18 /15) +11×0 +19 ×0 = 6;
a21	= ∑ a3kak1
	k =1
2		4	%2
		1		= (-24) ×(1/ 6) + (-15) ×(2 /15) +11×1+19 ×0 = 5;
a22	= ∑ a3kak2
	k =1
2		4	%2
		1		= (-24) ×(-1/ 3) + (-15) ×(-7 /15) +11×0 +19 ×1 = 34;
a23	= ∑ a3kak3
	k =1
2		4	%2
		1		= (-24) ×(-2 / 3) + (-15) ×(-8 /15) +11×0 +19 ×0 = 24.
a24	= ∑ a3kak4
	k =1
	-1 1/ 6			-1/ 3 -2 / 3
		6	5	34	24
A2	=					.
		0	1	0	0
			0	1	0
	0

Аналогично вычисляем матрицу %

A3 .

	3		a2		-1		3		a	2
%		=	11	=		%		=		21	= 1;

a11			a212		6	; a21			a212

a%123 = a122 - a222 a112 = (1/ 6) - 5 ×(-1/ 6) = 1; a%322 = 0; a21

a%133 = a132 - a223 a112 = (-1/ 3) - 34 ×(-1/ 6) = 16 / 3; a%323 = 0; a21

	3	2		2	a2					3
	3	2		2	11					3
%		= a14 - a24							%		= 0.
%									%
a14					a212	= (-2 / 3) - 24 ×(-1/ 6) = 10 / 3; a24
					a212
				-1/ 6		1	16 / 3 10 / 3
					1	0	0	0
		%	=		1	0	0	0	.
		A3	=		0	1	0	0	.
					0	0	1	0
					0	0	1	0

Вычисляем матрицу A3			по формулам.
	n	n −2		n −1
	n −1		%
a	1, j = ∑ a
		1,ka kj;
	k =1

	= 1, ..., n
j

a113 = ∑ a1k2 a%3k1 = 6 ×(-1/ 6) + 5 ×1 = 4; k =1

a123 = ∑ a1k2 a%3k2 = 6 ×1+ 5 ×0 + 34 ×1 = 40; k =1

a133 = ∑ a1k2 a%3k3 = 6 ×(16 / 3) + 5 ×0 + 34 ×0 + 24 ×1 = 56; k =1

a143 = ∑ a1k2 a%3k4 = 6 ×(10 / 3) = 20. k =1

В результате мы получили следующую матрицу Фробениуса

	4		40		56	20
		1	0	0		0
P = A3	=	1	0	0		0	.
		0	1		0	0
			0		1	0
	0		0		1	0

Запишем характеристический полином

	4 - l	40	56	20

D(l) =	1	-l	0	0
	0	1	-l	0

	0	0	1	-l

или D(l) = l4 - 4l3 - 40l2 - 56l - 20 . Корни равны: l1 = 9.098975;

l2 = -0.585791; l3 = -1.098975; l4 = -3.414209.

Вычислим собственный вектор для l2 = -0.585791. .

∙ Вычисляем собственный вектор матрицы Фробениуса

y = (l3 , l2 , l, 1) = (-0.20101, 0.34315,					-0.58579, 1).
∙ Вычисляем вектор y1
m =	1	; m = -	a2k2	; k ¹ 1.

11	a2	1k
			a2
21		21
Из элементов матрицы A2 определяем
m11 = 1/ 6; m12 = -5 / 6; m13 = -34 / 6;					m14 = -24 / 6;

y11 = ∑ m1k y0k = (1/ 6) ×[1× (-0.20101) + (-5) × 0.34315 + (-34) × k =1

×(-0.58579) + (-24) ×1] = 0.99998;

y1 = (0.99998,

0.34315, -0.58579,

1).

∙ Вычисляем вектор y2 .

Из элементов матрицы A1 определяем

m21

= -

a131

= -

; m22 =

= -

;

a32

m23

= -

a133

; m24

= -

a134

;

a32

y22 = ∑ m2k y1k = (1/15) ×[(-24) × (-0.99998) + k =1

(-1) × 0.34315 +11×× (-0.58579) +19 ×1] = 2.41418;

y2 = (-0.99998, 2.41418, -0.58579, 1).

∙ Вычисляем вектор y3 .

Из элементов матрицы A0 = A определяем

m31	= -			a041			= -			4	; m32 = -			a042		= -			3	;

				a	0		2							a	0	2
					43										43
m33	=		1			=		1	; m32			= -	a044		= -		1	;
			0
		a					2					0				2
			43										a43

y33 = ∑ m3k y2k = (1/ 2) ×[(-4) × (-0.99998) + (-3) × 2.41418 +1× k =1

×(-0.58579) + (-1) ×1] = -2.41420;

y3 = (-0.99998, 2.41418, -2.41420, 1).

Таким образом, собственному значению l2 = -0.58579 соответствует собственный вектор

x = y3 = (-0.99998, 2.41418, -2.41420, 1).

Проверка.

Ax = λx .

Вычислим правую и левую части этого соотношения при l = l2 = -0.58579 .

4
∑ a1k xk = 0.58576 ;	l × x1 = 0.58578.
k =1
4
∑ a2k xk = -1.41418 ;	l × x2 = -1.41420.
k =1
4
∑ a3xk = 1.41422 ;	l × x3 = -1.41421.
k =1
4
∑ a4 xk = -0.58578 ;	l × x4 = -0.58579.
k =1

Получили согласие в 4 цифрах после запятой. Задача 3

Найти обратную матрицу, используя метод декомпозиции.

1		2	-1

A =	3	0	2
	4	-2	5
	4	-2	5

Решение: Нам надо решить три системы уравнений вида

Axi = ei , i = 1, 2, 3 .

Будем решать эти системы методом декомпозиции. Представим матрицу A в виде произведения матриц: A = B × C и вычислим элементы матриц B и C

b11		= a11 = 1;			b21 = 3;			b31 = 4;
c11 = 1; c12 = 2; c13 = -1;
b22 = a22 - b21c12 = 0 - 3 × 2 = -6;
b32 = a32 - b31c12 = -2 - 4 × 2 = -10;
c	22	= 1; c	23	=	1	(a	23	- b c ) =

					b22			21 13

= 1/(-6) × (2 - 3 × (-1)) = -5 / 6;

b33 = a33 - b31c13 - b32c23 = 5 - 4 × (-1) - (-10) × (-5 / 6) = = 2 / 3.

Таким образом, получили
1 0			0		1 2		-1

	3	-6	0	;	C = 0	1	- 5 / 6 .
B =
	4	-10	2 / 3			0	1
					0

Исходные системы раскладываются на две эквивалентные системы

Byi = ei , Cxi = yi , i = 1, 2, 3.

Компоненты векторов yi и xi вычисляются по формулам

y1i	= e1i / b11;	y2i = (e2i - b21y1i ) / b22 ;
y3i	= (e3i - b31y1i - b32 y2i / b33 ;
x3i	= y3i ; x2i	= y2i - c23x3i ; x1i = y1i - c12 x2i - c13x3i .

Полагаем i =1.

y11 = 1; y21 = (0 - 3 ×1) /(-6) = 1/ 2;

y31 = (0 - 4 ×1 - (-10) × (1/ 2) /(2 / 3) = 3 / 2;

x31 = 3 / 2; x 21 = (1/ 2) - (-5 / 6) × (3 / 2) = 7 / 4;

x11 =1 - 2 × (7 / 4) - (-1) × (3 / 2) = -1.

Полагаем i = 2 .

y12 = 0; y 22 = (1 - 3 × 0) /(-6) = -1/ 6;

y32 = (0 - 4 × 0 - (-10) × (-1/ 6)) /(2 / 3) = -5 / 2;

x32 = -5 / 2; x 22 = (-1/ 6) - (-5 / 6) × (-5 / 2) = -9 / 4;

x12 = 0 - 2 × (-9 / 4) - (-1) × (-5 / 2) = 2.

Полагаем i = 3 .

y13 = 0; y 23 = (0 - 3 × 0) /(-6) = 0;

y33 = (1 - 4 × 0 - (-10) × 0) /(2 / 3) = 3 / 2;

x33 = 3 / 2; x 23 = 0 - (-5 / 6) × (3 / 2) = 5 / 4;

x13 = 0 - 2 × (5 / 4) - (-1) × (3 / 2) = -1.

Таким образом, получим

	-1		2	-1
A −1			- 9 / 4
	= 7 / 4			5 / 4 .
		3 / 2	- 5 / 2	3 / 2

2.1.4 Практическая работа № 4

Работа № 4 выполняется после изучения глав «Приближение функций» и «Численное дифференцирование».

Пример решения типового варианта

Задача 1 Для таблично заданной функции построить интерполяционный

полином Ньютона третьего порядка.

x	3.5	3.55	3.60	3.65	3.70
y	33	34.8	36.8	39.1	41.9
Составим таблицу разностей
x	y	y	2 y	3y	4 y
x		y	2 y	3y	4 y
3.50	33.0	1.8	0.2	0.1	0.1
3.55	34.8	2.0	0.3	0.2
3.60	36.8	2.3	0.5
3.65	39.1	2.8
3.70	41.9

q = x − 3.5 = 20(x − 3.5); n = 3; y0 = 33.0 . 0.05

P3 (x) = 33.0 + 1.8q + 0.2 q(q − 1) + 2

+0.1 q(q − 1)(q − 2) . 6

Остаточный член:

R3 (x) = 0.1× q(q − 1)(q − 2)(q − 3) , 4!

Задача 2 Аппроксимировать полиномом Лежандра 5-ой степени функцию:

f(x) = sin x, x [-π/2, π/2]

Справка

∫ x sin xdx = sin x − cos x;

∫ x2 sin xdx = 1 x − 1 sin x cos x;
2	2

∫ x3 sin xdx = (3x2 − 6)sin x − (x3 − 6x ) cos x;

∫ x4 sin xdx = (5x4 − 60x2 + 120)sin x −

−(x5 − 20x3 − 120x) cos x

Решение.

Функция f(x) = sin x нечетная на интервале x [-π/2, π/2] . Так как полиномы Лежандра определены на интервале [−1,1] , то необходимо перейти к интервалу [−1,1] .

Введем переменную y = π2 x . Функция f(yπ/2) = sin(yπ/2)

будет нечетной на интервале y [−1,1] . Т.к. полиномы Лежандра Pk (x) являются нечетными при k нечетном, то отличными от

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]