30. Условные плотности и условные математические ожидания.

Определение 30.1. Условной плотностью случайной величины X называется плотность распределения её вероятности при условии, что известно, что случайная величина Y приняла какое-то значение Y=y.

Обозначим эту плотность . Аналогичным образом определяется условная плотность .

Нетрудно доказать, что

, = .

Условные математические ожидания

= и M

называются функциями регрессии одной из случайных величин на другой.

31. Равномерное распределение на плоскости.

Определение 31.1. Случайная величина называется равномерно распределенной в области D, если она задается плотностью

Из нормировочного условия следует, что при равномерном распределении константа , где - площадь области D.

Пример 31.1. Случайная величина распределена равномерно в треугольнике с вершинами ( Вычислить коэффициент корреляции. Найти условную плотность и условное математическое ожидание

Решение. Поскольку площадь треугольника равна , то константа

Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид:

Тогда:

;

из соображений симметрии понятно, что ;

;

из соображений симметрии понятно, что ;

тогда ;

= , .

. .

Найдём теперь и

Очевидно, что . Напомним, что

Тогда

При условии имеем:

Откуда следует:

Заметим, что это - равномерное распределение по при каждом y.

Тогда

= .

Заметим, что получилась середина интервала как и должно быть при равномерном распределении.

Пример 31.2. Случайная величина распределена равномерно в круге , описываемым неравенством Вычислить корреляционный момент, найти плотности составляющих и и а также выяснить, являются ли случайные величины и независимыми.

Решение.

Поскольку площадь круга радиуса 1 равна , то плотность внутри круга и равна 0 вне круга.

Поскольку круг симметричен относительно обеих координатных осей, то

в силу нечётности подынтегральных функций во всех трёх интегралах. Но тогда

Напомним, что

Тогда , если и , если .

В силу симметрии

Очевидно, что , следовательно, по следствию 29.1 случайные величины и зависимы, хотя

Задача для самостоятельного решения.

Пример 31.2. Случайная величина распределена равномерно в треугольнике с вершинами ( Вычислить коэффициент корреляции. Найти условную плотность и условное математическое ожидание

Контрольная работа.

Случайная величина распределена равномерно в треугольнике с вершинами ( Вычислить коэффициент корреляции. Найти условную плотность и условное математическое ожидание n - номер студента по журналу.

32. Нормальный закон распределения на плоскости.

Определение 32.1. Двумерная случайная величина (X,Y) называется распределённой по нормальному закону, если она задаётся плотностью распределения

, (32.1)

где и - произвольные параметры, >0, >0, .

Можно проверить, что для функции (32.1) справедливо нормировочное условие.

Оказывается, что и - математические ожидания соответственно случайных величин X и Y, - их средние квадратические отклонения, а - их коэффициент корреляции.

Заметим, что если то

.

То есть по следствию 29.1 случайные величины X и Y в этом случае являются независимыми.