21. Гипергеометрический закон распределения.

С ещё одним законом распределения - гипергеометрическим - ознакомимся на примере.

Пример 21.1. В урне находятся 5 белых шаров и 2 чёрных. X – случайная величина, число белых шаров среди четырёх отобранных. Составить её закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию. (Такой закон распределения называется гипергеометрическим).

Решение. Очевидно, Xможет принимать значения 2, 3, 4. Следовательно, закон распределения имеет вид:

X	2	3	4
P

Вычислим вероятности. Во всех трёх случаях общее число исходов одно и то же и равно , поскольку выбирается 4 шара из 7.

Число благоприятствующих исходов, соответствующих случаю равно (см. задачи про пирожки):

Тогда .

Аналогичным образом для ,

Для получим: , _.

Таким образом, закон распределения следующий:

X	2	3	4
P

Проверка:

Вычислим математическое ожидание:

_.

Для вычисления дисперсии сначала вычислим .

.

Тогда для дисперсии имеем:

= _.

22. Функция распределения вероятностей случайной величины.

Определение 22.1. Функцией распределения вероятностей случайной величины (дискретной и непрерывной) называется функция

то есть функция, равная вероятности того, что приняла значение, меньшее

Из определения 22.1 очевидным образом вытекают свойства функции распределения:

1)

(неубывающая);

3) , ;

4) ( непрерывна слева).

Доказательство.1) .

2) если , то очевидно, что .

3)

.

4) Следует из определения функции

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал вычисляется по формуле

(22.1)

Действительно, поскольку { и события

несовместны, то (22.1).

Пусть дискретная случайная величина распределена по закону

			………
			………

Построим её функцию распределения. Нетрудно понять, что:

Пример 22.1. Построить функцию распределения случайной величины распределенной по закону

	-1	1	2	3
	0,2	0,1	0,4	0,3

Решение. Согласно определению функции распределения получим: