Кванты муравьев 1сем

уравнения может быть только бесконечно удаленная точка. Найдем поведение решений на бес-

конечности.

Для этого поступим так. Непосредственной проверкой убеждаемся, что приближенными решениями уравнения (2) при x являются функции

x2

f (x) e 2

Выбирая затухающую экспоненту, ищем решение уравнения (2) в виде

Таким образом, чтобы ряд (4) определял решение уравнения (3) его коэффициенты должны быть связаны рекуррентным соотношением (6). Заметим, что поскольку это соотношение связы-

вает Ck и Ck 2 , оно связывает отдельно четные и нечетные коэффициенты. А вот для коэффици-

ентов C0 и C1 нет никаких условий — они могут быть выбраны произвольно. Отсюда, во-

первых, следует, что ряд (4), (6) определяет общее решение уравнения (3), а во-вторых, решение

2

ми, поэтому рассмотрим соотношение (6) при k . Для больших k рекуррентное соотноше-

ние (8) имеет вид (мы пренебрегли числами порядка единицы по сравнению с большим k ):

Соотношение (7) для четных индексов отвечает разложению в ряд Тейлора функции exp x2 и

этих функций в ряд Тейлора и сравнивая соседние коэффициенты с большими номерами). Это значит, что при больших x (при которых сумма ряда (4) определяется слагаемыми c большими

Однако при некоторых значениях энергии ряд (4) обрывается, и все коэффициенты,

коэффициент Cn 2 обращается в нуль. Очевидно, в этом случае будут равны нулю и коэффици-

лать равным нулю, взяв коэффициент C1 0 . Поэтому функция u(x) в этом случае — много-

член нулевой степени. Таким образом, значение E0 1/ 2 — минимальное собственное значе-

ние, которому отвечает собственная функция

3

Отметим, что из приведенных выше рассуждений буквально не следует, что перечислен-

ные собственные решения исчерпывают все собственные значения и собственные функции уравнения (1). Действительно, так как линейная комбинация двух неограниченно возрастающих функций может, вообще говоря, расходиться гораздо медленнее каждой функции, то можно бы-

дены в математику задолго до создания квантовой механики и называются полиномами Эрмита.

Поскольку осцилляторные функции, отвечающие разным собственным значениям, ортогональ-

ны (как собственные функции эрмитового оператора), то для полиномов Эрмита справедливо условие

(об этом равенстве говорят, как об ортогональности полиномов Эрмита с весом exp( x2 ) ).

Множитель An у осцилляторных функций подбирается так, чтобы все они были нормированы

4

на единицу. При принятой в математике нормировке полиномы Эрмита отличаются множите-

лями от многочленов (8)-(10), а постоянные An оказываются равными

Отметим, что если восстановить все размерные множители, то собственные значения и соб-

ственные функции гармонического осциллятора будут иметь вид

Как следует из проведенного выше вывода, полиномы Эрмита с четными индексами содержат только четные степени x , с нечетными — нечетные. Это значит, что собственные функции, от-

вечающие четным уровням энергии (нулевому, второму и т. д.) являются четными функциями координаты, нечетным уровням (первому, третьему и т. д.) — нечетными. Этот вывод согласу-

ется с общим утверждением о четности собственных функций оператора Гамильтона в случае четной потенциальной энергии.

Приведем в заключение несколько нормированных собственных функций одномерного

Знание собственных значений и собственных функций гамильтониана гармонического осциллятора позволяет находить вероятности различных значений энергии осциллятора и его среднюю энергию в любых состояниях, а также строить все возможные волновые функции ос-

5

Какие значения может принимать энергия осциллятора в последующие моменты времени и с какими вероятностями? Найти среднюю энергию гармонического осциллятора как функцию времени. Какова средняя четность указанного состояния осциллятора? Как средняя четность за-

висит от времени?

Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени, вероятности различных значе-

ний энергии осциллятора в любом состоянии не зависят от времени. Поэтому достаточно вы-

числить вероятности различных значений энергии и среднюю энергию осциллятора в момент времени t 0 . Чтобы найти эти величины для осциллятора в рассматриваемом состоянии раз-

ложим начальную волновую функцию этого состояния по собственным функциям оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Так как данная в условии задачи волновая функ-

нии могут быть представлены только нулевая, первая и вторая собственные функции гамильто-

ниана осциллятора. Используя явные выражения для трех первых собственных функций осцил-

лятора (13), находим

Поэтому энергия осциллятора, находящегося в рассматриваемом состоянии может принимать

Среднюю энергию осциллятора найдем по формуле теории вероятностей для математического ожидания

ными функциями оператора четности, отвечающими собственному значению p 1, f1 (x) —

собственной функцией оператора четности, отвечающей собственному значению p 1. По-

этому вероятность обнаружить четность рассматриваемого состояния осциллятора, равную +1,

есть w 3 / 5 , равную –1, — w 2 / 5 . Отсюда найдем, что средняя четность рассматриваемого состояния равна

p 15

6

Разумеется, вычисление средней четности данного состояния по квантовомеханической форму-

ле приводит к тому же результату. Предоставляю слушателям возможность самостоятельно в этом убедиться.

Вероятности различных значений четности и средняя четность от времени не зависят, так как оператор Гамильтона и оператор четности коммутируют.

В том, что средняя четность не зависит от времени можно убедиться и непосредственно.

Для этого нужно построить волновую функцию осциллятора в любые моменты времени по начальной волновой функции (используя формулу для общего решения временного уравнения Шредингера) а затем вычислить среднюю четность по квантовомеханической формуле для средних. Прошу слушателей проделать эти вычисления самостоятельно.

7

Модуль 2. Одномерное движение Лекция 2-5. Вычисления с осцилляторными функциями

Итак, в прошлой лекции мы нашли, что собственные значения и собственные функции

гамильтониана гармонического осциллятора даются формулами

формулы именно для такой нормировки) для них справедливо следующее условие ортонорми-

рованности

(а осцилляторные функции при таком выборе нормировки нормированы на единицу). Полином

n— нечетные.

Вразличных задачах, связанных с гармоническим осциллятором, приходится вычислять интегралы типа

дет подразумеваться безразмерная переменная, связанная с размерной координатой через пара-

для полиномов Эрмита (а есть только рекуррентные соотношения), но и в том, что даже, если бы они существовали бы, не очень понятно как ими воспользоваться для больших индексов

(очень громоздко).

Несмотря на то, что явное выражение для коэффициентов полиномов Эрмита действи-

тельно не существует (например, найти коэффициенты 2019 полинома Эрмита в каком-нибудь справочнике по математике невозможно), их свойства очень хорошо изучены, и для вычисления интегралов типа (1) явные выражения для полиномов Эрмита не нужны. Покажем, как вычис-

1

ляются такого рода интегралы на основе рекуррентных соотношений между полиномами Эрми-

та.

(эти формулы можно получить из рекуррентного соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита из предыдущей лекции). Используем первое из этих соотношений для вычисления инте-

грала

нормировочные постоянные в осцилляторных функциях. Из формулы (5) сразу следует, что да-

леко не для всех значений индексов рассматриваемый интеграл отличен от нуля. Действительно,

тому отличен от нуля только если n k 1 (из-за ортогональности осцилляторных функций).

отличен от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу. Кроме того, из формулы (5) видна и «техническая сторона» дальнейших вычислений рассматриваемого инте-

грала — нужно свести произведения Hk 1 (x)e x2 / 2 и Hk 1 (x)e x2 / 2 к собственным функциям ос-

цилляторного гамильтониана fk 1(x) и fk 1(x) и воспользоваться тем, что осцилляторные функ-

ции нормированы на единицу.

2

Реализуем этот план. Сначала первое слагаемое формулы (5). Используя выражение для

коэффициента Ak (6), имеем

Поэтому первый интеграл в (5) сводится к выражению

откуда, пользуясь нормированностью осцилляторных функций, имеем

Аналогичные вычисления второго слагаемого в (5) приводят к следующему результату

В результате для интеграла (4) получаем

Аналогично с использованием обоих рекуррентных соотношений (2) и (3) найдем инте-

грал

Приведем только основную идею вычисления и результат. При дифференцировании осцилля-

Далее для первого слагаемого нужно воспользоваться рекуррентным соотношением (3), для второго — соотношением (2). В результате получим, что производная от k -ой осцилляторной функции по координате сводится к определенной линейной комбинации k 1 -ой и k 1-ой ос-

цилляторных функций. Отсюда сразу следует, что интеграл (9) отличен от нуля только в случа-

ях n k 1 или n k 1 . Для дальнейшего вычисления этого интеграла необходимо свести его к

3

двум нормировочным интегралам от осцилляторных функций (при этом необходимо использо-

вать явное выражение для нормировочного коэффициента (6)). Поскольку технически эти дей-

ствия мало чем отличаются от подробно описанных выше, приведем только окончательный ре-

зультат

Напомним, что все вычисления мы проводили в безразмерных переменных. Однако, их

очень легко исправить на случай вычисления «настоящих» (размерных) интегралов. Основная идея такого исправления заключается в том, что интеграл (4) имеет размерность длины, и, сле-

мерность обратной длины, и выражается через обратный параметр длины (а если оператор про-

Поэтому после обезразмеривания соответствующих интегралов они сведутся к вычисленным безразмерным интегралам и указанным размерным множителям (кроме того, чтобы свести инте-

грал (9) к оператору импульса его нужно умножить на i ). Поэтому для размерных интегралов с операторами координаты и импульса имеем

ханики нам придется иметь дело с этими матричными элементами, приведем для справок соот-

ветствующие результаты

4