Кванты муравьев 1сем

но не зависят от проекции момента, по которой, следовательно, имеется вырождение собственных значений. Дальнейший анализ уравнения (5) мы проведем на следующей лекции. А

на сегодня, до свидания.

3

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-3. Классификация состояний в центральном поле

Собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона частицы в центральном

конкретизируем потенциал. Пусть потенциальная энергия U(r) представляет собой некоторую потенциальную яму (т. е. является энергией притяжения), такую, например, как это показано на

1

рисунке. Тогда для нахождения собственных значений и собственных функций гамильтониана с

(показан жирным на рисунке). Используя результаты нашего анализа одномерного уравнения Шредингера, заключаем, что есть набор собственных значений и собственных функций уравнения (1) с эффективным потенциалом с l 0 . Этот набор таков. При энергиях, меньших минимума потенциала (при E Umin,l 0 ) собственных значений нет. При энергиях, больших

Umin,l 0 , но меньших меньшего из граничных значений потенциала, могут существовать (а могут

и не существовать) дискретные собственные значения (уровни энергии), которым отвечает единственное хорошее решение уравнения (1). Для нумерации этих состояний введем квантовое

число nr , которое будем называть радиальным квантовым числом1. Радиальное квантовое число

нумерует дискретные собственные значения с l 0 в порядке возрастания их энергий En ,l 0 2. r

Точно так же и собственные функции (r) должны нести два индекса — n ,l 0 . Эти функции r

имеют свойства, аналогичные свойствам решений одномерного уравнения Шредингера. Для них справедлива осцилляционная теорема, они должны быть ортогональны, каждое собственное

определяется соображениями удобства.

2

(см. рисунок, центробежная энергия показана пунктиром, эффективный потенциал — жирной линией). Далее используем наше понимание свойств собственных значений и собственных функций одномерной задачи. В этом потенциале будет своя система собственных значений

радиальной функции для каждого собственного значения и др. В частности, радиальная

А вот радиальные функции, отвечающие разным моментам, не обязаны быть ортогональными — ведь они являются решениями разных уравнений. Ортогональность же разных собственных функций гамильтониана в этом случае обеспечивается ортогональностью сферических функций. Учитывая, что каждому собственному значению отвечает единственная

И еще одной важной особенностью обладают собственные значения гамильтониана с

l 0 . А это значит, что энергии всех состояний с моментом l 1 больше энергий состояний с

(см. рисунок, центробежная энергия показана пунктиром, эффективный потенциал — жирной линией). В этом потенциале будет своя система собственных значений Enr ,l 2 и собственных

3

пятикратно вырожденным из-за пяти возможностей для проекции момента m 2, 1, 0, 1, 2.

И далее решаем уравнение (1) для бóльших моментов l 3, 4,5,... Каждый раз мы будем получать все более и более мелкую яму, поскольку центробежная энергия, отвечающая бóльших моментов будет больше добавки для меньших моментов. Для каждого момента мы получим свое «одномерное» уравнение Шредингера, которое имеет свою систему собственных значений с данным моментом и радиальных функций. Эти решения мы перенумеруем радиальным квантовым числом nr , начиная с единицы.

На следующей лекции мы подведем итоги нашей классификации решений стационарного уравнения Шредингера для частицы в центральном поле и обсудим основные свойства собственных значений и собственных функций.

4

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-4. Классификация состояний в центральном поле (продолжение)

Повторю основные принципы решения уравнения Шредингера в центральном поле. Все собственные функции зависят от трех квантовых чисел — радиального квантового числа1,

Собственные энергии гамильтониана зависят от радиального квантового числа и момента, но не зависят от проекции. Поэтому все собственные значения (кроме значений с моментом l 0 )

связанных состояний частицы в центральном поле нужны два квантовых числа — радиальное квантовое число и момент — nr и l :

уравнения для радиальной волновой функции, которое оказывается разным для разных моментов и совпадает с одномерным уравнением Шредингера

(отличие этих уравнений для разных моментов заключается в разных центробежных энергиях,

радиальных волновых функций, которые отличаются друг от друга радиальным квантовым числом, которое имеет тот же смысл, что и квантовое число в одномерной задаче (как для

1 Конечно, радиальное квантовое число можно ввести при условии существования дискретных собственных значений. В случае потенциала отталкивания или притяжения недостаточной величины таковых может не быть. В этом случае спектр решений уравнения Шредингера является непрерывным, а собственные функции зависят от непрерывного собственного значения E , дискретных момента l и проекции m , которые принимают все разрешенные для них значения.

1

потенциальной ямы или осциллятора) — номер состояния в порядке возрастания энергии. Для каждого момента радиальное квантовое число пробегает целые значения, начиная от nr 1 (для некоторых потенциалов оказывается удобным начинать отсчет радиального квантового числа от nr 0 ). При этом радиальные волновые функции (для каждого момента!) обладают такими же свойствами, что и волновые функции одномерной задачи — радиальные функции,

отличающиеся радиальными квантовыми числами, но с одинаковым моментом ортогональны,

радиальное квантовое число определяет число узлов радиальной волновой функции и т. д.

Из-за увеличения центробежной энергии с увеличением момента увеличиваются энергии всех дискретных связанных состояний с определенным моментом. Или для фиксированного

иллюстрация носит качественный характер — точные значения энергий нужно получать, решая уравнение (1) для каждого момента, начиная с наименьшей). Будем на этой оси черточками

и их количество для данного момента зависят от конкретного потенциала). Все эти энергии отвечают одному и тому же моменту, но разным радиальным квантовым числам. Правее нарисуем еще одну ось, на которой черточками отложим энергии состояний с моментом l 1.

Каждой такой черточке отвечает трехкратно вырожденное состояние дискретного спектра с моментом l 1. Еще правее нарисуем энергетическую ось, на которой будем откладывать энергии состояний с моментом l 2 (которые являются пятикратно вырожденными по проекции момента) и т. д. Отметим следующие характерные особенности этой картины.

2

1. Каждой черточке — уровню энергии — отвечает некоторое дискретное стационарное

энергий, из-за увеличения центробежной энергии при увеличении момента состояния.

4.В свое время в атомной физике возникла терминология, которая широко используется

вквантовой механике, атомной и ядерной физике сегодня для обозначения состояний с

5. Радиальные волновые функции, отвечающие состояниям с одним и тем же моментом

(т. е. показанным на одной и той же оси) ортогональны.

6. Энергии состояний с разными моментами (черточки на разных осях) «ничего не знают» друг о друге, поскольку определяются из решений разных уравнений (с разными потенциалами). Поэтому энергии состояний с разными моментами, вообще говоря, разные. Не имеет места также ортогональность радиальных волновых функций для состояний с разными моментами.

7. Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Эта ортогональность обеспечивается ортогональностью сферических функций в случае разных моментов и ортогональностью радиальных волновых функций для разных собственных состояний с одним и тем же моментом.

8. Интервалы между уровнями энергии и их количество для данного момента зависят от конкретного вида потенциала. При небольших изменениях потенциала уровни энергии с каждым моментом должны смещаться по отношению к том положениям, которые показаны на рисунке, причем смещаться по-разному на разных осях. А это означает, что существуют такие потенциалы, для которых существует совпадение энергий состояний с разными моментами.

Поскольку дискретные собственные значения Enr ,l для разных значений l определяются из решения разных радиальных уравнений, то такое вырождение называют «случайным». Понятно,

однако, что точного совпадения двух абсолютно несвязанных величин быть не может (уж очень у нас много чисел на числовой оси!), поэтому существуют причины, почему именно для этих

3

потенциалов совпадают на первый взгляд несвязанные величины. Поэтому слова «случайное вырождение по моменту», как правило, берут в кавычки. Таким образом «случайным вырождением» называют совпадение энергий у состояний с разными моментами.

9. Кратность вырождения уровней при наличии случайного вырождения есть сумма кратностей вырождения по проекции момента тех состояний с разными моментами, энергии которых совпадают. Например, в кулоновском потенциале (для электрона в атоме водорода; см.

4

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-5. Атом водорода

частицы массой и зарядом e , движущейся в кулоновском поле притяжения частицы с таким же по величине зарядом (электрон в атоме водорода)

состояния дискретного спектра — связанные состояния электрона в атоме — имеют энергии,

меньшие нуля. Поэтому будем решать уравнение (2) для отрицательных энергий.

размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (2)

имеет вид

где 2 2E /(e2 / a) — безразмерное собственное значение энергии (которое для состояний

условия существования «хороших» решений уравнения (3). Для этого будем решать уравнение

непрерывные решения уравнения (3) при всех значениях r ( 0 r ) определяют дискретные собственные значения для каждого момента l .

Решаем сначала уравнение (3) на асимптотиках — r 0 и r . При r 0 уравнение

(3) дает

1