Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 2 часть

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

5.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

12.4.
12.4.1.				:			)			z2 4x ,
y2 4x								x 1; )	x2 y2 R2 ;
z xy ,									x2 y2 R2 ;				)
x2 y2 z2 R2 ,								x2 y2 2 R2 (x2 y2 ) .
12.4.2.												x2 y2		2z ,
					z 1.
											4 y
12.4.3.								z		2x		d	,	–
12.4.3.								z		2x	3	d	,	–
											3
	x		y		z	1,				.
2						1,				.
2		3		4
12.4.4.		xyzd ,					–			x y z 1,
.
.

12.4.5.	x2 y2d ,					–
			d
			d			–
12.4.6.					,
12.4.6.			r 2		,
z 0		z H ,				r –
.		d
12.4.7.		d		,		–
12.4.7.				,		–
			r

zR2 x2 y2 . x2 y2 R2 ,

z xy ,

	x2 y2 1,								r –														Oz .
12.4.8.									,
	.
	. 12.4.1.				)		16		2			1 ;			)	2			(1 R2 )3/2 1 ;			)	2R2 ( 4 4
	. 12.4.1.				)		16		2		2	1 ;			)	2			(1 R2 )3/2 1 ;			)	2R2 ( 4 4		2) .
								3									3
		55 9																						2 R6
						3														3
						3														3
12.4.2.	0, 0,							.		12.4.3.					4		61 .			12.4.4.		.	12.4.5.			.
	130																			120			15
12.4.6. 2 arctg			H	.	12.4.7.									ln(1				2)		. 12.4.8.	8 R4		.
			H										2								8 R4
													2
			R																	3

					13
13.
	13.1.
							,
		M (x, y, z)				( .	12.2).
		M (x, y, z)
A(M ) {P,Q, R} P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .							,
	,						—
P ,	Q ,	R			x ,	y	z .
				.	n	(	. 12.1) ,	:
n	( n) .		,	.				:
n	( n) .		,
.					( A, n) ,
				,			,
				,
	A : ( A, n)d .
n ,						:
n ,						:
( A, n)d (Pcos Qcos Rcos )d ,					d cos dydz ,
d cos dxdz ,		d cos dxdy ( .			12.1),
P(x( y, z), y, z)dydz Q(x, y(x, z), z)dxdz R(x, y, z(x, y))dxdy .
Dyz			Dxz			Dxy
				cos				,
			cos ,	cos	cos		( . .	,
	n
,	,			).			,
	, . .		.					,
			.	( . .
			)	( . .		,
-			)			,
-
(	Dyz ,	Dxz ,	Dxy ),
,								.
.	,			,			xOy ,
n				Oz .

R P Q

( A, n)d

1 2

2 dxdy

R P Q

dxdy .

z ( x, y )

R P x

Q y

dxdy

Dxy

(x, y)

12.1.

P , Q , R

( A, n)d

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy

A {P,Q, R}.

13.2.

13.2.1.

x2dydz y2dxdz z2dxdy ,

–

Dxy

1 x2 y2 .

: P x2 ,

Q y2 ,

R z2 .

x2 y2 1.

1 x

1 x2 y2

xOy Dxy ,

dxdy

1 x2 y2

				x2		y2					x	3	y					3
			1								x		y									dxdy .															:
			1																			dxdy .															:
										1 x				2		y				2
	x2 y2 1									1 x						y
		2		1			2		r3	(cos3 sin3 )																	2		1		2			2	3	1	r4dr

																			2																			2
			d		1 r																				rdr			d	1	r		rdr			cos d
		0		0									1 r														0		0					0		0	1 r
	2				1		4	dr									2				r		4	1		.
	2				1		4										2						4	1
sin3 d						r				2					r																						,

								2
	0				0	1 r							2									4		0		2
2					2																								1	4	dr
cos3 d sin3 d 0 ,																														r	dr

																														1 r			2
0					0																								0	1 r

13.2.2.																					( y2			z2 )dydz ,				—
		x 9 y2 z2 ,																							x 0 .
		x 9 y2 z2 ,																							x 0 .
					,										cos 0 .
.			: P y2 z2 , Q R 0 .
																						(			,					yOz )
		,	R z x ( y						,z)	dydz.																,				13.1:
P Q y			R z x ( y						,z)	dydz.																,
	Dyz
	Dyz
	n														Ox ,																.
																				yOz								y2 z2 9 .
	( y, z) ,																,							9 y2 z2 .
,		:							( y2 z2 )dydz .
					y2 z2 9																:
	2																				:
		3				r	4	3			81
		3					4	3
d		r3dr 2											.
d		r3dr 2											.
0		0	4					0		2
0		0	4					0			(x 1)3 dydz ,														—
13.2.3.											(x 1)3 dydz ,														—
		x2 y2 z2 2x ,
		x2 y2 z2 2x ,								z 0 .
.
.
A {(x 1)3 , 0, 0}, . . P (x 1)3 ,														Q 0 ,		R 0.
							: z
							: z							2x x2 y2
				—
	1 (x 1)2 y2			—
1												(1, 0, 0) .
(x 1)2 y2 1											xOy ( .						13.1).									. 13.1
									x 1								13.1									. 13.1
									x 1


:		x zx					(x					.									,
			1				(x			1)2 y2
																									n
		Oz ,								.		13.1													,					–
											: (x 1)								3									(x 1)4 dxdy
,																					xdxdy											.

																											1 (x 1)		2	y	2
														Dxy											( x 1)2 y2 1		1 (x 1)			y
														2		1		r4 cos4
x 1 r cos , y r sin .											d												rdr

																			1 r			2
												0				0			1 r

	2				4		1				r5dr					2	1 cos 2 2										1		2		2
cos						d																		d (1 t						)		dt
cos						d																		d (1 t						)		dt
	0						0				1 r					0				2							0
													t 1 r2
	1 2											2			1			2		4			1		2						1 cos4					2t3		t5	1
	1 2											2			1			2		4			1		2						1 cos4					2t3		t5	1
		(1 2cos 2 cos											2 )d		(1 2t				t		)dt					1		2cos2							d t
	4	0													0								4		0							2				3		5	0
		0													0	2									0													5	0
	1												sin 4				8			1		2						8	2
	1												sin 4				8			1								8	2
		sin 2																															.
	4	sin 2							2					8			15			4								15		5			.
	4								2					8		0	15			4								15		5
																0													dxdy					,		—
13.2.4.																													dxdy
13.2.4.
																															z
																x2 y2 z2 1,																					z 0
																x2 y2 z2 1,																					z 0
z				,
z			3	,																n
							Oz .
						.																				:
P Q 0 ,							R	1		.																:



								z

z x2 y2 1 .

(	z 0					z			3		)
(	z 0					z			3		)
						xOy
x2 y2 1					x2 y2 4
,	.	.
			xOy
1 x2 y2	4 (	. 13.2).															. 13.2
																	. 13.2
cos 0,					13.1
:
							1								dxdy .
							1
							z	z
	2		1 x2 y2 4							x2 y2 1							:
			1 x2 y2 4							x2 y2 1

		2	rdr													2
	d		rdr			2						r	2	1			2 3 .

			r	2	1											1
	0	1	r		1

13.2.5.												A (2z x)i (x y) j (3x z)k
x y 2z 2																	,
x y 2z 2																	.

			.							A											,
			.

				.													.		,		,
Dyz ,																					x 0 ,


							y 2z 2,							,		y 0 ,					z 0 .


			n i (							.			. 13.3)				,
			n i (							.			. 13.3)				,
(A,n) (2z x) (1) x 2z .


				d dydz .													,														. 13.3
		x 0 ,												2 2 z																	. 13.3
													1	2 2 z					1
1 (2z)dydz 2 zdz																	dy 4 (z2 z)dz
		Dyz											0	0					0
z3				z2			1			2
z3				z2			1			2
4												.
4												.
3				2			0			3
3							0										Dxz ,																			y 0 .
					,																x 2z 2 ,						x 0 ,				z 0 .
n j ,																					( A, n) (x y) .
d dxdz .						( A, n)																															( x) ,
														y 0 .					,
														1	x				x2							2
													2		2			2				x3		x2					4					2
													2		2			2				x3		x2					4					2
2	( x)dxdz xdx dz																				x dx									2						.
2	( x)dxdz xdx dz																				x dx								3	2				3		.
		Dxz											0	0				0	2						6 2	0			3					3
		Dxz											0	0				0	2						6 2	0											z 0 :
																					,		2 x														z 0 :
	3x z																				2		2 x							2
3									z 0 dxdy 3											xdxdy 3 xdx dy 3 (2x x2 )dx
3									z 0 dxdy 3											xdxdy 3 xdx dy 3 (2x x2 )dx
		Dxy														x y 2					0	0								0
																x 0, y		0
3x2 x3					2 12 8 4 .
3x2 x3					2 12 8 4 .
					0																,												x y 2z 2 ,
					0

																							xOy (														Dxy ).
											R			x			y			z ( x, y)								P 2z x ,									Q x y ,
														x			y			z ( x, y)
													P Q								dxdy
								Dxy
R 3x z .																													z 1			x			y		(x, y) .
R 3x z .																													z 1								(x, y) .
																															2			2
																															,

										1								1
4	3x z (2z x)											(x		y)															dxdy
4	3x z (2z x)									2		(x		y)				2											dxdy
	D									2								2					z 1 x/2 y/2
	xy																																					2 x

		3y						2	2 x					3y							2											3y2
		3y						2	2 x					3y							2											3y2
(2x			2)dxdy dx								(2x					2)dy dx												2xy							2 y
(2x		2	2)dxdy dx								(2x			2		2)dy dx												2xy				4			2 y
Dxy		2						0		0				2							0											4						0
Dxy								0		0											0																	0		2
2				3			2								2				11 2												5x2				11x3					2	14
2				3			2								2				11 2												5x2				11x3						14
	2x(2 x)				(2	x)		2(2 x) dx (5x														x		1)dx												x							.
	2x(2 x)				(2	x)		2(2 x) dx (5x														x		1)dx												x							.
0				4											0					4												2			12					0		3
0															0											2			2					14			2			0
							: 1 2 3										4									2			2	4				14			2		.
							: 1 2 3										4													4									.
																								3				3					3			3
				13.3.
13.3.1.						xdydz ydxdz zdxdy ,																				–
0 x 1, 0 y 1,
0 x 1, 0 y 1,						0 z 1.
13.3.2.						x2 y2 zdxdy ,								–

	x2 y2 z2 R2 .
13.3.3.						xydydz yzdxdz xzdxdy ,																							–
		,														x 0 ,					y 0 ,							z 0					x y z 1.
		,														x 0 ,					y 0 ,							z 0					x y z 1.
13.3.4.						xzdydz x2 ydxdz y2 zdxdy ,																								–
			,
			,					z x2 y2 ,																	x2 y2 1
								z x2 y2 ,																	x2 y2 1
13.3.5.		.												-
13.3.5.				,										-																							xOy ,
				,																																	xOy ,
					Oz .													1,																						2.
13.3.6.												A xyi yzj xzk
			x2 y2 z2 1,																													.
	.	13.3.1.				3 .		13.3.2.					2 R7			.	13.3.3.								1		.	13.3.4.							.	13.3.5.						4 .
												105												8											8

13.3.6.3 .

14.

14.1.

—

(	) u f (M ) f (x, y, z)
	L .	,
L	C0 , C1 , …, Cn		n
	,

Mi ( 1 i n ),

. 14.1.

Ci 1Ci li .

f (Mi ) li .

( )

lim ,

xOy ,

. 14.1

: max l .

1 i n i

f (M )dl .

dx ,

y y(x) –

L ( .

.3.2).

y (x)

f (M )dl f (x, y(x)) 1

y (x) 2 dx

–

( b a ).

f (M )dl f (r( )cos , r( )sin )

r2 ( ) r ( )

2 d

: x x(t) ,

y y(t) ,

z z(t) , t1 t t2 ,

f (M )dl f (x(t), y(t), z(t))xt 2 yt 2 zt 2 dt .

f (M ) 1,

		f (M ) .	f (M )dl
f (M )	L	f (M )	f (M )dl	.
			L
			dl
		L	dl
		L

14.2.

	.
A(M ) {P,Q, R}( . . 13.1)				L .
	, . .
	, . .
	L
	,		(	. 14.2).			. 14.2
			(	. 14.2).
A					( A, ) , . .				.
	A				( A, ) , . .		\| \| 1,
	( A, )dl .			,	dl dr {dx,dy,dz},				r –
	L				( A, )dl ( A, dr ) .
	-			L .	( A, )dl ( A, dr ) .
					L		L
L .	:			A	,
L .					,
	:		( A, dr ) Pdx Qdy Rdz .
			L	L
	L			.
			t
		( A, dr ) 2 (P xt Q yt R zt )dt				.
		L	t1
	,		x ,	y z				P ,	Q
R						t ,
	.			,	,
	,		t1 t2 .
		L		(	)				.

A P(x, y)i Q(x, y) j ,

				t2	t	t		.
		( A, dr )			t	t		.
		( A, dr )			(P(x(t), y(t)) x Q(x(t), y(t)) y )dt
	L			t1
L					( y y(x) ),
					b
			( A, dr ) (P(x, y(x)) Q(x, y(x)) y (x))dx				.
			L		a
					14.3.

—

( A, dr )

xOy .

Pdx Qdy

dxdy

D –

, . .

L ,

( A, dr )

P 0

—

Pdx Qdy

M 2 .

U (x, y) ,

( x, y)

U (x, y)

Pdx Qdy ,

( x0 , y0 )

(x0 , y0 ) —

P(x, y)

Q(x, y)

14.4.

14.4.1.

xydl

y x2

(0, 0)

(1, 1) .

dx .

y (x)

y(x) x2 ,

dx .

1 4x2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf