Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 2 часть

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

5.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

		.
							x	y2 z2
			x y2 z2 6 .
	y2 z2 ,			x x2 6,				x 2
( x 3					).		,
							y2 z2 4 ,
11.2).							x 2	( .	.
11.2).						y2 z2 4,			yOz					. 11.2
									y 0					. 11.2
									y 0
		2 .									y r cos ,				z r sin ,				x x .
						y2 z2 4 ( . .						:		x r				x 6 r2 .
		,				y2 z2 4 ( . .				r 2 )
r x 6 r2 ,																	x .
					r							y 0 , .						. cos 0 ,
	0 r 2				3 :
					2		2
	3 /2	2	6 r2			3 /2	2			3 /2		r	4			3		2
VD		d rdr			dz		d r(6 r2		r)dr		d 3r 2	r		r
	/2	0		r		/2	0			/2		4			3 0
(12 4 8) 16 .
		3			3
11.2.3.								,										x2 y2	4x ,
z 4 x2 , z 0 .
		.					9.3.4	—
						2	9.3.4	—
	(2, 0) ;					2
	(2, 0) ;
	z : 0 z 4 x2 ,							,
4 x2 0 , .				.	2 x 2.
		,							Dxy
(	. 11.3).							x 2
(	. 11.3).
		.				2		x 2
				r		2	,							. 11.3
					cos
									71

[ , ] .

[ , ]

x2 y2 4x ,

r 4cos .

4 r2 cos2 .

4 r2 cos2

4 cos

cos

V rdrd

dz 2

r(4 r2 cos2 )dr 2

r(4 r2 cos2 )dr

Dxy

4 cos

cos

d 2r2

cos2

d 2r2

cos2

(32cos

64cos

)d .

cos2

I1 8

8 tg

8 .

cos2

32cos2 64cos6 16(1 cos 2 ) 8(1 cos 2 )3

8(1 cos 2 )(2 1 2cos 2 cos2 2 ) 8(1 cos 2 )(sin2 2 2cos 2 )

1 cos 4

8(1 cos 2 )

2cos 2

4(1 cos 2 )(1 cos 4 4cos 2 )

4(1 3cos 2 cos 4 cos 2 cos 4 4cos2 2 )

4 12cos 2 4cos 4 2(cos 2 cos6 ) 8(1 cos 4 )

4 14cos 2 12cos 4 2cos6 .										,
										,
				.						:
I		8 14sin 2 6sin 4					2	sin 6	/2	2 14	2	.
							2		/2		2
	2								/4
	2			3					/4	3
				3						3
		V I I			64	2 .
		V I I	2			2 .
		1	2	3
				3
11.2.4.												R .
		.
		z 0, x2 y2 z2 R2 .
					r2 z2 R2 .					,
								Oz .				z

: z	1	zdxdydz	( .				10.3.8).
: z	V	zdxdydz	( .				10.3.8).
	D	D
						2
				1		2	R	R2 r2
		:	z	1		d rdr			zdz

				2	R3
				2		0	0	0
				3		0	0	0
				3

		3				1	R		3	2		r	2			r	4		R
							R			2			2				4		R
					2		(R2 r2 )rdr				R										3R	.
		3			2		(R2 r2 )rdr		3	2												.
	2 R				2		0		2R	2						4			0	8
							0									4			0
															3R

														8
11.2.5.																		.
					R													.
					.									,
					,												,
(R,0,0) ,										,
(x R)2 y2 z2 R2								x2 y2 z2 2Rx .
2		2R cos sin ,								.			,
2		2R cos sin ,											,
2Rcos sin .								0 ,	,	cos sin 0 .
							, cos 0 , . .

											x2 y2 z2
VD			4	R3 .					( .					10.2)
VD				R3 .					( .					10.2)
		3

[0, ] sin 0 ,

		.
2	2
	,
D		1	dV ,
D		V	dV ,
		D	D

2 R cos sin

2 sin d d d .

16R

cos

sin

d sin d

1 cos 2 2

cos

d sin

d ( cos )

(1 2cos 2 cos2 2 )d (1 cos2 )2 d ( cos )

t МШs

1 cos 4

1 2cos 2

d (1

)dt

sin 2

sin 4

2t3

8 R4

2 15

									8 R4
											6R
	,							D	5		6R
												.
									4 R3		5	.
									3
11.2.6.				dxdydz		,			D

				x2	y2
x2 y2 z2 2 y ,			D
x2 y2 z2 2 y ,		x 0 ,	z 0 .
.									,				,
		0						2sin sin ,					sin cos 0 ,
cos 0 .											( 0 2sin sin )
:			sin 0 ,										sin 0 ,
cos 0 , .	. ,						cos 0			0 .
	2										2

x2 y2

2 sin2 (cos2 sin2 )

2sin sin

dxdydz

sin d

sin

2 sin d d 2 1

		1	.
	2 sin2
		/2
		d sin
/2		0

2sin sin d sin2

11.2.7.																		,
(x2 y2 z2 )2 a3 x ( a 0 ).
			.																	:			4	a3 sin cos ,							.
a 3																				:			4	a3 sin cos ,
							.																		(						!);
				sin cos			.																		(						!);
0 a 3											,
0 a 3						sin cos					,
0 ,					.
					2					2
							/2							a 3							/2						3	a 3	sin cos
																sin cos
																sin cos
VD dxdydz										d sin d									2d			d sin d
VD dxdydz										d sin d									2d			d sin d
			D				/2			0							0			/2			0			3		0
																		1 cos 2								sin 2					a3
	a3	2						2				a3											2a3
		2
		cos d sin
									d				sin		2						d										.
									d				sin		2						d										.
	3				0							3			2 0			2					3	2			4			0	3
					0										2 0									2						0
			2
			2

11.3.

11.3.1.																					f (x, y, z)dxdydz
																					D
																					,				D : )					,
x2 y2 2x ,																		z 0												z x2 y2 ; )
x2 y2 z2 R2																x 0 ,						y 0 ,			z 0 ; )
x2 y2 z2 R2													x2 y2 (z R)2 R2 .
11.3.2.

																				1 x2 y2
										1						1 x2				1 x2 y2
					:			)					dx dy											x2 y2			z2	dz ;		) (x2 y2 )dxdydz ,
										0				0							0									D
				D																				z 0 ,			r2 x2 y2 z2 R2 .
11.3.3.																									,					:
) x2 y2 z2 4 ,														x2 y2 3z									(z 0) ;							) x2 y2 z2 4Rz 3R2
z2 4(x2 y2 ) (																					).
11.3.4.																											,
x2 y2 z2 2 a3 z .
															/2			2 cos					r2
			.	11.3.1.										) d							rdr f (r cos , r sin , z)dz ;
	/2	/2													/2			0				0
	/2	/2								R
)		d	sin d							f ( cos sin , sin sin , cos ) 2d ;
	0		0							0
	2
	2	R		3/2					R2 r2
)	d			rdr											f (r cos , r sin , z)dz .
	0			0			R				R2 r2
11.3.2.			)	/ 8 ;					)			4 (R5 r5 )							.
11.3.2.			)	/ 8 ;					)										.
														15												8 R3
				19									92 R3													8 R3
11.3.3.			)				;	)									(								);				(	).
11.3.4.				6				.						75													75
			0; 0;			9a
			0; 0;
						20

12.

12.1.

z (x, y) ,

d :

S d .

xOy (

Dxy

. 12.1).

xOy

—

dxdy .

n {cos ,cos ,cos },

, ,

–

. 12.1

, dxdy d cos .

cos 0,

z (x, y) 0 ,

Oz ,

N grad(z

( . Д1Ж,

. 21.1):

(x, y)) { x

(x, y), y (x, y), 1}

cos

| N |

1 2 2

1 2

dxdy ,

1 x

2 2 dxdy

Dxy

R .

(0,0,0)

R2 x2 y2

x2 y2

(zx )

R2 x2 y2

Rdxdy

R2 x2 y2

S			Rdxdy						,		Dxy –								x	2	y	2	R			2	.

		R	2	x	2	y		2
Dxy		R		x		y
								2													:
										R																		R
										R																		R
				S d							Rrdr						2 R R						2	r		2				2 R	2	.

											R		2	r		2												0
								0		0	R			r							4 R2 .							0
																					4 R2 .
	,
d 2 sin d d ,										( , ) —																						.

				12.2.
																																,
				,																												,
																									D ,
				.						d		—																						,
																														f (M )d .

M (x, y, z)																					.									f (M )d

			,							,									xOy .
			,							,									xOy .
											(x, y) ),										,													z
x	y (								z		(x, y) ),										:
							f (M )d								f (x, y, (x, y)) 1										x				y			.
							f (M )d								f (x, y, (x, y)) 1										2		2 dxdy
												Dxy
															.
f (x, y, z) 1												f (M )d																						.
				—																			(
f (x, y, z)				—																			(										.
				),							f (M )																						.
											f (M )
											f (M )							1	f (M )d .
											f (M )							S	f (M )d .
																		S
12.3.																					,
12.3.1.																														z				,
12.3.1.																														z			2 yx	,
															,														xOy
		x 0 ,				x 2 ,				y 0 ,					y 4 .

			.																																				:

								2							2
								2							2			2xy x					2		y		2					(x
					2		y					2x											2				2		dxdy							y)dxdy
d 1					2		y					2x		dxdy																						y)dxdy					.
d 1														dxdy																											.
																					2xy															2xy
			2				x			2 y											2xy															2xy
																								(x							2				dx			4		(x		y)dy
																	:		S					(x				y)dxdy							dx					(x		y)dy

																												2xy								2x						y
																						D						2xy			0					2x		0				y
																						xy
2													4		2																16						2

	dx							2									16		dx							4x				2x				2x
	dx							2									16		dx							4x				2x				2x
			2x			y			y		y					4x																						16 .
								3									3										3				3

0		2x											0		0					2x																	0
0		2x											0		0					2x																	0
12.3.2.				x2 y2 1.																										2z x2 y2 ,
				x2 y2 1.
			.																												z		x2 y2						,
			.																												z								,
																																			2


	2			2	1	x	2	y	2	.
1 zx		zx			1	x		y		.
S							dxdy .
S			1 x2 y2				dxdy .
	x2 y2 1
						2		1
					: S d					1 r2	rdr 2
						0		0

,					,
(1 r2 )3/2	1		2			1) .

				(2	2
3
	0	3


12.3.3.																						z		x2 y2 ,
			x2 y2 2 y .
		.	x2 ( y 1)2 1																								,
			x2 ( y 1)2 1												1.											.
									:

d					1					x2					y2			dxdy					S					dxdy				.
		1 z 2	z 2
				dxdy																2dxdy ,							2				2
				dxdy					2	y	2			2	y		2			2dxdy ,							2				2
		x	x				x		2		2		x	2			2
							x						x												x2 y2 2 y
12.3.4.		R 6400			,																		,		300 ,				600
		R 6400			,																				300 ,				600
		.	450		600 .														12.1
		.																	12.1						R ,
d R2 sin d d .																									R ,
d R2 sin d d .												,							, ( .										11.1),
																											900				,
		/3	/4				1 300								2 450 .
	2	/3	/4			2										/4			R2								8		2
S R	2	d sin d R				2				( cos )						/4			R2		3		2) 3, 4 10				8		2	.
S R		d sin d R								( cos )						/6			(		3		2) 3, 4 10							.
		/6	/6					6											12
		/6	/6

12.3.5.								z2d ,					–

z				0 z R .
z	x2 y2			0 z R .
		.					xOy ,				,	:								R ,
							xOy ,					:								R ,
				x2 y2 R2 .
																			.
z R ,											I1				R2dxdy R2 R2						R4 .
											x2 y2 R2
																				d		dxdy ( .
																				d	2	dxdy ( .
		12.3.3).										z2
x2 y2 ,									2
											R		R		4
											R				4	2
I2			(x2 y2 )				dxdy		d r3dr								.
						2		2
						2		2						2
x2 y2 R2								0			0			2		4

											: I I1 I	2 R						2
																1				.
																1		2		.
											d							2
12.3.6.											d	,				–

										(1 x y)2

x y z 1 ,				x 0 ,	y 0 , z 0 .

x y z 1,

Ox , z 1 x y ,


1		1

3
		x
0	1

														.		,		,
													xOy	.		,		,
							x y 1.						xOy					,
Oy							x y 1.
			d				dxdy .								,
			d			3	dxdy .								,
				1		1 x						1							1 x
										3dy						1			1 x


		I1 dx											3 dx
		I1 dx						(1 x			y)	2	3 dx			x
				0	0			(1 x			y)	0			1	x	y		0
				0	0							0					y		0
	1	dx		ln 2					1	.
	1		3						1
			3

	2								2

. ,

			xOy ,		d dxdy ,						I2		1		I1	ln 2	1	.


												3				2
I3	I4	1 x	xOz			yOz			.
	1	1 x	dz		1	1 x		1		2		1
,	I3 dx							dx						dx
,	I3 dx		(1 x)	2		(1 x)	2	dx			2	x 1		dx
	0	0	(1 x)		0	(1 x)		0	(x 1)			x 1

		2		1
		2	ln(x 1)	1 ln 2 .			,		xOz y 0

	x	1
	x	1		0
	d dxdz .							:

						1			3
						1			3
I I1 I2 I3 I4				1	3 ln 2		2(1 ln 2)	3 1 ln 2		.
I I1 I2 I3 I4				1	3 ln 2	2	2(1 ln 2)	3 1 ln 2	2	.
						2			2

12.3.7.	(2 y 7x 9z)d ,	—
2x y 2z 2 0 ,		.
2x y 2z 2 0 ,		.
.		y 2x 2z 2 ,

d 1 y 2 y 2 dxdz


	1 22 ( 2)2 dxdz 3dxdz .
	y 0	Dxz ,
x z 1 0		.

0x 1

(2 (2x 2z 2) 7x 9z)3dxdz 3 dx (4 5x 7z)dz

Dxz	y				x 1	d	1 0
0		7		2		0		2		7		2

3 dx 4z 5xz			z			3	4x 4 5x		5x		(x 1)		dx
		2								2
1					0	1

	9		0	5 4x x2 dx							9						x	3		0		9					1
			0															3		0
														5x 2x2									(5 2					) 12 .
2			1								2						3			1	2						3
			1								2						3			1
12.3.8.
x2 y2 z2 R2 ,								x 0 ,				y 0 ,				z 0 .
				.				,																					x ,	y	z
																.															,
																.										1
						,													12.1:			z				1	zd
						,													12.1:			z				S	zd
																										S				R2
				1												Rdxdy					2						2				R
				1			2		2			2				Rdxdy					2						2				R
					D	R		x		y														D dxdy								.
		R2 / 2																			R								R	4	2
		R2 / 2													R2 x2 y2						R								R	4	2
					xy			z																	xy
								,								d
								,								Dxy
z 0								R R R																	R2 / 4 .					,
								R R R
										,		,		.
										,		,	2	.
								2		2			2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf