Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 2 часть

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

5.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

x x

x2 cos(xy)dxdy dx x2 cos(xy)dy x2dx cos xydy .

D			0 0			0	0
	y ,		,			x
	y ,					x
	x			sin xy	x
	x				x
x2dx cos xydy		dx x2				x sin x2dx .
x2dx cos xydy		dx x2		x		x sin x2dx .
0	0	0		x	0	0
0	0	0			0	0

t x2 ,

xsin x2dx

t		1	( cost)		2	1 cos 2
sin td				0			.	,
	2	2				2

						,		"

8.3.8.												z x3 xy 2y
							x2 y2 4 ,			x 0 ,		y 0 .
	.										f (x, y)dxdy
	D								z		f (x, y)dxdy				.
											D
												dxdy
										D		dxdy
										D
												D
								2 ,			SD .					SD .
	.							2 ,			SD .				,
	.														,
		y ,										x [0,2]
						0 y				.
						0 y			4 x2	.

																		4 x2
	2				4 x2					2			y	2
	2				4 x2					2				2
f (x, y)dxdy dx							(x3 xy 2y)dy dx (x3 y x									y 2 )
f (x, y)dxdy dx							(x3 xy 2y)dy dx (x3 y x									y 2 )
D	0			0						0		2					0
D	0			0						0							0
2			4 x			2
(x3	4 x2	x	4 x				4 x2 )dx .
(x3	4 x2	x					4 x2 )dx .
0				2

. ,

D ,

z f (x, y)


																				t 4 x2 ,											x 4 t2 ,
			tdt			2										0				3/2	tdt						2							64
dx			tdt			x	3							2		(4 t		2		3/2	tdt						(4t			2		4		64
									4	x					dx				)	t											t		)dt		.

		4 t			2																4 t			2										15
		4 t				0										2		:			4 t						0							15
	4 x																	:
2			2			2					x		3										8		22
(x				4 x2 )dx (2x							x			4 x2 )dx 4 2 8									8		22		.
(x	2			4 x2 )dx (2x										4 x2 )dx 4 2 8													.
0	2					0				2											3					3
0						0
			f (x, y)dxdy					64				22				58	.			z D		58 / 5						58	.
			f (x, y)dxdy													5	.			z D									.
			D				15			3						5												5

8.3.9.										ё										,													y x2 , y 1,
z 0			z x2 y2 .
				.																											,	z ,		,
Oz .												z 0																			,	,
Oz .												z 0										:									.	,
											D .							"				:		"							.
z x2 y2 (											D .							"				).		"	y x2					y 1
z x2 y2 (																						).			y x2					y 1
x 1						x 1 —																							x .
												y																	x2 y 1					x [ 1, 1].
													,
V (x				2	y			2				1		1			2	y			2	)dy		1		2	y		y3	1
V (x					y				)dxdy dx					(x				y				)dy	dx x				y
	D											1		x	2									1					3	x	2
														x																x
1		2			1		x		4		x6			88			.
	x				3		x					dx					.
1					3							3	105
																								8.3.10.									ё	,
																																		z 4 y2 ,
																								y x2								z 0 .
																									2			.
																												.						,
																												8.3.9						,
																																		y x2
												. 8.9																						2
												.																				,	z 0
"				"								.							, . .										z 0			,		z 4 y2 .
"				"															, . .										z 0					z 4 y2 .
												y 2					y 2 .
							y x2					,
										2
											D ( .				. 8.9).														,
																								y :					,
																								y :
											2					2 y						2									2	1		5
(4 y2 )dxdy (4 y2 )dy																			dx 2				2 y (4 y2 )dy 2								2 (4 y 2		y 2 )dy
D											0						2 y					0									0
			4				y3/2				y7/2 2								8	2 2				2					256	.
2 2			4											2 2						2 2					8 2					.
						3 / 2 7 / 2 0													3					7					21
																							52

					8.4.

													1 x4 y4
8.4.1.					,			1					1 x4 y4					dxdy						3			,														D	—
8.4.1.					,		2						(1 x)2					dxdy						2			,														D	—
							2						(1 x)2											2
										D
					0 x 1, 0 y 1.
8.4.2.					x2 y cos(xy2 )dxdy ,																								D
						D
0 x / 2 ,				0 y 2 .
8.4.3.					f (x, y)dxdy																											,										D
					D																			) x2 y2 1, x 0, y 0 (x 0, y 0) ;
						:	) x 0, y 0, x y 2 ;																	) x2 y2 1, x 0, y 0 (x 0, y 0) ;
) y x , y x 3 ,						y 2x 1,						y 2x 5 .
																				2				6 x												1			x2
8.4.4.																	:		)	dx								f (x, y)dy ;							)	dx			f (x, y)dy
																				0				2 x												0			0
	(3 x)/2							x2/3											1
3	(3 x)/2					1		x2/3							2				1		4 x x2 3
dx		f (x, y)dy ;				) dx			f (x, y)dy dx																			f (x, y)dy .
1		0				0			0						1					0
							2		ln y										cos(x y)dxdy ,
8.4.5.					:	)	dy exdx ;								)				cos(x y)dxdy ,																							D
							1			0									D
																				1				1
						x 0 , y													) dx 4														dy .
						x 0 , y								y x ;					) dx 4											1 y2			dy .
																				0					x
8.4.6.												y 5x											z x 6 y																			,
								y x ,				y 5x				x 1.
8.4.7.														y					y 2									,
				:	)												,																								z 0
				:	)											x	,									x															z 0
x z 6 ;			)								z 4 x2 ,																													z x2 y2
			2x y 4 (x 0) ;									)																												z x2 y2
				z 0 , x 3 .														2 x
															2			2 x														1				0
		.	8.4.2.			/ 16			.	8.4.3.				)	dx						f (x, y)dy ;											) dx								f (x, y)dy ;
		x 3							x 3						0				0	5 2x												0					1 x2
	1/3	x 3				2/3			x 3						5/3					5 2x
)		dx	f (x, y)dy dx							f (x, y)dy							dx							f (x, y)dy .
	2/3	1 2 x				1/3			x						2/3							x
									6 y											3 2 y																2
		4	y/2				6		6 y								1			3 2 y												1				2		2 y y2
8.4.4.		) dy		f (x, y)dx dy f (x, y)dx ;											)			dy						f (x, y)dx ;										) dy							f (x, y)dx .
		0	0				4		0								0					y												0			y3/ 2
8.4.5.		) 1 / 2 ;		)	2 ; )		2 / 5 .			8.4.6.				38 / 3 .					8.4.7.									)			48 6			;	)	40 / 3 ;						) 27 .
8.4.5.		) 1 / 2 ;		)	2 ; )		2 / 5 .			8.4.6.				38 / 3 .					8.4.7.									)						;	)	40 / 3 ;						) 27 .
																												5

	9
9.	.
9.1.
	f (x, y)dxdy
	D
(x, y) ,	(u,v) ,
x x(u,v),	,
	,
y y(u,v).
(u,v)

dxdy .

	x	x
	x	x
J	u	v
J	y	y	xu yv	xv yu .
	y	y

	u	v

f (x, y)dxdy f (x(u,v),

D K

y(u,v)) | J | dudv .

9.2.

x2 y2 .

D .

f (x, y) ,

dxdy | J | dudv , J — . .

xOy

(u,v) ,

. 9.1

x r cos ,

y r sin ,

–

( r 0 ),

–

( 0 2

cos

r sin r cos2 r sin2 r.

J xr

sin

r cos

: dxdy rdrd .

r ,

r2 ( )

D (

. 9.1):

f (x, y)dxdy d

f (r cos , r sin )rdr .

r1 ( )

y2 ,

y br sin .

: x ar cos ,

dxdy abrdrd .

9.3.

9.3.1.

y3exy dxdy ,

y 2x , y 3x , xy 1

xy 2 .

, . .

(

. 9.2).

u xy ,

v y2 .

D ,

v 2 , v 3 ,

u 1, u 2,

. 9.2.

. .

K : 1 u 2 , 2 v 3.

f (x, y) y3exy

xy y2

exy

uveu .

x ,

					3							1/3		1/3		x u		2/3			1/3			2		1/3		1/3
			: uv y			,				y u v					,					v		,	xu		u		v		,
			: uv y			,				y u v					,					v		,	xu	3	u		v		,
																								3
	1		2/3 1/3					1	1/3		2/3					1
yu		u	v	,		yv			u v			,		J			.
yu		u	v	,		yv		3	u v			,		J		3v	.
	3							3		:						3v
										:
y3exy dxdy uveu dudv										1		2				3			1 ueu				eu		e		2
y3exy dxdy uveu dudv										1		ueu du				dv			1 ueu				eu	1	e		.
																								2
D				K				3v			3 1					2		3								3
D				K				3v			3 1					2		3								3
9.3.2.													dxdy										D ,
9.3.2.														y									D ,
												D
x 2 y ,			y 2x ,				x 2y 2 ,					2x y 4 ,

x 1 u2/3v 4/3 , v

2uv

u v

2uv

2v 4uv

x 2 y u

y 2x u 2 ;

x 2 y

u v

4uv 2u ,

. .

, 2x y 4 v 2 .

K :

u 2 ,

v 2 .

J x y

x y

2u2

2v2

4uv(u v)

4uv

(u v)2

v)2

(u v)2

(u v)3

u v

v u

(u v)4

dxdy | J | dudv

4uvdudv

(u v)3

1/ y

dxdy

u v

4uvdudv

2 du

2uv

(u v)

1/2

u v

1/2

du 2 ln | u

0,5 | ln | u 2 |

1/2

4ln

1/2

0,5

u 2

9.3.3.

x2 y2

6 y 0 ,

x y ,

y x

3 .

S dxdy ,

6r sin 0 ,

x2 y2 6 y 0

(

)

r 6sin ,

r 0 ,

. .

sin 0,

0 ;

x y sin cos ,

										(													[0, ] ); y x						3 sin cos		3 ,
.						4																						: , 0 r 6sin .
.								,																				: , 0 r 6sin .
		3																										4		3
S dxdy										/3			6sin						/3						6sin			/3		/3
S dxdy											d rdr 1									d r2							18 sin2 d 9 (1 cos 2 )d
			D							/4				0			2		/4						0			/4		/4
		9			9	sin 2					/3			3		9			3
					9									3		9			3
														4		2			2			1 .
					2						/4			4		2			2
9.3.4.																										x2		y2 dxdy			,
																									D	x2 y2 ax ( a 0).
								D																		x2 y2 ax ( a 0).
					.
			a	2				2			a2											,
x			2		y						.											,
			2								4
														a
a														2
a						(			.				.		9.3).
		,0				(			.				.		9.3).
2																		,
r a cos .													r 0 ,					,				cos					0,			. 9.3
																														. 9.3

.		.																	x	2	y			2	dxdy		r rdrd ,
.		.								,		.							x		y				dxdy		r rdrd ,
							2			2						3 a cos
/2		d		a cos								/2		d r		3 a cos							3	/2		cos3 d a			3	/2
		d				r2dr								d r					a							cos3 d a				(1 sin2 )d (sin )
/2					0							/2			3 0							3 /2						3		/2
	a3								sin3				/2			a3					1	1				1		4a3
			sin															1				1						.
	3									3			/2			3					3					3		9		, "	"
																														, "	"
												,		(					,											),
												,	.																	:
													.																	:
																									57

9.3.5.									dxdy
9.3.5.									x	2	y			2
								D	x		y
					,									D
			x 0 ,				y x2 , x y 2 (x 0) .
			.												:	y x2
r sin r2 cos2 r sin														;
									cos2
x y 2 r(cos sin ) 2																														. 9.4
			2						2		.																			. 9.4
			2						2
r sin cos
							sin
												4				(1, 1) ,							,			,
																(1, 1) ,							,			,
															,													( .		9.4).	,
			sin					[0, ]																			4	[ , ].
0 r			sin					[0, ]								0 r						2						[ , ].
			cos2									4																		4 2
																			sin					4
																								4
								sin									2
								sin
	dxdy							2	rdr				/2			sin				/4 sin d
	dxdy					/4		cos	rdr				/2					4		/4 sin d
	x	2	y	2			d		r						d				dr			cos			2
D	x		y		0			0	r		/4		/4				0				0	cos
	/2				d				1		/4												/2							3
	2				d				1																		2 1			3
	2														2 ln \| tg				2	8							2 1		2 ln tg
								cos				0							2	8			/4							8
	/4 sin											0											/4
							4
	2 1				2 ln(1			2) .
9.3.6.			(x2 y2 )3 a2 (x4 y4 ) .																											,
			(x2 y2 )3 a2 (x4 y4 ) .
			.																												:
r6 a2r4 (cos4 sin4 ) a2r4 (1 1 sin2 2 ) .																												r a		1 0,5sin2 2 .
																2								,
													2 .											,
									0				2 .												—
										:
																		58


						2		a	1 0,5sin2 2					2						2		a 1 0,5sin2 2				2	2
						2		a	1 0,5sin2 2					2						2		a 1 0,5sin2 2				2	2
																		2							2
S					dxdy		d				rdr						d		r						a			(1	0,5sin2							2 )d
S	D				dxdy		d				rdr						d											(1	0,5sin2							2 )d
	D
				D		0		0						0								0		2			0
				D		0		0						0								0					0
		a2		2									a2 3								1						3 a2
		a2		2									a2 3								1						3 a2
				(1 0, 25(1 cos 4 ))d																			sin 4							.
				(1 0, 25(1 cos 4 ))d																			sin 4							.
			2	0								2			4						16			0				4
				0						,					4									0						z 25 x2 y2
9.3.7.										,																				z 25 x2 y2
z 0 .					.
					.			"				"						,																( .
								"				"						,																( .
8.3.10).														xOy (									D )											,
					": x2 y2 25 .									xOy (									D )
"					": x2 y2 25 .															D —											5 .
																							0 r 5 ,		0 2 .
																	2			5												r	3		5		500
																	2			5													3		5
					V (25 x2					y2 )dxdy d (25 r2 )rdr 2 25r																												.
					V (25 x2					y2 )dxdy d (25 r2 )rdr 2 25r																												.
						D											0			0											3				0	3
9.3.8.						D											0			0			D —								,				0
9.3.8.																xydxdy ,							D —								,

x2		y2	4	xy

	2	3
				6

y 3r sin ,
r (sin cos )1/6 .	,

xy 46r(sin cos )1/2 ,

		x	2	r cos ,
		r8 r2 sin cos ,
	,
,		[0, ] .
	2
dxdy		rdrd .
dxdy	6	rdrd .

				/2	(sin cos )1/ 6							3/4		/2
				d					63/4 (sin cos )1/2 r2dr				6	sin cos d
		xydxdy											6
		xydxdy
D				0			0					3		0
D				0			0			/2				0
	63/4		/2			1/4		cos 2			1/4
	63/4		/2			1/4		cos 2			1/4
			sin 2 d 6							6		.
	6		sin 2 d 6							6		.
	6		0						2	0
			0						2	0

		9.4.
9.4.1.		e( x y)2 dxdy ,		D
		D
x 0 ,	y 0 ,	x y 1,	x u uv ,	y uv .

9.4.2.

xdxdy

x y2 ,

y x2 , x 8y2 , y 8x2 .

, v

f (x, y)dxdy

9.4.3.

: ) D —

x2 y2 6 y ;

)

D —

x2 y2 4x ,

x2 y2 8x

y x

y 2x ; ) D —

x2 y2 2 a2 (x2 y2 ) , x 0 .

2 R

2 Ry y2

9.4.4.

)

f (x, y)dx ;

R/2

R2 x2

) dx

f (x2 y2 )dy .

9.4.5.

1 x2

) dx

ln(1 x2

y2 )dy ;

)

x2 y2

dxdy

D –

x2 y2 Rx ;

) arctg

dxdy ,

D : x2

y2 1,

x2 y2 9, y

y x

;

3 .

x2 y2 R2 .

9.4.6.

R2 x2 y2

9.4.7.

x2 y2 2 2a2 (x2 y2 ) .

9.4.8.

)

x2 y2 R2

x2 z2 R2 ;

)

x2 y2 4

z 0 ,

z x y 10 .

9.4.9.

				( .						9.3.8):	)		y2dxdy		,				D		–	,
				( .						9.3.8):	)		x	2	,				D		–	,
												D	x
												D
		2		y2 2	x	2			;	) xydxdy ,						x2			y2		1,	x 0 , y 0 .
	x						y							D :
	x						y							D :		a	2		b	2
				3						D						a			b
					e 1						135										6sin
	.		9.4.1.		e 1			.		9.4.2.	135	.	9.4.3.		)			d				f (r cos , r sin )rdr ;
	.		9.4.1.		2			.		9.4.2.	512	.	9.4.3.		)			d				f (r cos , r sin )rdr ;
					2						512							0			0
																		0			0
arctg 2		8cos														/4				a	cos
)	d			f (r cos , r sin )rdr ;										)				d				f (r cos , r sin )rdr .
/4		4cos													/4						0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf