Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 2 часть

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

5.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

												0				:
																6
																			1 cos 6
	1		r( )		2		6		2cos3				2			6		6	1 cos 6
S 6						d 3								d		12 cos2 3 d 12				d
S 6	2					d 3								d		12 cos2 3 d 12			2	d
	2						0									0		0	2

6				6						6	sin 6				6	.
6 d 6 cos 6 d 6										6	sin 6				6	.
0				0						0				0	0
0				0						0					0

3.3.5.														y 3x2
x 1.		.															. 3.2.1,
		.															. 3.2.1,
a 0				b 1:

b								1					2			1
				f x		2
						2					3x	2					2	dx .
l 1							dx		1		3x			dx 1 36x				dx .
a							0									0

Д1Ж (

. . 26.3.1

26.4.7):

36x2

dx ax b

1 36x2

36x2

1 36x2

b 36 2 x

1 36x2

2 1 36x2

1 36x2

1 36x2 a 1 36x2 ax b 36 x .

36 72a,

0 36b,

a 0,5;

b 0.

1 a

1 36x2 dx 0,5x

1 36x2

0,5

36x2

1 36x2 dx 0,5 x 1 36x2

	37		1	ln 6		.
					37
2
		12

3.3.6.

1	1 1		d 6x										1
1							37		1				1
							37		1		ln	6x 1 36x2

	12 0
0		1 36x2					2 12						0
0		1 36x2					2 12						0
					1	ln 6				.
, l			37
			37					37
		2						37
		2		12

x a t sin t ,y a 1 cost .

		.					,								,									.
							,																	.
									a						.		,						t	,
															.								,	Ox
													.										,	Ox
												,	.
												,
O 0;0 ,												( .		3.6).									t1 0 ,
O 0;0 ,									2 a; 0 ,										t				t1 0 ,
									2 a; 0 ,									t					t2 2 .
															,				. 3.2.1:
t2	x t					y t					2			sin t		2	a	1 cost			2	dt
l	x t			2		y t			2 dt			a	t	sin t			a	1 cost				dt
t1											0
2	a2	1 cost											2					2	sin t dt
	a2	1 cost				2 a2 sin2 t dt a									2 2costdt 2a				sin t dt
0													0		2 2 sin2 t			0		2
															2 2 sin2 t
			2													2
4a cos t			2		4a 1 1 8a .
		2 0
							. 3.6														. 3.7
3.3.7.																					r
3.3.7.																					r		2
																							2
						3 (					. 3.7).

		.																l		r			2 r	2 d

( .	3.2.2).										r										; 3 ,
													2 ,					2 2
													2 ,		r			2 2
3				2						2
l																					:
l							2	2	d .												:
	2						2
														22

		3				2				2				3										3	2 1			3		2
l		3				2				2		d		3			1			1	d			3	2 1	d		3		2		1	d

					4 2				4 4								2			4					2
																													2		2
														2									2				2		2		2	1

				3				2						3			d
				3				2						3			d
													d								.

	2						2			2	1					2		2	1
	2										1								1

								1)									2)
1)															3			(		.Д1Ж, 22.3.15):
3				d


								ln					2 1				ln 3					9 2 1 ln 2 1


			2			1
			2			1

ln 3 9 2 1 .

2 1

2)																														1	(	. Д1Ж, . 26.3.2
2)																															(	. Д1Ж, . 26.3.2
							26.4.8):																							t
							26.4.8):
										1						dt					1											1
3					d							;			d						1											1
											t					t2
											t					t2				3					dt							3		tdt


	2				2																												1 t2
	2				2		1									1 1					1		2	1 1								1	1 t2
									;3 ; t									;				t						1
									;3 ; t									;				t						1
																			3						t2	t
			1			d 1 t 2				1																		1
		1									1						1				1						1		3
				3									3				1										1
				3									3		1 t2		2 d 1 t 2					2		1 t 2
					1									1													2
		2									2										2						2
		2						1 t 2			2										2								1

3.4.1.

y Rsin t

3.4.2.


1		1	1	1	1	1	1
									.
9	2		2		2		9	2	.
9	2		2		2		9	2

			3
				9 2 1
				9 2 1					1				1
, l								1				1

	2	ln			2	1				2			9	2		.
	2					1							9
3.4.
			: x2 y2			R2 ;						R ,				: x Rcost ,
, t [0, 2 ];			: x2 y2			R2 ;					: r R .					: x Rcost ,
, t [0, 2 ];											: r R .
y2 2x 1		x y 1 0.					,								,
y2 2x 1		x y 1 0.

3.4.3.			x2 y2			8							y	x2			.
3.4.3.			x2 y2			8							y				.
						.							2
						.							x 2acost acos 2t ,
3.4.4.						,							x 2acost acos 2t ,
y 2asin t asin 2t .
3.4.5.		r a				,			,
		r a							,
		0 .
3.4.6.								y a ch		x
3.4.6.								y a ch		a
x1 0		x2 b ( b 0 ).								a
x1 0		x2 b ( b 0 ).											R x R(cost t sin t) ,
3.4.7.													R x R(cost t sin t) ,
y R(sin t t cost)			t1 0			t2 .
	. 3.4.1.		2 R . 3.4.2.				16	. 3.4.3.	2			4	6		4	.	3.4.4. 6 a2 .
						3			3				3
3.4.5.	4	3a2 . 3.4.6. a sh		b	. 3.4.7. 2 R .
	3			a		2
									4
4.
						4.1.
4.1.1.	,							S					,				.
	,							S			Ox ,		,
	,										Ox ,

x S S x ; a x b .

					b
				V S x dx		.
					a
4.1.2.			.		,
Ox			,			x a
x b	a b ,	Ox				a; b

y f x ,

b 2

V f x dx .

4.2.

4.2.1.

y f x 0

x a; b

Ox ,

f x 2 dx

2 f x

x x(t) ,

y y(t) ,

4.2.2.

t [t1; t2 ] ,

x(t) y(t) –

y(t) 0

[t1; t2 ]

x (t) 0

Ox ,

S 2 2

y(t)

x (t) 2 y (t) 2

4.2.3.

0 ,

r r( ) ,

S 2 r( )sin

2 r

2 d

4.3.

4.3.1.

x K

x	2	y2	z	2
					,
		b2	c2
a	2
	const
x

( . 3.3.2),

(

x K.

const.

S x bx cx . a a

. . 4.1.1) V S x dx

x2 y2 z2 a2 b2 c2

Ox ,

bx cx . a a

bx cx dx a a

x2dx

2 bcK

3a2

a2 3

4.3.2.

R ,

x2 y2 R2 ,

xOy ,

Ox.

. 4.1.2 V f x 2 dx.

f x 2 y2 R2 x2 , x R; R .

4 R

dx R2 x

2 R3

f x

2 dx.

R2 x2

. 4.2.1:

S 2

f x

S 2

, x R; R .

dx 2 R x

4 R2 .

4.3.3.

,a , b , c .

x const ,

a x a ,

b 1

c 1

b2 1

c2 1

,				,

				x2					x2			x2
( . 3.3.2), .	.	S(x) b	1				c	1			bc 1			.	,
( . 3.3.2), .	.	S(x) b	1	a	2		c	1	a	2	bc 1	a	2	.	,
				a					a			a
		,				(		. . 4.1.1)

a	a		x2			x3
V	S x dx	bc 1			dx bc x
			a	2		3a	2
a	a

4.3.4.			,
	,
	.
y a ;	y 0	x a .	,

4 abc .

x y a , a 0.

:	x 0
	[0, a].

,													y							2 f (x) .
,													y			a			x	2 f (x) .
a						a					a
V		f (x) 2 dx a1/2 x1/2 4 dx (a2 4a3/2 x1/2																6ax 4a1/2 x3/2						x2 )dx
0						0					0
2			8	3/2	3/2		2	8	1/2	5/2	x3	a		3			8				8	1	a3
2			8	3/2	3/2		2	8	1/2	5/2	x3	a		3			8				8	1	a3
a	x			a	x		3ax			a x				a	1				3						.
a	x			a	x		3ax			a x				a	1				3						.
			3					5			3	0					3				5 3			15
				,							3	0			y arcsin x ,										x 1
4.3.5.				,											y arcsin x ,										x 1
y 0 ,										Ox .								V
		.
		.									t arcsin x;								x sin t;
1						1					t arcsin x;								x sin t;
V		f (x) 2 dx (arcsin x)2 dx									dx costdt;				x [0;
0						0					dx costdt;				x [0;				1] t 0;
																								2

t2 costdt .

	0
/2			/2				/2			/2
t2 costdt			t2d (sin t) t2 sin t							sin td (t2 )
t2 costdt			t2d (sin t) t2 sin t							sin td (t2 )
0			0				0			0
	2	/2			2					/2
		2 td (cost)			2 t cost			0	/2		costdt
		2 td (cost)			2 t cost			0	/2		costdt
4		0		4						0
					2		( 2			8)
			,	V		2						.
			,	V	4	2			4			.
					4				4		,
4.3.6.											,

2 t sin tdt

4 /2

	0
2	2 sin t	0	/2 2	2 .
2	2 sin t	0	/2 2	2 .
4			4

x2/3 y2/3 a2/3									Ox .
				.								: x a cos3 t ,				y asin3 t,
t [0;			2 ].
				,			a .					3.3.3 ( .3.4),
							a .					,
												,
												.			,
												Oy ,
					,							,
				(	t							. 4.2.2,			:
				(	t	0;		2	).			. 4.2.2,			:
								2				x (t) 3a cos2 t sin t;			0;
			t									x (t) 3a cos2 t sin t;	t		0;
	S			2			2			2				1
		2 y(t)			x (t)				y (t)		dt	y (t) 3a sin2 t cost;
	2	2 y(t)			x (t)				y (t)		dt	y (t) 3a sin2 t cost;	t	2
			t1											2	2
															2

/2
2 a sin3 t	3a cos2 t sin t	2	3a sin2 t cost		2 dt
0
/2						/2
2 a sin3 t	9a2 sin2 t cos2 t (cos2 t sin2 t)			dt 6 a2		sin4 t costdt
0			1			0

6 a2 sin4 t d (sin t)

За ча и .

			/2
6 a2	sin5 t			6 a2	.

5			5
			0
		,

, S 12 a2 .

x 1/3

y 1/3 y 0 ,

1/3

2/3

1/3

y 2

1/3

2/3

| x

1/3

S 2 2 y

y 2 dx 4

a2/3 x2/3 3/2 a1/3 x 1/3dx 4 a1/3 a2/3 x2/3 3/2 x 1/3dx.

( .

Д1Ж,

. 26.2.2),

a2/3 x2/3

z2 ,

x 1/3dx 2zdz ,

z2 3/2

x1 0 z1

a1/3 ,

x2 a

0 .

S 4 a1/3

( 3zdz)

a1/3

1/3

12 a1/3 a z4dz

a1/3 z5

a1/3 a5/3

a2 .

4.3.7.

x2 ( y b)2 a2

(0 a b)

Ox .

S1 ,

y b

f1(x) ,

a2 x2

S2 ,

y b

f2 (x)

[ a; a].

a2 x2

Ox .

. 4.2.1

S S1 S2 2 f1

x 1 f1 x 2 dx 2 f2 x

1 f2 x

2 dx .

f1(x) f2 (x)

a2 x2

2 x

a2 x2

S 2

f1 x f2 x dx 4 ab

4 ab arcsin

ab .

4 ab

4.3.8.															,
r a(1 cos ) ( a 0)																			.
					.							–				,					(					. 4.1).
																					(					. 4.1).
																					,														.			4.2.3
																			0								,								.			4.2.3
																			0								,					.			:
																																.			:
																		r ( ) a(1 cos ) asin ;
																											a
														(r( ))2					(r ( ))2								a			(1 cos )2 sin2
																																		2a			cos		.
													a												a				4cos2

																		2(1 cos )
										. 4.1																						2						2
																[0; ]								cos 0									cos			cos .


																										2									2			2

													: S 2 r( )sin											r				2				r			2 d


		2 a(1 cos )sin 2a cos d 4 a2 2cos2 2sin cos cos d
					0								2			0							2					2				2			2
					0											0
											4						cos		5							32 a2									32 a2


								2							2					2
			16 a						cos			d ( 2cos )	32 a																		(0 1)							.
			16 a						cos		2	d ( 2cos )	32 a			5										5					(0 1)				5			.
									0		2	2				5										5									5
									0
										4.4.												0
																						0

4.4.1.										x 2		x 3 .	,																			x2 y2 z2 16
										x 2		x 3 .
4.4.2.												,
	x2			y2			z2		1				z 1			z 1.
	a2			b2			c2		1			,	z 1			z 1.
	a2			b2			c2
4.4.3.
	z		x2			y2						z k ( k 0).
	z					b2						z k ( k 0).
			a2			b2							,																									,
4.4.4.													,																									,
												xy 4 , x 1, x 4,							y 0 ,													Ox .
4.4.5.													,																									,
												y 2x x2 , y 0 ,															Ox .

4.4.6.				,
Ox	y	x3	x 0	x 2.
Ox	y		x 0	x 2.
4.4.7.	3				,
4.4.7.				y sin x	,	y 0 ,
	,			y sin x	( 0 x )	y 0 ,
Ox .					,
4.4.8.					,
y a 1 cost	,				x a t sin t ,
y a 1 cost			,	.

				29											1					abk 2
. 4.4.1.								. 4.4.2.	2 ab 1								.	4.4.3.		. 4.4.4. 12 .
. 4.4.1.								. 4.4.2.	2 ab 1							2	.	4.4.3.		. 4.4.4. 12 .
				3											3c					2	64 a2
4.4.6.	(17		1)		. 4.4.7. 2																	.
		17							;	2 (				ln(1
		17							;	2 (			2	ln(1					2)) . 4.4.8. 5 2a3 ;
9							2														3
																		5
5.
							5.1.
5.1.1.							.											f x
			f			x		dx lim		b	f	x		dx .

			a					b a							,
,															,						,
,																					,

4.4.5.16 .

x a; .


	f
	f	x dx
a

		.
5.1.2.	.	f x	x ; b .
			b
				f
				f	x dx

b
	f
		x dx

lim f x dx .

a a

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf