Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 2 часть

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

5.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

)

C1 0 ,

C1 C1*2 ,

arctg y / C1 x C2 .

y2 C*2

2 C*2

)

C1 0 ,

C1 C1*2 ,

y C*

x C2 .

y2 C*2

2C*

y C*

)

C1 0 ,

y y

x C y

x C

y C ; x

y / C* C

C 0 ; x

y C1*

arctg

2C*

y C*

C 0 ; y

C 0 .

C* | C |

22.2.5.

0 0 .

y ; y

0 y

y z ,

xz z

z C1x .

y 0 0 ,

1 R .

y C1x dy C1xdx y

C x2

C2 .

y Cx2 .

y 0 0 ,

2 0.

22.3.

yy ( y )2 .

y(2) 0,

y (2) 4 .

22.3.1.

22.3.2.

;

22.3.3.

2 y 3y2 ; y( 2) 1,

y (2) 1.

22.3.4. y e2 y ;

y(0) 0 ,

y (0) 1.

22.3.5. x2 y ( y )2 .

x5/2

C x

22.3.1. y C1e

22.3.2.

. 22.3.3.

(x 4)2

22.3.4. y ln |1 x | . 22.3.5. y

C1x2

C x C

(x C )ln | x C |.

131

23.

.				n-
a y(n) a y(n 1)		... a	y ' a y 0,
0	1	n 1	n
a0 , a1,..., an			.
.	y c1 y1 c2 y2 ... cn yn ,
c1,c2 ,...,cn	y c1 y1 c2 y2 ... cn yn ,			y1, y2 ,..., yn
c1,c2 ,...,cn			,	y1, y2 ,..., yn
			,

y ekx .

k2 α iβ,

y2 eαx sinβx .

y1 ekx ,

k2 α iβ,

y1 eαx cosβx ,

yr xr 1eαx cosβx ,

	a k n	a k n 1 ... a		k a		0
	0	1	n 1		n
	n		(				).
	n						-
			k				1
							k1 α iβ
1	,						y1 eαx cosβx
			k			r	r
y2 xekx ,	y3 x2ekx , …, yr xr 1ekx .						k1 α iβ
		,					k1 α iβ
r		,			2r
y ' eαx sinβx , y2			xeαx cosβx ,				y2 ' xeαx sinβx ,…,
1

yr ' xr 1eαx sinβx .

23.1.				,
23.1.1.				6y 0	( . .
23.1.1.		y	5y	6y 0	( . .
).						k2 5k 6 0.
.					:	k2 5k 6 0.
k1 2	k2 3				.	1,
	y C e2 x C e3x .
	1	2

132

23.1.2.	y 4 y 5y 0.
.		:	k2 4k 5 0.
	k1 2 i, k2 2 i ,		. . 2,
2,	y	1О 2 x cos б C2О 2 x sin б.
23.1.3.	( . .		)

y 2y y 0, y(0) 1, y (0) 0.

	.					:	k2 2k 1 0.
				2:	k1,2 1.
		y C e x C xe x .
		1	2
y C e x C e x C xe x ; y(0)			C	1, y (0)	C	C	0 C	1;
1	2	2	1		1	2	2

y e x xe x (1 x)e x .

23.1.4.	y 8y 0.
.						:		k3 8 0,
(k 2)(k 2 2k 4) 0.		:	k1 2, k2,3			1
(k 2)(k 2 2k 4) 0.		:	k1 2, k2,3			1	3i.				1
2	y C1e2 x C2e x cos				x C3e x sin					x.
2	y C1e2 x C2e x cos			3	x C3e x sin				3	x.
23.1.5.	yV 2 yIV 16 y 32 y 0.
.						k5 2k4 16k 32 0.
		,				:
k 4 (k 2) 16(k 2) 0, (k 2)(k 4 16) 0, (k 2)(k 2						4)(k 2	4) 0,
(k 2)2 (k 2)(k 2 4) 0, k1 k2		2, k3 2, k4 2i, k5 2i.									1 – 3
	y (C	C x)e2 x	C e 2 x C cos2x C sin 2x.
	1	2	3			4	5
23.1.6.	yV 8y 16y 0.
.							k5 8k3 16k 0 :
k(k 4 8k 2 16) 0, k(k2	4)2 0, k1 0, k2,3 2i, k4,5 2i.						1				4
	y C1	C2 cos2x C3 sin 2x C4 x cos2x C5 xsin 2x.

23.1.7.

y y 5y 3y 0, y(0) 0, y (0) 1, y (0) 2.

.			k3 k2 5k 3 0 :	k1 1;
k2 1,k3 3.	(“	”),	k 2 2k 3 0,
k2 1,k3 3.	1 3
y C1ex C2 xex C3e 3x .			,

133

y(0)	C1		C3	0
	C1	C2	3C3
y (0)				1
y (0) C		2C	9C 2
	1	2	3
		23.2.

		,	,
: 1 0,25;	2 0;	3 0,25

y 0,25ex 0,25e 3x .

23.2.1.	y 6y 13y 0.	23.2.2. yIV y 0.	23.2.3. yIV 4 y 0.
23.2.4.	y 3y 3y y 0.	23.2.5. yV 8y 16y 0.
23.2.6.	y y 0, y(0) 3, y (0) 1, y (0) 1.

. 23.2.1. y e 3x (C1 cos 2x C2 sin 2x).

23.2.2.y C1e x C2ex C3 cos x C4 sin x.

23.2.3.y ex (C1 cos x C2 sin x) e x (C3 cos x C4 sin x).

23.2.4.y (C1 C2 x C3 x2 )ex .

23.2.5.y C1 (C2 C3x)cos 2x (C4 C5 x)sin 2x.

23.2.6.y 2 e x .

24.

			.						n-
				a y(n) a y(n 1)		... a		y ' a y f (x ),
				0	1		n 1	n
		a0 ,a1,..., an						,	f (x) –
			.						y		y ,
			.
			.							y
		–
	y	–
a y(n)			a y(n 1)	... a	y ' a y 0		(
0			1	n 1	n			y –
							),	y –	-
).							( . .		-
).				f (x)
				f (x)
, . .									I II.

134

I. f (x) Pk (x)e x ,

Pk (x) –

: y xrQk (x)e x .

Qk (x) –

r –

( . .

24.1.

24.1.1.

y 5y 4 y 4x2e2 x .

k2 5k 4 0.

k 1

C ex

C e4 x .

, . .

y Ax2 Bx C e2 x ,

r 0.

A, B C

y 2Ax B e2 x 2 Ax2 Bx C e2 x ,

y 2Ae2 x

2 2Ax B e2 x 2 2Ax B e2 x 4 Ax2

Bx C e2 x

e2 x ,

: 4Ax2 8Ax 4Bx 2A 4B 4C

5 2Ax2 2Ax 2Bx B 2C 4 Ax2 Bx C 4x2.

2 A

0 ,

: A 2, B 2,C 3.

2 A

2 A B 2C 0

y C1ex C2e4 x 2x2 2x 3 e2 x .

24.1.2.

y y 12x2.

k3 k 2 0 k 2 (k 1) 0.

k1,2 0

k3 1

C1 C2 x C3e x .

–

135

	2, . . r 2;	y x2 Ax2 Bx C Ax4 Bx3 Cx2 ,		A,
B,	C –	.		y
ё	y 4Ax3	3Bx2 2Cx ,	y 12Ax2 6Bx 2C ,
y* 24Ax 6B		:	24Ax 6B 12Ax2 6Bx 2C
12x2.

12A 12

A 1;

24A 6B 0

B 4;

6B 2C 0

C 12.

y C1 C2 x C3e x x4 4x3 12x2.

24.1.3.

y 2 y 2ex ,

y(1) 1, y (1) 0.

k 2 2k 0;k

0,k

C C e2 x ; 1,r 0; y Aex ; y Aex , y Aex ;

Aex 2Aex 2ex ; A 2; y C C e2 x 2ex .

C C e2

2e 1

2C e2 2e

C e 1,

y e2 x 1 2ex e 1.

C e

24.1.4.

y y 2y 3xex .

k 2 k 2 0.

k1 1, k2 2.

C1ex C2e 2 x .

1,r 1, y* x(Ax B)ex (Ax2 Bx)ex.

y (Ax2 2Ax Bx B)ex , y (Ax2 4Ax Bx 2A 2B)ex ,

(Ax2 4Ax Bx 2A 2B)ex (Ax2 2Ax Bx B)ex (2Ax2 2Bx)ex 3xex.

y* x

: 6A 3, A

; 2A 3B 0, B

y 1ex C2e 2x x

ex .

24.2.

24.2.1. y 2 y 3y e4 x .

24.2.2. y 2 y 3y x2ex .

24.2.3. y 2 y y 6xex .

24.2.4. yIV y 7x2 3x 5.

136

. 24.2.1. y C e x C e3x		1	e4 x . 24.2.2.	y C e 3x C ex x		x2		x	1	ex .

1	2	5		1	2		16		32
						12

24.2.3. y C1 C2 x x3 ex . 24.2.4. y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.

25.
							(			)

	II. f (x) eαx Pk (x)cosβx Qm (x)sinβx ,								Pk (x)	Qm (x)
		k	m					y		,
								y
	y xreαx Rl (x)cosβx Tl (x)sinβx .
	Rl (x)	Tl (x)						l
α iβ			,	l max k, m ,					r –
α iβ						α iβ ,
		,				α iβ ,
			.			,				-
За	ча и :		.
За	ча и :	y
	,	y								.
25.1.						,
25.1.1.						y 3y 2y sin x.
	:									:
y 3y 2y 0; k 2 3k 2 0; k 1, k						2;		C ex	C e2 x .
y 3y 2y 0; k 2 3k 2 0; k 1, k					2	2;	y	C ex	C e2 x .
			1		2		1		2
			0, 1, i i.
			,
		y Acos x Bsin x .							,	:
y	Asin x B cos x, y		Acos x Bsin x;

Acos x Bsin x 3Asin x 3Bcos x 2Acos x 2Bsin x sin x;

137

cos x	A 3B 2A 0	A 3B	;
cos x	sin x :	;	;
	B 3A 2B 1	9B B	1

B 0,1 A 0,3 y y y C1ex C2e2 x 0,1(3cos x sin x).

25.1.2.			y y xsin x.
.				k2 1 0	k1,2 i .
			C1 cos x C2 sin x .
		y	C1 cos x C2 sin x .
	0, 1, i i.			–
	1,

y x ( Ax B)cos x (Cx D)sin x .

A, B, C, D,

:y C1 cos x C2 sin x x (Ax B)cos x (Cx D)sin x .

:y ( Ax2 Bx)cos x (Cx2 Dx)sin x;

y (Cx2 2Ax Dx B)cos x ( Ax2 Bx 2Cx D)sin x;

y ( Ax2 Bx 4Cx 2A 2D)cos x ( Cx2 4Ax Dx 2B 2C)sin x.

xcos x, cos x, xsin x

sin x .

4C 0, 4A 1, 2 A 2D 0, 2B 2C 0 A

, B 0,C 0, D

y C cos x C sin x

x2 cos x

xsin x.

25.1.3.

2 y 4e

sin x

2 y

k 2 2k 2 0 ,

k1,2

1 i ,

(C1 cos x C2 sin x)ex .

1, 1, i 1 i.

–

y xex Acos x Bsin x ,

: y

1 cos б C2 sin б Оx б Acos б Bsin б .

138

							-
							,
	:						-
	:
.	y1						f1(x),
y2	y1(x) y2 (x)
f2 (x),	y1(x) y2 (x)
		f1(x) f2 (x) .
25.1.4.					y 6 y 9y xe3x e3x cos 2x.
:					k3 6k2 9k 0
k 3	2	k 0			1.
				(C C x)e3x		C .
			y	(C C x)e3x		C .
			1		2	3	3
						;	3
i 3 2i,					2,		3, 2,
i 3 2i,							.
	y 6 y 9 y xe3x			y 6y 9y e3x cos 2x.
				y x2 ( Ax B)e3x .			y
			1				1

,ё A 1 , B 1 .

						18		18
y2 e3x (C cos 2x Dsin 2x).										y2		,		ё C		3	,
y2 e3x (C cos 2x Dsin 2x).										y2		,		ё C			,
															52
D			1	.
D				.
26										(x 1) e3x					.
y		y y (C				C x)e3x C			x2		3	cos 2x	1	sin 2x
	y								x2		3		1
	y
1 2					1	2	3	18				26
								18		52		26

25.2.

(

25.2.1. y y 4sin x. 25.2.2. y 3y 2y x cos x.

25.2.4.	y y 2ex x2. 25.2.5.	y 4y 8y e2 x
25.2.6.	y 8y 20y 5xe4 x sin 2x.

25.2.3. y 9 y e3x cos x.sin 2x.

. 25.2.1. y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.

25.2.2. y C1ex C2e2 x 0,1x 0,12 cos x 0,3x 0,34 sin x.

139

25.2.3. y C e 3x	C e3x	1	(cos x 6sin x)e3x .
25.2.3. y C e 3x	C e3x		(cos x 6sin x)e3x .
1	2	37
		37
25.2.4. y C e x C ex xex x2 2.
1	2
25.2.5. y e2 x (C sin 2x C cos 2x)				1	e2 x	1	(2cos 2x sin 2x).
25.2.5. y e2 x (C sin 2x C cos 2x)					e2 x		(2cos 2x sin 2x).
1		2		4		20
				4		20

		5		2
25.2.6.	y C1 cos 2x C2 sin 2x		x
25.2.6.	y C1 cos 2x C2 sin 2x	8	x
		8

26.

f (x)

cos 2x	5	xsin 2x	5		4 x
				cos 2x e		.
				cos 2x e		.
	16		64

y(n) a1 y(n 1) ... an y f (x)

.				y C1 y1 C2 y2				... Cn yn				-
												y(n) a y(n 1)			... a y 0.
												1				n
					:											,
y C (x) y C (x) y					:
y C (x) y C (x) y				... C (x) y				. (1)
1	1	2	2		n		n
C y	C1(x),C2 (x),...,Cn (x)
C y	C y		...	C	y			0
1 1	2	2			n	n
C y	C y		...	C	y			0	.
1 1	2 2			n		n			.

................................................................
	C y(n 1)		... C		y(n 1)		f (x)
C y (n 1)	C y(n 1)		... C		y(n 1)		f (x)
1 1	2	2		n	n
				Ci (x),i 1, 2,..., n,								;
				(1).
26.1.									,
26.1.1.					y 2 y y					ex	.
26.1.1.					y 2 y y						.
.										x		k1,2 1,
.												k1,2 1,
														C ex C xex .
													y	C ex C xex .
															1	2
												y C (x)ex C (x)xex .
												1				2

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf