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Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

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Райцин / Практикум 2 часть

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20.2.

20.2.1. (2x 1) y 4x 2y.

20.2.2. y y tg x sec x. 20.2.3. xy ex dx xdy 0.

20.2.4. x2 y xy 1 0.

20.2.5. y x( y x cos x).

20.2.6.

2x(x2 y)dx dy.

20.2.1.

y (2x 1)(C ln

2x 1) 1.

20.2.2.

y C cos x sin x.

20.2.3. y (ln

C)ex , x 0.

20.2.4.

xy C ln

20.2.5.

y (C sin x)x.

20.2.6. y Cex2 x2

20.3.

P(x) y Q(x) y

0, n 1) ,

n 1

y x u(x) v x

20.3.1.

y 2 y y2ex .

y2 .

ex .

z y z

y2 .

z 2z ex ,

z uv

2uv e

u v uv

u(v

2v) u v e

2v v e2 x

e2 x ex u e x C.

z C e x e2 x .

y Ce2 x ex 1, y 0.

20.3.2.

y ytgx y2 cos x

y uv

cos x

2 2

cos x .

u v uv uv tg x u

u v

u v v tg x u v

v v tg x 0

tg xdx

sin xdx

cos x

121

u u2

cos x

x C

x C cos x

20.4.

20.4.1.

20.4.4.

20.4.3.

20.4.6.

21.1.

(x 1) y y2 y. 20.4.2.

y y4 cos x y tg x. 20.4.3.

xy2 y x2

y3.

xydy y2

x dx. 20.4.5. xy 2x2

4y. 20.4.6.

xy 2 y x5 y3ex 0.

. 20.4.1.

y(x 1) C ln

x 1

1; y 0 . 20.4.2.

y 3 (C 3tg x)cos3 x,

y 0.

y3 Cx3 3x2. 20.4.4. y2

Cx2 2x, x 0.

20.4.5.

y x4 ln2 Cx; y 0 .

y 2 2ex C x4 , y 0.

21.

	P(x, y)dx Q(x, y)dy 0		(1)
	,			P dx	Q dy ,
	u(x, y) , . . du(x, y)			P dx	Q dy ,	,
P	Q .			x	y
P	Q .	u x, y C
y	x
	(1).
						:
x	y
u(x, y) P x, y dx Q x0 , y dy ,			x0 , y0			,
x0	y0		P ,	Q
	P x, y , Q x, y ,		P ,	Q		.
			y	x

122

21.1.1.

u(x, y),

(2x 3x2 y)dx (x3 3y2 )dy 0

(2x 3x2 y) 3x2 ,

(x3 3y2 ) 3x2 ,

du x, y

2x 3x

, . .

					x								,	y		( y)	;
							y : u (2x 3x2 y)dx x2 x3 y ( y).									( y)	–
							y : u (2x 3x2 y)dx x2 x3 y ( y).
x			y ( y)			u					,			ё ( y) :
x	2	x	y ( y)	y	x	3	( y) x	3	3y	2	( y) 3y	2		( y) y	3	C.
	2	3				3		3		2		2			3

,u(x, y) x2 x3 y y3 ,

x2 x3 y y3 C.

x, y ,

Pdx Qdy

x, y

F x ,

x ;

y ,

y .

21.1.2.				x2 y
	2xy

.	P 2xy x2 y	y3	; Q x2

	3

dx x2

y2 dy 0 .

y2 ,

y2 2x 1,

1 P Q

, x, y x .	P	Q	,

	y	x

123

P Q Q d

y x dx

d dx ,

21.1.3.

y x0 y0 .

ln x ex .				ex ,
		y	3
ex	2xy x2 y			dx ex x2	y2	dy 0 ,

	3

	x		2	y3	C .
ye		x
ye		x
				3

3x2 2 2x y dx 2 y x 3y2 dy 0 ,

P 3x

u(x,

2 2 2x y; Q 2 y x 3y2 ; P 1;y

x y

y) P x, y dx Q x0 , y dy 0 ,

Q 1.x

y x0 y0 .

u(x, y)

3y2

2x x2

3x2 2 2x y dx

2 y x

x03 2x0 x02 yx0 y2 x0 y y3 y02 x0 y0 y03 x3 2x x2 xy y2 y3 C,

C x3	2x x2		y2	x y y3 .
0	0	0	0	0	0	0
						x3 2x x2 xy y2 y3 C .
21.2.						,	.

F x, y, y , y ,...y(n) 0 .

		y(n) ,
	y(n) f x, y, y , y ,...y(n 1)	.
.	a,b
y x,C1,C2 ,...Cn ,	n	C1,C2 ,...Cn
,	y x,C1,C2 ,...Cn

124

a,b

x .

y x,C1,C2 ,...Cn

n 1

y x0 y0 ,

, ………….

y x0

x0 y0

n 1

)

f (x, y, y , y ,...y

x, y

f y x, y ,

f y

, f y

x, y ,

…,

n 1

x, y

n 1

f y

x0 , y0 , y0 ,...y0

y(n)

f x, y, y , y ,...y(n 1)

y x,C1,C2 ,...Cn ,

C1,C2 ,...Cn ,

)

C1,C2 ,...Cn

y x,C1,C2 ,...Cn

;

)

y x,C1,C2 ,...Cn

C1,C2 ,...Cn

x, y,C1,C2 ,...Cn 0 ,

x, y,C1,C2 ,...Cn 0

C1,C2 ,...Cn .

x, y,C10 ,C20 ,...Cn0 0,

C10 ,C20 ,...Cn0

C1,C2 ,...Cn

125

21.2.1.

21.2.1.1.

y z z 1 x2 arctg x C1,arctg xdx C1x C2.

yx arctg x ln 1 x2 C1x C2.

21.2.2.

y(n) f (x).
y	1	.
y	1 x2	.

y (arctg x C1)dx C2

F(x, y , y ,..., y(n) ) 0.

z x

21.2.2.1.

1 3.

2xy y

'' y

4;y 1 8;y

y ,

y z ,

z z x –

2xzz

4 .

2xz

2zdz

d z

2 4

C x

z2 4

ln z2 4 ln C1x z2 4 C1x z 4 C1x .

				, y '				4 C1x			.				x 1; y ' 3,		:
3			.			,											«–»,
3	4 C1		.			,											«–»,
9 4 C1 C1 5 y '												.
9 4 C1 C1 5 y '										4 5x		.			x :

y							1		4 5xd 4 5x				2	4 5x	3	C
		4 5xdx C			2		1						2	4 5x
		4 5xdx C
						5								15		2 .
						5								15

x 1; y 8 :

8	2 27	C2 C2		22	y	2			22	–
								4 5x 3			.

15			5		15		5

126

		1
21.2.2.2.	y	1	1 y	2	;	y 0 a ,		0 0 .
				2
		a					y
		a

z	1				dz
	1	1 z2			dz

	a			1 z2
	a			1 z2
			x	C
				C
				1
z 1 z2 e a					.

1 eC1 C1 0 .

y ' z .

1 z2

z 0 y

0 0 ,

1 z

ea 1 z

ea z z

x ,	y sh	x	dx a ch	x	C2 .
		a
y 0 a ,				a
	C2 : a a C2 C2 0 .

: y a ch x / a .

21.2.2.3.

x3 y x2 y 1.

z 1,

x x3

z uv,

u v v u

v u

;

v C

x x3

x x2

y C1

y C1 ln x

C2.

21.3.

21.3.1.

2xydx x2 y2 dy 0.

21.3.2. 2 9xy2 xdx 4 y2 6x3 ydy 0.

21.3.3.

e y dx 2 y xe y dy 0.

21.3.4.

ln x dy 0.

3x2 y2

2x3 5y

21.3.5.

dy 0.

21.3.6.

y ln x .

21.3.7.

xy y .

21.3.8.

x .

21.3.9.

xy y ln

21.3.10. ( y )2

y .

21.3.11. y 2ctg x y sin3 x .

21.3.12.

1 ( y )2

2 yy .

127

. 21.3.1. 3x2 y y3 C.

21.3.2. x2 3x3 y2 y4 C.

21.3.3. xe y

y2 C.

4y ln x y

21.3.4.

21.3.5.

21.3.6 y

ln x

C1x

C2.

21.3.7.

y C x2 C . 21.3.8.

y x2 / 3 C x2

C . 21.3.9.

y (C x C 2 )ex/C1 1

C .

sin 2x

21.3.10. y

C1)

C2.

21.3.11. y

sin

x C1

C2.

21.3.12. (x C2 )2 4C1( y C1).

	22
22.	,

22.1.

m 1

m n .

y, y , y ,...y

F(x, y(m) , y(m 1) ,..., y(n) ) 0.

y m z x .

22.1.1.

(x 1) y y 0.

z(x)

z 0.

1)z

z x 1

ln z ln(x 1) ln C1

ln z ln C1(x 1),

z C1(x 1)

C (x 1)2

C1(x 1)

C2 ,

: y C1

(x 1)3

C2 x C3.

128

22.2.

x .

F( y, y , y ,..., y(n) ) 0.

p( y),

p ,

y p2

. .

22.2.1.

y p( y), y p

y2 p p2 0

p uv,

v –

ё :

u v

v u

v u v u

u y,

y y

v y C1

p C1 y y2.

C1 y y2

	dy		dx,
	C y y2		dx,
1
		dy			1				dy			dy		1
				x c2													ln
		C y y2		x c2		C			y		y	C				C	ln
1					1							1		1
,					, y			C C eC1x
,					, y		1		C eC1x .
									1	2
										2
22.2.2.									yy ( y )2					0.
			.			y p( y), y p							dp		,
			.			y p( y), y p									,
													dy

y	x C2	y	eC1	x C2	,


y C1		y C1

p 0

0 y C

ypp

0 p yp

p 0

yp p

p 0

129

ydy c1dx ydy C1 dx

C1x C2

y2 C1x C2 .

y2 C1x C2

22.2.3.

;

y y

y 0 1; y 0 0.

y p( y), y p

ypp p2 y4

z p2 ,

z y4 z

2 y3 , z uv,

u v uv

2 y

u v u v

2 y

u v 2 y3

v y2

u ' 2y

z y4 C1 y2 p y C1 y2 .

y 0 1; y

0 0,

0 1

1 1.

1 1

dy / y2

x C

y2 1

1 1 / y 2

d 1 / y

x C2 arccos 1 / y x C2

1 1 / y 2

y 0 1 ,

C2 0

arccos 1 / y x y 1 / cos x .

: y 1 / cos x .

22.2.4.				y 2 yy .
	.		p y ,
	.	y	p y ,				y	p p	p p 2 yp ,
p 0
	.
p 2 y
	y 0	dp 2 ydy			y C	;	p y2 C		y y2 C .
					0			1	1

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