Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 2 часть

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

5.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

rot A 0	div A 0							A 2 A 0 .								.
,	r {x, y, z}						r	0 ,			div r 3.

		2			2			2		0						,
		x		2	y	2		z	2	0						,
		x			y			z
,																.
																.
														A grad ,
					.							,		A grad ,		0 ,
div A divgrad 0 , .								.			A					,
				.
	17.5.
17.5.1.	) grad (a, r )(b, r ) ;									) div b(a, r ) ;				) div r (a, r ) ;		) div a, r ;
) rot a, r ,	a			b	–							,		r -	-
(x, y, z) .
17.5.2.	,		: )		div[ A, B] (B,rot A) ( A,rot B) ;
) div[r ,[r,c]] 2(c, r ) ,							r {x, y, z},					c –			;
) div( f grad g) (grad f ,grad g) f g .
17.5.3.	A x2 yz i xy2 z j xyz2											k .		div A	rot A .
17.5.4.							yz i xz j xy k									A :
) y i x j ez k ;				) A			yz i xz j xy k						.
) y i x j ez k ;				) A									.
								1 x2 y2 z2
17.5.5.												A {yez , zex , xey}
17.5.6.				.			f								17.5.5,
17.5.6.							f								17.5.5,

v {xey , yez , zex}?

17.5.7.

A 2xy k .

17.5.8.

A {x, y, 2z}

17.5.1.

) a(b, r ) b(a, r ) ;

) (a,b) ;

) 4(a, r ) ;

) 0;

)

2a .

17.5.3. div A 6xyz ;

rot A x(z2 y2 )i y(x2

z2 ) j z(y2

x2 )k . 17.5.4.

) xy ez C ;

z2ex

) arctg(xyz) C . 17.5.5. v

grad f . 17.5.6. f

17.5.7. v xy2 i grad f . 17.5.8.

x2 y2

2z2

C ; v yz i

xz j grad f .

111

															18
				18.		.
18.1.
1						1	y
1		x				1	y
dx f				x, y dy dy f				x, y dx .
0	x					0	?				,								x 0 ,	z 0 ,
18.2.											,								x 0 ,	z 0 ,
y 1, y 2 z2 , x 2z 2 ( z 0 )?
18.3.													z 0 , x2 y2 1, y z 3?
				,									z 0 , x2 y2 1, y z 3?
															2	2	2
18.4.															d sin d 2 F ( , , )d
															1	1	1
				,							x2 2x y2 z2 0 ,
					?												(2x y)dx 2 ydy ,
18.5.																	(2x y)dx 2 ydy ,
																	L
L –													A(0; 1) , B(0;2) , C(2;0) ?
18.6.														A y i xz j 2k
							z					?
							z			1 x2 y2		?
																		2		4x
18.7.																	A x		y; yz ln x;
18.7.																	A x		y; yz ln x;
			M0 (1;3; 2) ?																	z
			M0 (1;3; 2) ?								A 3y2 ; 3x2 ; z2 (x y) .
18.8.											A 3y2 ; 3x2 ; z2 (x y) .								rot A
M0 (1;2;1) ?																A y z; x z; x y .
18.9.																A y z; x z; x y .
18.10.												A yz; zx; xy							?
									11		2		1		3 r sin
				.	18.1. y2 . 18.2.				11		. 18.3. d rdr					dz . 18.4. 1 / 2 , 2				/ 2,
				.	18.1. y2 . 18.2.						. 18.3. d rdr					dz . 18.4. 1 / 2 , 2				/ 2,
								6			0		0		0
1	0 ,			2	,	1 0 ,		2			2sin cos .			18.5.		3 .	18.6.		2 . 18.7.		7 .
18.8. 1;1; 6 .						18.9. xy xz yz C . 18.10.										.

112

								19
19.		(				)
		(				)
						19.1.

1. F x, y, y 0 –						1	.

	f x, y	–							.
2. y	f x, y	–						y	.

3. P x, y dx Q x, y dy 0 –									(	).

	.								a,b
	y x ,							y x
		,						y x
	a,b .									x
	a,b .

	,				y C / x
	y			y			,0	0, .
	y			x			,0	0, .
				x

	.							y x
	,
y x0 x0 y0 .

	,					y 1 / x
	y	y	0 ,							y 1 1.
	y		0 ,							y 1 1.
		x

19.1.1.		.				f (x, y)				,
							f y x, y			. M0 x0 , y0 ,
										x0 , y0 .

		x y					f x, y x y
	y	x y					f x, y x y
					xOy			f y x, y 1.		19.1.1
							xOy
		.
							113

19.1.2.	.				19.1.1.
					f x, y
				y	f x, y
					y x,C ,
					y x,C ,
x		C (		),	,
1)				C	y x,C
		;
2)			y x0 y0 ,
C0	C ,			y x,C0
x0 , y0 .	x0 ,C0 y0 .				,
x0 , y0 .

x, y,C 0,					.
x, y,C 0
.

19.1.3.	.
	,	C (		).	-
		C (		).
x, y,C0 0 ,		C0			C ,
					.
19.2.

y f (x)g( y),	dy	f x dx
	g y

		dy	f x dx C
		g y

						M x		Q y
M (x)N ( y)dx P(x)Q( y)dy 0,							dx		dy 0
M (x)N ( y)dx P(x)Q( y)dy 0,						P x	dx	N y	dy 0
	M x	dx	Q y	dy C
		dx		dy C
	P x		N y
За ча и .					y f (ax by)

z ax by .

114

19.3.

19.3.1.

y (1 x2 ) xy .

1 x2

xy dy 1 x2 xydx .

y x2 1 ,

xdx

1 x2

xdx

ln 1

C y C 1 x

1 x2

y x2

y 0 ,

0 .

y C

1 x2

19.3.2.

x2 y2 y 1 y.

: x2 y2

y 1 x2 y2dy ( y 1)dx .

x2 ( y 1) ,

y2 1 1

dy y 1

y ln

y 1

x2 ( y 1)

x 0

y1 0,

:y2

19.3.3.

. .

y 1.

, y 1

x 0 .

y ln

y 1

C ;

y 1.

(x 2 y) y 1;

y(0) 1.

z x 2 y ,

y '

: z 1

115

2 z

zdz

dx 2ln C z 2ln

z 2

x 2ln C .

z 2

y ln(x 2y 2) ln C y ln C x 2y 2 C x 2y 2 ey

—

: 4C e C e / 4 ey

x 2 y 2 .

: ey

x 2 y 2 .

19.3.4.

dy yx3dx 0 .

y ,

x3dx 0

x3dx ln

ln C y Ce x4 /4 .

y 0 .

0 .

: y Ce x4 /4 .

19.3.5.

xy ' y y2 ;

y(1)

. xy ' y y2 x

y2 y

y y 1

y 1

Cx y

1 Cx

1 / 2 1 / (1 C) C 1 y

: y x 1 1.

1 x

19.4.

19.4.1.

xydx (x 1)dy 0.

19.4.2. (x2 1) y 2xy2

y(0) 1.

y ctg x y 2;

y(0) 1.

y 33

y(2) 0.

19.4.3

19.4.4.

y2 ;

y cos( y x).

y y 2x 3.

19.4.5.

19.4.6.

19.4.7.

4x 2y 1.

19.4.1. y C(x 1)e x

x 1. 19.4.2. y ln

1 1.

19.4.3. y 2 3cos x. 19.4.4. y (x 2)3.

19.4.5. ctg

y x

x C.

19.4.6. 2x y 1 Cex . 19.4.7.

2ln(

2) x C.

4x 2y 1

116

19.5.

M (x, y)dx N(x, y)dy 0,

M (x, y)

N (x, y) —

. (

M (x, y)

n ,

k 0

M (kx,ky) k nM (x, y). )

y tx,

19.5.1.

xdy (x y)dx.

y tx.

dy tdx xdt.

x(xdt tdx) (x tx)dx

xdt dx

; t ln

y x(ln

C).

x 0,

: y x(ln

C); x 0 .

19.5.2.

( y2 2xy)dx x2dy 0.

y tx, dy tdx xdt.

(x2t 2 2x2t)dx x2 (tdx xdt) 0 ;

x2 ,

(t2 2t)dx tdx xdt 0 (t2 t)dx xdt 0.

dx x

19.5.3.

t 1

ln C

ln C.

t2 t

t 1

: x( y x) Cy .

x y

xy y (x y)ln

y tx

: xt t t (1 t)ln(1 t)					x	dt	(1 t)ln(1 t) .
: xt t t (1 t)ln(1 t)					x		(1 t)ln(1 t) .
						dx
	dt			dx	,
	(1 t)ln(1 t)			x	,
	(1 t)ln(1 t)			x
ln ln(1 t) ln x ln C,		ln(1 t) Cx .			,
	x	y	Cx.
	: ln
	: ln
		x

117

a x b y c
y f	1	1	1
	ax by c

		(k; h)	ax by c 0
a1x b1 y c1 0		x x1 k; y y1 h .
,	a1x b1 y m(ax by);		,
y F(ax by)
z ax by, .		.19.2	19.3.3.

19.5.4.

(2x 4y 6)dx

. y 2x 4 y 6 . x y 3

(2x1 4y1 2k 4h 6)dx1 (x1 y1 k h

2k 4h 6 0k h 3 0 ,

(x y 3)dy 0.

3)dy1 0.	: x x1 k,	y y1 h.
3)dy1 0.
ё : k 1,	h 2.

x1 x 1,

y1 y 2.

(2x1 4 y1)dx1

(x1

y1)dy1 0 —

y1 tx1

x1(2 4t)dx1 x1(1 t)(x1dt tdx1) 0

(2 4t)dx1

(1 t)x1dt t(1 t)dx1

(1 t)dt

dx1

3dt

2dt

dx1

3ln

t 2

2ln

t 1

t2 3t 2 x

t 2

t 1 x

Cx1(t 2)3 (t 1)2

Cx1

C( y1 2x1)3 ( y1 x1)2.

C( y 2x)3 ( y x 1)2.

19.5.5.

(2x y 1)dx (4x 2y 3)dy 0.

z 2x y y z 2x dy dz 2dx,

z 1 dx 2z 3 dz 2dx 0 5 z 1 dx 2z 3 dz .

2z 3

5dx

z 1

5x ln C 4x 2y ln

2x y 1

ln C 2x y 1 2y x C(2x y 1) e2 y x .

118

19.6.

19.6.1. (x 2 y)dx xdy 0.

19.6.2. (x y)dx (x y)dy 0.

19.6.3.

2x3 y y(2x2 y2 ). 19.6.4. y2

x2 y xyy . 19.6.5.

(x2 y2 ) y 2xy.

19.6.6.

xy y x tg

19.6.1. x2 C(x y),

x 0.

eC arctg

19.6.2.

x2 y2

Cx.

19.6.3. Cx e

, y 0. 19.6.4. Cy e

. 19.6.5. y2

x2 Cy. 19.6.6. sin

20.

20.1.

y P(x) y Q(x)

y(x)

u(x) v x ,

20.1.1.

y uv y u v uv .
	v	3
u v 2		u v 2x	.

	x

u x2 C.

xy 2 y 2x4.

:y 2 y 2x3.

,: u v uv 2 uv 2x3

	x
v		2	v	0.

	: v

:dv 2dx ln v 2ln x v x2 .

	du	x2 2x3 ,	,
		x2 2x3 ,	,
	dx
: y uv (x2 C)x2.
119

x –

y (2x y

) y ,

: ydx (2x y2 )dy 0.

20.1.1.

20.1.2.

x y2 dy ydx.

x uv u v uv

y , u

u v

v y,

y y, u y C.

: x ( y C) y, y 0.

20.1.3.

y y 1 .

1 2xy y

y y 1 :

1 2xy

y y 1

dy y 1

x y .

x uv x u v uv u v u v

0 .

y y 1

y 1

2dy

2ln

y 1

v 1 / y 1

y 1

u 1

1 / y u 1 1 / y dy y ln

y 1

x uv

x y 1 2 y ln Cy .

y 1 2

y y 1

y 0, y 1,

: x y 1 2 y ln Cy ,

y 0, y 1.

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf