Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 2 часть

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

5.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

	xydl		1		x x2							dx		1						d	x2		x2			t					1	1 t					dt
			1					1 4x2						1		x2			1 4x2
																																			1 4t
																																			1 4t
																															2
L			0			y			dl					0						2											2	0
																														5
			2	1					udu				1		5							1			5	u		3		5			25		5 1
t		u		1		; dt			udu				1	(u2					1)u2du			1		u		u							25		5 1			.
t						; dt								(u2					1)u2du																			.
				4				2					16	1							16 5						3		1			120
														1							16 5						3		1
14.4.2.																	x2 y2 1 (x 0, y 0) ,
						z 0 ,											x2 y2 1 (x 0, y 0) ,
						z 0 ,																z xy .
				.															z 0 ,


			L ,
																			Oz ,
																	L ,		M1M2
		M1															L ,
M 2 –																	z f (x, y) ,
M 2 –																	z f (x, y) ,
													(			. 14.3),
													(			. 14.3),
S f (x, y)dl .																		:


																															. 14.3
	L
																																		.
																																									L
(						x	2	y		2	1)							:					x cost ,								y sin t								t
(						x		y			1)							:					x cost ,								y sin t					0			t	.
																																								2

				dl	xt 2 yt 2		dt	(sin t)2
	/2		1	/2		cos 2t				1

S xydl		cost sin tdt		sin 2tdt				2			.

L	0	2		0	4			0	2

z2dl

14.4.3. ,

L x2 y2

x acost , y asin t , z bt .

dl ( asin t)2 (a cost)2 b2 dt a2 b2 dt .

z2		b2t2	.
x2 y2		a2
	t1 0			t2 2 ,

(cost)2 dt dt .

L —

z2dl

2 b2t2

8 3b2

a2 b2

x2 y2

3a2

(x y)dl

14.4.4.

x2 y2 z2 a2 ,

x y ,

—

y x

2x2 z2 a2 .

a cost ,

z asint .

a cost ,

z asint .

t1 0

a sin t

(a cost)

dt adt .

(x y)dl

cost adt a2

sin t

14.4.5.

xdl ,

L —

(x2 y2 )2 a2 (x2 y2 ) .

r a cos 2 .

dl r2 r 2 d a2

	a	sin 2
cos 2	a	sin 2
cos 2
	cos 2
	cos 2
:

, .

4 4

2		ad
d		ad	.


	cos 2
	cos 2

xdl

cos 2 cos

cos d a

sin

2 .

cos 2

14.4.6.

) y x .

(1,1)

. )

(0,0)

(1,1)
	xydx x2dy			: ) y x ;	) y x2 ;
(0,0)
1		1	2
xydx x2dy x2dx x2dx 2 x2dx			2	.
xydx x2dy x2dx x2dx 2 x2dx			3	.
0		0	3
0		0

(1,1)

)

(0,0)

)

1	1	3
xydx x2dy x3dx x2d (x2 ) 3 x3dx			.
		4
0	0

y ,

			(1,1)			1					1					3
x y2 , dx 2ydy ,			xydx x2dy y3 2 ydy y4dy 3 y4dy													3	.
x y2 , dx 2ydy ,			xydx x2dy y3 2 ydy y4dy 3 y4dy														.
			(0,0)			0					0				5
			(0,0)			0					0
		,		.														,
14.4.7.				.
14.4.7.
(1,1,1)
	ydx (x z)dy yzdz																	z xy
(0,0,0)
y x2 .
		.					.				,			x t ,				y t2
z xy t3 .				t							t1 0			t2 1 .
										:	dx dt ,				dy d (t2 ) 2tdt ,
											(1,1,1)
dz d (t3 ) 3t2dt .												ydx (x z)dy yzdz
											(0,0,0)
1						1						71
t2 dt (t t3 ) 2tdt t5				3t 2dt (3t2			2t4 3t7 )dt					71	.
t2 dt (t t3 ) 2tdt t5				3t 2dt (3t2			2t4 3t7 )dt						.
0 y	dx	x z dy	yz	dz		0					40				x2 y2 2z2 2,
14.4.8.						A yi zj xk									x2 y2 2z2 2,
14.4.8.						A yi zj xk												y x,
																		y x,
														Ox .
		.								:	x y cost ,				z sin t .
		,
		.	,								,			t1 0				t2 2 .
			,											t1 0				t2 2 .
					2
( A, dr ) ydx zdy xdz						cost ( sin t)dt sin t ( sin t)dt cost costdt
L		L				0 y	dx			z		dy			x			dz
							dx					dy
2			2		1			1			2
2			2								2
(1 cost sin t)dt (1						sin 2t)dt t			cos 2t		2 .
(1 cost sin t)dt (1						sin 2t)dt t			cos 2t		2 .
0			0	2			4				0
0			0								0

14.4.9.

(x y)dx (x2

y2 )dy ,

—

(1, 1) ,

(3, 1) ,

M3 (2, 2) .

( .

14.3).

( x2 y2 )

(x y) 2x 1 .

(2x

1)dxdy

dxdy

4 y

dy (2x 1)dx dy x2

(10 y 20)dy 5 .

x y

14.4,

—

M1M2M3 .

(x y)dx (x2 y2 )dy

14.4.10.

(1 xy)exydx x2exydy

. 14.4

U (x, y) ,

P xexy

Q 2xexy x2 yexy .

P (1 xy)exy ,

(1 xy)xexy ;

Q x2exy ,

Q P , . .

( x, y )

U (x, y)

Pdx Qdy ,

(0,0)

(0, 0)

(x, y)

: M1M2

M2M3 ,

M1(0, 0) ,

M2 (x, 0)

M3 (x, y) .

, U (x, y) 2 (1 xy)exy dx x2exydy 3 (1 xy)exydx x2exydy .

M 2

M1M2

y 0

dy 0 ,

(1 xy)exy dx x2exydy dx x .

M2M3

( dx 0 ),

exy

y ,

3 (1 xy)exy dx x2exydy

x2exydy x2

x(exy 1) .

M 2

x МШnsЭ

U (x, y) xexy .

M1 ,

: U (x, y) xexy C ,

C –

14.5.

14.5.1.

)

L –

x y

x 2y 4 0 ,

M1(0, 2)

M2 (4, 0) ;

)

–

x a(t sin t) ,

y a(1 cost) ;

2 ydl ,

)

(x y)dl ,

L –

x2 y2 ax ;

) xyzdl ,

L –

x2 y2 z2 R2 , x2 y2 R2 / 4 ,

14.5.2.

y acost ,

y asin t ,

z bt

(0 t ) ,

14.5.3.

(x 1)3 ,

z 2

xOy

( x 4 ).

(1,1)

14.5.4.

xydx ( y x)dy

(0,0)

) y x ;

)

y x2 ;

) y2 x ;

) y x3 .

14.5.5.

) xdx ydy (x y 1)dz ,

L –

y2dx z2dy x2dz ,

(1, 1, 1)

(2, 3, 4) ; )

–

x2 y2 z2 R2

x2 y2 Rx

( z 0 ).

(1 x2 ) ydx x(1 y2 )dy

14.5.6.

x2 y2

14.5.7.		,								dU
	(x 2 y)dx ydy				U (x, y) ,													,	:
) dU	(x 2 y)dx ydy			;	)		dU (2xcos y y2 sin x)dx (2 y cos x x2 sin y)dy .
) dU				;	)		dU (2xcos y y2 sin x)dx (2 y cos x x2 sin y)dy .
		(x y)2
		. 14.5.1.					)			ln 2 ;	)	4 a		;			) a2 / 2; )	R4
		. 14.5.1.					)	5		ln 2 ;	)	4 a	a	;			) a2 / 2; )	R4	3 / 32 .
14.5.2. (0,		2a / , b / 2) .			14.5.3. 11/ 3.							14.5.4.			)	1 / 3 ; ) 1/ 12 ;		)	17 / 30 ;
) 1/ 20 .		14.5.5.	) 13 ;				) R3 / 4 .				14.5.6. R4 / 2 .
14.5.7. ) ln \| x y \|			y		C ;					) x2 cos y y2 cos x C .
14.5.7. ) ln \| x y \|			x y		C ;					) x2 cos y y2 cos x C .
			x y
												15
15.															.				-
			15.1.
									A(M ) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

									div A		P Q				R		.
											x	y			z
										: div( A B) div A div B ,									.
										: div( A B) div A div B ,										—
,		.										(				,
,		)										(				,			.
		)																	.
15.2.											-							.
											-
									A {P,Q, R},						P , Q R —
											M (x, y, z) .							A
		-																			:
											D ,										:

						( A, n)d div Adv
											D
(		-						).				dv –				,

dxdydz .

, . .

	,			(	15.1).
					.
	:				-
	:

		P	Q		R
Pdydz Qdxdz Rdxdy		x	y		dxdydz	.
	D	x	y		z

. 15.1

15.3.

15.3.1.

A xi yj (2z 4

z )k .

P x ,

Q y ,

R 2z 4

. 15.1

div A

(x)

( y)

R 2z 4

1 1 2

, div A 4

15.3.2.

A {xz, xz, xy}

x2 y2 z 1

z 0 .

div A

(xz)

(xy) z .

: ( A, n)d zdxdydz .

x2 y2 1,

z 0 ,

x2 y2 1

z 0 (

)

z 1 x2 y2 (

1 x2 y2

(1 x

)

( A, n)d zdxdydz

dxdy

zdz

dxdy

x2 y2 1

x r cos

(1 r2 )2

rdr

r sin

15.3.3.								A ( y2			z2 )i	(x2 z2 ) j (x2 y2 )k
							x2 y2 z2 4 ,					z 0 .
	.					,
	.

		.								-
		,					A
					.	,
					.	,
			( A, dr )
			( A, dr )
		1 ,				1
	2	1 ,											. 15.2
	2	( .	15.2).
( A, n)d div Adv 0 .											-
( A, n)d div Adv 0 .															2
2		D													2
		.													2
	k {0, 0, 1},						( A, n)d (A, k )d (x2 y2 )dxdy
							2				2				2 x r cos , y r sin
2	2			r	4		2
2	2				4		2
d r2		rdr 2					8 8 .
d r2		rdr 2					8 8 .
0	0		4				0				A {2x y2 , z2 y, x2 z}
0	0		4				0
15.3.4.
													M1(0,0,0) , M2 ( 2,0,0) ,
M3 (0,4,0)		M4 (0,0,3) .
	.		div A (2x y2 )x							(z2	y)y	(x2 z)z 2 1 1 2 ,
			-									( A, n)d 2VD ,

VD –			.				VD	1	M1M2		M1M3 M1M4			1	2 4 3 4 ,
VD –			.				VD		M1M2		M1M3 M1M4				2 4 3 4 ,
8 .						6							6
8 .								A xzi yj z2k
15.3.5.								A xzi yj z2k
							x2 y2 R2 , 0 z h .
	.	x2 y2 R2 ,				,							:
		x2 y2 R2 ,					z 0			(				1 )
		x2 y2	R2 ,		z h (						2 ),		. 15.3.

																										1												k ,
( A, n) ( A, k ) z2 ,																											1	z 0 ,							,				( A, n) 0
																				1 ( A, n)d 0 .																					2
																								1
																											k ( A, n) z2 ,														2
																											k ( A, n) z2 ,														2
																										z h ,
																										z h ,
																				2		( A, n)d h2dxdy h2												S			h2 R2 .
																				2		( A, n)d h2dxdy h2												S			h2 R2 .
																								2			2
																																							-
																																							-
																																			(				)
																										.		div A z 1 2z 3z 1 ,
																										.		div A z 1 2z 3z 1 ,
																				1 2 div Adv (3z 1)dxdydz
						. 15.3														1 2 div Adv (3z 1)dxdydz
						. 15.3																					D			D
							h
dxdy (3z 1)dz .																															D ,
	1					0																					1	2
																											1	2											,
		h								3
		(3z 1)dz								3		h2 h ,							dxdy S							R2 ,
		(3z 1)dz										h2 h ,							dxdy S							R2 ,
0						2													1
0																			1
				1	R2 (3h2 2h)																	1		R2 (3h2			2h) R2h2					1	R2h(h 2) .
					R2 (3h2 2h)															2				R2 (3h2			2h) R2h2						R2h(h 2) .
			2													1				2		2									2
			2																			2									2
15.3.6.																											A xi yj (2z 4
15.3.6.																											A xi yj (2z 4													z )k
																											,
											2						z 4 .
							4 x2 y2
	z						4 x2 y2
						.																					z 4 ,							15.3.1.
																D											z 4 ,								–
											2 ,
							4 x2 y2
	z						4 x2 y2
z 2															2 4 .
z 2								4 x2 y2							2 4 .																										z .
																D										xOy								Dxy ,
																															.										z 4
																					2 ,							x2 y2 4 .
														4 x2 y2													,												,
									z					4 x2 y2													,												,
Dxy																2 .						2					-														A
																4						2									4
						dxdy													4						dz 4		dxdy z		z		2							2


																																		2		2
								Dxy					2					2					z				Dxy							4 x	y

																4 x2 y2

								2		2												2							2
4 2 2					4 x				y			2	2			4 x								y							dxdy .
4 2 2					4 x				y				2			4 x								y							dxdy .
Dxy																																				2
																							2													2								2
						2			2		4 2															2
		: 4 d									4 2						4 r															4	r				rdr					t r
						0			0
4																				4																		4
4 3		4 t 4 t dt 8 4 t 3/2																		0	16 t									04			2 t 2					0 64 64 32 32 .
4 3		4 t 4 t dt 8 4 t 3/2																			16 t									04
0
0
				15.4.
15.4.1.			div A,						:			)	A xi						yj									zk ;					)			A r {x, y, z}.
																		x2 y2
15.4.2.									13.3.1,					13.3.3,								13.3.4,										13.3.5
.
15.4.3.																										A x									i y							j z						k
15.4.3.																										A x								y	i y						z	j z				x		k
															,																																	y		,
															,																																	y	x	,
x 1, y 0 , z 1							z 0 .
15.4.4.																									A xi yj zk
z 2	z 0 .								,																															x2 y2 1 2z2 ,
z 2	z 0 .
. 15.4.1. )									2x2					;	) 3 .								15.4.3.									167				. 15.4.4. 22 .
							x2 y2 3/2
							x2 y2 3/2																									126
																											16
	16.																												.
									16.1.
													A																															,
																																								i			j		k
																																								i			j		k
																																	rot A														.
																																	rot A						x				y		z		.
																																							x				y		z
																																								P			Q		R

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf