ТЕМА 3. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля.
3.1Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
3.1.1. Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
2 |
x2 |
4 |
? |
|
|
dx |
f x, y dy dy f x, y dx |
||||
0 |
0 |
0 |
|
y |
|
1)0;
2)x ;
3)y ;
#4) 2;
5)4
3.1.2.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
4 |
y2 |
16 |
4 |
dy |
f x, y dx dx f x, y dy |
||
0 |
0 |
0 |
? |
|
|
1) 0; |
|
#2) 
x ;
3)2;
4)y ;
5)4
3.1.3.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
1 |
|
x |
1 |
y |
dx |
f x, y dy dy f x, y dx |
|||
0 |
x |
0 |
? |
|
1)0;
2)x ;
#3) y2 ;
4)2;
5)4
3.1.4.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
|
|
y |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
? |
|
3 |
|||||
dy |
|
f x, y dx dx f x, y dy |
|||
0 |
0 |
0 |
3x2 |
||
1)0;
2)x ;
3)y2 ;
#4) 3;
1
5)6
3.1.5.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
|
1 |
x |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
2 2 y |
|
|
dx |
f x, y dy dy |
|
f x, y dx |
||
0 |
0 |
0 |
? |
|
|
1) 1; #2) 0;
3)y ;
4)x ;
5)2 y
3.1.6.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
? |
3 y |
|||
dx |
f x, y dy dy f x, y dx |
||||
0 |
x3 |
0 |
|
y |
|
1) 2 ; #2) 1;
3)x ;
4)y ;
5)3
3.1.7.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
e |
ln x |
? |
e |
dx |
f x, y dy dy f x, y dx |
||
1 |
0 |
0 |
ey |
1)2 ;
2)ln 2 ; #3) 1;
4)e ;
5)e2
3.1.8.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
|
|
|
|
|
2 |
sin x |
? |
2 |
|
dx |
|
f x, y dy dy |
|
f x, y dx |
0 |
0 |
0 |
arcsin y |
|
#1) 1;
2)2 ;
3)2;
4);
5)2
3.1.9.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
2
|
|
|
|
1 |
4 |
? |
tg x |
dy |
|
f x, y dx dx f x, y dy |
|
0 |
arctg y |
0 |
0 |
1) 1; #2) 4 ;
3)1;
4)2 ;
5)2
3.1.10.Указать предел интегрирования в равенствах для повторных интегралов в декартовой системе координат
|
? |
1 |
y |
|
|
2 |
2 |
|
|||
dx |
f x, y dy dy |
|
f x, y dx |
||
0 |
2 |
x |
0 |
arcsin y |
|
|
|
|
|
|
|
1) 2x ; #2) sin x ;
3)4 ;
4)x ;
5)2
3.2Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
3.2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y sin x , y 0 , x 0 , x
1)1;
2)1,5 ;
3)2 ; #4) 2;
3.2.2.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y 
x , y x
1) 121 ; #2) 16 ;
3
3)1;
4)1,5 ;
5)1,75
3.2.3.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y 
x , y x2
1)121 ;
2)16 ; #3) 13 ;
4)1;
5)1,25
3.2.4.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y x2 , y (x 2)2 , y 0
1)121 ;
2)16 ;
#3) 23 ;
4)1;
5)1,5
3.2.5.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y tg x , x 4 , y 0 #1) 12 ln 2 ;
2)12 ;
3)1;
4)e ;
3.2.6.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y x , y x 2 , x 0 1) 12 ;
4
#2) 1;
3)1,5 ;
4)1,75;
5)2
3.2.7.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y x , y x 2 , y 0
1) 12 ; #2) 1;
3)1,5 ;
4)1,75;
5)2
3.2.8.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y 
x , y x3
#1) 125 ;
2)12 ;
3)1;
4)1,5 ;
5)2
3.2.9.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла
y ex , x 0 , x 1, y 1 #1) e 2 ;
2)1;
3)1,5 ;
4)2;
5)e
3.2.10.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в
декартовой системе координат, с помощью двойного интеграла y x 1; y x 1; y 0
1) 12 ; #2) 1;
3)1,5 ;
4)2;
5)2,5
5
3.3Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
3.3.1. Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
x2 y2 R2 , x 0 , y 0
1)4 ;
2)1;
#3) R2 ; 4
4)R2 ; 2
3.3.2.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
9 x2 y2 25
1)1;
2)2 ;
3)2 2 ;
4)3 2 ; #5) 16
3.3.3.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
1 x2 y2 4 , 0 y x
1)1;
2)8 ;
3)4 ; #4) 83 ;
3.3.4.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
x2 2x y2 0, x2 4x y2 0
1)1;
2)8 ;
6
3)4 ;
4);
#5) 3 3.3.5. Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в
полярной системе координат, с помощью двойного интеграла x2 2x y2 0, x2 6x y2 0 , y 0
1)1;
2)4 ;
3);
4)3 ; #5) 4
3.3.6.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
|
x |
|
|
|
|
|
1 x2 y2 9 , |
|
y 3x |
||||
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
1)1;
2)4 ; #3) 23 ;
4);
5)3
3.3.7.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
|
x |
|
|
|
|
|
x2 2x y2 0, x2 4x y2 0, |
|
y 3x |
||||
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
1)1;
2)4 ; #3) 2 ;
4)23 ;
3.3.8.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
(x2 y2 )2 2a2 (x2 y2 ) , a 0
1)1;
2)12 a2 ;
7
3) a2 ; #4) 2a2 ;
5)a2
3.3.9.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
(x2 y2 )2 2a2 xy
1)1;
2)12 a2 ;
#3) a2 ;
4)2a2 ;
5)a2
3.3.10.Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми в полярной системе координат, с помощью двойного интеграла
x2 y2 1, y x , y 
3x , x, y 0 1) 1;
#2) 24 ;
3) 12 ;
4)3 ;
5)2
3.4.Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями
вдекартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
3.4.1. Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями в декартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
x 0 , z 0 , y 1, y 3, x 2z 3 1) 1;
2) 32 ;
3) 2;
#4) 92 ; 5) 5
3.4.2. z xy , y x , x 1, z 0 #1) 18 ;
8
2)14 ;
3)12 ;
4)1;
5)2
3.4.3.Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями в декартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
z y2 , x y 1, x 0 , y 0 , z 0 #1) 121 ;
2)14 ;
3)12 ;
4)1;
5)2
3.4.4.Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями в декартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
y x2 , x y2 , z xy , z 0 #1) 121
2)18 ;
3)14 ;
4)12 ;
5)1
3.4.5.Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями в декартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
x 0 , y 0 , z 0 , x y z a
#1) a3 ; 6
2)a3 ; 3
3)a3 ; 2
4)a3 ;
5)2a3
9
3.4.6. Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями в декартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
y x , y 2x , x 1, z 0 , z x2 y2
1)12 ;
2)23 ; #3) 56 ;
4)1;
5)43
3.4.7.Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями в декартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
0 x a , y x , z y , y 0 , z 0
#1) a3 ; 6
2)a3 ; 3
3)a3 ; 2
4)a3 ;
5)3a3
2
3.4.8.Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями
вдекартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
xy 2, y x , y 0 , z y , z 0
#1) 13 ;
2)12 ;
3)56 ;
4)1;
5)76
3.4.9.Вычислить объем области, ограниченной заданными поверхностями в декартовой системе координат, с помощью тройного интеграла
y x , y 0 , z 0 , x z 1
10