Добавил:

Morze Developerrnrn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Курсовая 2 часть

.pdf

Скачиваний:

182

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

2 y y2 dx y2

2xy dy

x R cos , dx Rsin d ,

y Rsin , dy R cos d , 0,2

2Rsin R2 sin2 Rsin d R2 sin2 2R2 cos sin Rcos d

R3 sin3 R3 sin2 cos 2R3 cos2 sin

2R2 sin2

sin

d R

d cos

1 cos 2 d R

1 cos

1 sin 2

2 R3 cos cos

2 R2 2 2 R2.

б) По формуле Грина:

P x, y dx Q x, y dy

dxdy,

2 y y2 dx y2

2xy dy 2 y 2 2 y dxdy 2

dxdy

x2 y2 R2

2 Sкруга

2 R2

2 d d 2 2

2 R2.

радиуса R

8. Вычислите поток векторного поля F xy3i y2 j zk через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями x2 z2 2z , y 1 и y 1. 2

9. Найдите циркуляцию векторного поля F (z2 y2 )i (x2 z2 ) j ( y2 x2 )k по контуру, образованному пересечением поверхностей x2 y2 4x и x y z 0 . 0

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a z yzi xzj 2xyk .

diva 2xy , rota 0 ; поле потенциальное со скалярным потенциалом U xyz2 C .

																				Вариант 16
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
		f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : y 0, x

																																			y , y	6 x2 .
		D

			x2										6 x2								6 x2
2			x2							6			6 x2							2	6 x2
dx f (x, y)dy dx																	f (x, y)dy dy							f (x, y)dx
0		0									2		0							0		y

2. Найти массу неоднородной пластины D : y																											x, y x, если поверхностная
плотность в каждой ее точке																		x, y 2 x y.								5160			1160		m x, y dxdy
																																	D
																																	D
3. Найти статический момент однородной пластины D :																													x2 y2 2y 0, x2 y2								y 0,
x 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.																																2
																4 4,										4						2
																														2a cos
M x sin d d																a cos 2a cos										sind					d
			D																											a cos
																										4
																										4
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
														0,0,27
z 9 x2 y2 ,								z 36.						0,0,27
Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc																																		yc 0,		а
			z x, y, z dxdydz
z			V												.
z				x, y, z dxdydz											.
	c			x, y, z dxdydz
	c
			V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам:																														x cos ,				y sin ,			z z,
имеем:
																		2	4	36					1			4
zdxdydz z d d dy d																				d	zdz				1	2		1296 81 2 d
zdxdydz z d d dy d																				d	zdz				2	2		1296 81 2 d
V							V											0	0	9					2			0
V							V											0	0	9								0
						2				4								10368		5184 5184
						2				4			4
1296								81					0
1296					2			81		4
					2					4
																	2	4		36			4
dxdydz								d d dy d d dz 2 36 9																						d
V						V									0			0		9			0

				2					3			4	2 288 192 192
2 36						9						0
2 36					2	9			3
					2				3

												2		4			8							2				2		3	2			4
dxdydz d d dy d														d dz 2 8														2			d 8 2 d
dxdydz d d dy d														d dz 2 8								2							3		d 8 2 d
V					V							0		0			2					2							3		0			0
						2 3			4			4						128						64					128
						2 3			4			4						128						64					128
2 4		2							0			2				64			2													.
2 4		2					3					2				64		3	2					3						3		.
							3					0						3						3						3
												0
Следовательно,								yc	zdxdydz / dxdydz											5184			27. и центр масс C 0,0,27 .
Следовательно,								yc	zdxdydz / dxdydz														27. и центр масс C 0,0,27 .
											V			V						192
											V			V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																																	Oy , занимающего
область		V :			2y x2						z2 , y 2.			16
																	3
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z 8 y2 ,																																	z 0,			x2 y2 4.	28
V : z 8 y2 ; z 0; x2 y2 4
												2		2
V 8 2 sin2 d d d														8 2 sin2 d
	D											0		0
2	16 4sin2 d 28
	16 4sin2 d 28
0
7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
																			2							2
xy x y dx xy x y dy , где L эллипс																					x				y			1.							0
xy x y dx xy x y dy , где L эллипс																					2				2			1.							0
L																					a				b
L
Решение:
а) Непосредственно:
2 y y2 dx y2									2xy dy				x R cos , dx Rsin d ,
2 y y2 dx y2									2xy dy				x R cos , dx Rsin d ,
L													y Rsin , dy R cos d , 0,2
2	2Rsin R2 sin2 Rsin d R2 sin2 2R2 cos sin Rcos d
	2Rsin R2 sin2 Rsin d R2 sin2 2R2 cos sin Rcos d
0
2
	2R2 sin2 R3 sin3											R3 sin2 cos 2R3 cos2 sin d
																0							0
0																0							0
2				sin			R				sin	d R					2											2							d cos
	2R			sin			R				sin	d R					1 cos 2 d R											1 cos							d cos
			2			2				3	3				2												3						2
0																	0											0

	1		2

R2		sin 2

	2		0
		0

б) По формуле Грина:

					2
	3			cos3	2		2	2
R		cos			0	R		2 2 R	.
R		cos		3		R		2 2 R	.
				3
			0

		Q	P
P x, y dx Q x, y dy		Q	P	dxdy,
L	D	x	y

2 y y2 dx y2 2xy dy 2 y 2 2 y dxdy 2						dxdy
L	D		x2 y2 R2
	2	R		R	2
2 Sкруга	2 R2 2 R2 2 d d 2 2			R		2 R2.
2 Sкруга	2 R2 2 R2 2 d d 2 2			2		2 R2.
радиуса R	0	0		2
	0	0

8. Вычислите поток векторного поля F (x y2 )i xzj k через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями x2 y2 4x , z 0 и z 1. 4

9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)

	3x3 2 y3 z	dx	3y3 x2 y z2 x		dy	xyz dz , где C линия пересечения
C
сферической поверхности				x2 y2 z2 12			с параболоидом z x2 y2 . Линия

проходится по часовой стрелке, если смотреть от начала координат Oz .

Отв: 13,5 .

Решение:

а). Непосредственно:

	x2		z2		x 4cost		dx 4sin t
				1		2cost 3sin t
				1
C :	16		25		y		dy 2sin t 3cos t dt
		10 y 6z 0				5sin t, t 0;2
	5x	10 y 6z 0			z	5sin t, t 0;2	dz 5cos tdt
I x2 3z dx 5 y 3 dy z 7x dz
	C
16cos2 t 15sin t 4sin t dt 10cost 15sin t 3 2sin t 3cos t dt
C
						2
5sin t 28cost 5cost dt = 60sin2 t 30sin2 t 30cos2 t 140cos2 t dt
C	30 15 15 70 200 .					0
2	30 15 15 70 200 .

б). По формуле Стокса:

cos

3 cos 10cos .

x2 3z

5y 3

z 7x

dxdz 10 ab 4 5 10 200 .

ПрXOZ

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a yz2 yzi 2xzj 3xyk . diva 2xz z2 3y2 , rota 0 ; поле потенциальное со скалярным потенциалом

U xy2 z3 C .

																				Вариант 17
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : y x, y2																																								x 2 .
	D
																						y
1				x 2							2					x					1	y
dx					f (x, y)dy dx													f (x, y)dy dy				f (x, y)dx
2											1										2	y2 2
2		x 2									1		x 2								2	y2 2
2. Найти массу неоднородной пластины D : y x2																											1,		y 1, если поверхностная
плотность в каждой ее точке x, y 3x2 2y2 1.																																								m x, y dxdy
плотность в каждой ее точке x, y 3x2 2y2 1.																												264						2 35						m x, y dxdy
																																									D
3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2																																						2y 0, x2 y2				y 0,
x 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.																																							2
																4 4,										4							2a cos						2


M x sin d d																a cos 2a cos											sind										d
				D												a cos 2a cos
				D																													a cos
																										4
																										4
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
z 3 x2					y2		, x2			y2		9,					z 0. 0,0,9
Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc																																									yc 0, а
			z x, y, z dxdydz
z			V												.
z			x, y, z dxdydz												.
c			x, y, z dxdydz
c
				V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x cos ,																																									y sin ,	z z,
имеем:
																		2	4		8				1	2		4
zdxdydz z d d dy d																				d zdz					1	d 64 4 2 d
zdxdydz z d d dy d																				d zdz					2	d 64 4 2 d
V								V									0		0		2					0		0

	1						2				4		4			512 256 256
		2				64			4				0
	2	2				64	2		4		4
	2						2				4
																	2		4	8								2			2 3				2					4
dxdydz d d dy d																			d dz 2							8										d 8 2 d
dxdydz d d dy d																			d dz 2							8	2					3				d 8 2 d
V							V										0		0	2							2					3			0					0
											4					4
						2		2 3			4					4					128							64				128
2 4											0			2						64			2														.
2 4							3							2						64	3		2					3						3			.
							3									0					3							3						3
																0
Следовательно, yc											zdxdydz / dxdydz													256 3						768					12				6 и центр масс
Следовательно, yc											zdxdydz / dxdydz																												6 и центр масс
											V								V					128						128							2
											V								V
C 0,0,6 .

5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси					Ox , занимающего
область V : x2 y2 z2 , x 2. 16
	5
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 y,			z2	4 y, x 0,

	x y 4.	16 2
	x y 4.
	3
						xdy ydx
7.	Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:							, где
7.	Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:					x2 y2		, где
					L
L контур прямоугольника 0 x 2, 1 y 5 .			0
8.	Вычислите поток векторного поля F xzi (x z) j xyk			через внешнюю сторону
границы области, ограниченной поверхностями x2 y2 z 7					и z 3.		104

							3
							3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке СИДЗ

#
16.01.202316.72 Mб182Курсовая 2 часть.pdf
#
16.01.2023950.34 Кб171Сидз 2.pdf