Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Курсовая 2 часть

.pdf

Скачиваний:

160

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

2x y2				z2 , y2				z2 4,					x 0.				2		,0,0
																	3
																							1	2											1			2
														2			2									2		2							1			2		2		2
														2			2						2			2		2					1			2			1	2		2	1
xdxdydz x d d dy d d																								xdx			d d						1	x2		2			1	d d (			1	4 )
xdxdydz x d d dy d d																								xdx			d d						2	x2					2	d d (			4	4 )
V			2			V					2			0			0						0				0	0								0				0		0
V						V								0			0						0				0	0								0				0		0
		1		2					1				1		2			1	1							8
				2											2
			d		5d						d (			6 )							64 2						.
			d		5d						d (			6 )							64 2						.
8			0	0				8			0		6		0		8		6					3
			0	0							0				0						1	2
																					1
														2		2								2			2										2		2
														2		2					2			2			2				1				1		2		2
dxdydz d d dy d																d							dx d					d (			1	2 )			1		d 3d
dxdydz d d dy d																d							dx d					d (				2 )			2		d 3d
V						V								0		0					0			0			0	2							2		0		0
	1		2		1		2			1
			2				2
			d (			4 )						4 2 4 .
			d (			4 )						4 2 4 .
2			0		4		0	2
			0				0				xdxdydz / dxdydz														8				2	. и центр масс C 2												,0,0 .
Следовательно,								xc																	8				2
Следовательно,								xc																	3 4																3
												V						V							3 4			3													3
												V						V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																																					Oz , занимающего
область				V : z2 x2 y2 ,										z 3.		243					10
																					10
Строим данное тело.
																				z

Перейдём к цилиндрическим координатам.

x cos			y sin					z z
Конус запишется в виде: z
						2		3		3	2	3				2	3
Iz 3d d dz d								3d dz d 3d (3 ) d (3 3 4 )d
						0		0			0	0				0	0
2	3			1		3	3		1				243	243			243		243
2						3
d (		4			5 )	(		34		35 ) 2 (					) 2			2		24,3
d (		4			5 )	(		34		35 ) 2 (					) 2			2		24,3
0	4		5			0	4	5					4	5			20	10
0						0										z 1 x2 ,		z 1 y2 ,		z 0 . 2
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:																z 1 x2 ,		z 1 y2 ,		z 0 . 2

V : z 1 x2 ; z 1 y2 ; z 0;

V 8 dx 1 x2 dy 2

1 z

V 4

1 zdz

dy 2

7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

xy x y dx xy x y dy , где L окружность x2 y2 R2 .

Решение:

а) Непосредственно:

xy x y dx xy x y dy

x R cos , dx Rsin d ,

y Rsin , dy R cos d , 0,2

R2 cos sin Rcos Rsin Rsin d

R2 cos sin Rcos Rsin Rcos d

R3 cos sin2 R2 cos sin R2 sin2 d

R3 cos2

sin R2 cos2 R2 sin cos d

sin 2 2 0.

R2 sin2 R2 cos2 d R2 cos 2 d R

б) По формуле Грина:

xy x y dx xy

x y dy

P x, y dx Q x, y dy

dxdy,

xy x y dx xy x y dy					y 1 x 1 dxdy		y x dxdy
L					D	x2 y2 R2
	x cos , dx sin d ,			2	R		2		R
	x cos , dx sin d ,

	y sin , dy cos d ,			d sin cos d				sin cos	d 2d
	0;2 , 0; R			0	0		0		0
				0	0		0		0
	R3	cos sin	2 0.



	3		0

8. Вычислите поток векторного поля F y3i ( y x) j z2k через внешнюю

сторону границы области, ограниченной поверхностями z x2 y2

Решение:
1.По формуле Гаусса:
divF			P	Q		R	3y2.
			x	y		z

						2		1		4 x2			2			y3			y 1


П 3y2dxdydz dx 3y2dy											dz			3					y 0						4 x2 dx
П 3y2dxdydz dx 3y2dy											dz			3		3									4 x2 dx
		V				2		0		0		2				3
2						x 2sin t, x 2 t							,
2
												2								2
		4 x2 dx										2					2			2		cost 2costdt
2						dx 2costdt, x 2 t
															2						2
	2 1 cos 2t							1			2
	2 1 cos 2t							1			2
4					dt 2 t				sin 2t			2 .
4			2		dt 2 t			2	sin 2t			2 .
			2					2	0
	2											2
2.Непосредственно:

																	4 x				2						x
												x					4 x										x
а) Цилиндрическая поверхность:											n			,0,									;	N
													2					2
																											x2
																										4	x2

и z 4 . 152 3

,0,1 ;

F, n zx x4 x2

б) По z 0; n k,

			1		1	2	1		2
			1	x 4 x2 .	П1 dy dx		1	x 4 x2	2			0.
			2
z	4 x	2					2
		2								4 x	2
					0	2				4 x

F , n x; П2 dy xdx 0.

в) По y 0; n j, F,n y3			y	0; П3 0.
			y	0

г) По	y 1; n j, F,n y3		0; П4		S1	1	4 2 .
г) По	y 1; n j, F,n y3	y 1	0; П4		S1	2	4 2 .
		y 1				2

П П1 П2 П3 П4 2 .

9. Найдите циркуляцию векторного поля F yi y2 j (z x)k по контуру, заданному

x cos t,
параметрически: y cos t,

z sin t.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно

его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
a 2x x y z i y2 j z2k . rota 2	x2 z2	j x2 y2 k	, diva 0 ; поле
соленоидальное с векторным потенциалом A	x2 z2 j	y2k gradФ .

									Вариант 14
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0,																									y 1, y 3, y = x.
D
1	3			0	3		3			0
dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy dy										f (x, y)dx
3	x			1	1		1		y
2. Найти массу неоднородной пластины D : x 0,															y 0, x y 1, если поверхностная
плотность в каждой ее точке x, y 2x2 y2.														1 4					m x, y dxdy
																				D
3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2																							2x 0,							x2 y2 x 0,
y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.																							7
y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.																							16
						4 4,							4										16
						4 4,							4												2
																			2a cos
																			2a cos
M y	cos d d					a cos 2a cos							cosd									d
	D					a cos 2a cos								4
	D																		a cos
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
									0,	3	,0
4 y x2		z2 , x2 z2 16, y 0.							0,	3	,0
										8
Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc																												zc		0,
y z 0; x y 0 , а								y x, y, z dxdydz
						y		V									.
						y		x, y, z dxdydz									.
c	c	c		c		c		x, y, z dxdydz
c	c	c		c		c
								V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x cos ,																												y sin ,						y y,
имеем:
						2			4										4														4
						2			4		4			1					4		1				2						1		4		4
ydxdydz y d d dy d d ydy																2										d									0	4
ydxdydz y d d dy d d ydy														2		2										d										4
V			V				0		0		0			2					0	16										16 4
V			V			2	0		0		0								0	16
							4						4
							4			4			4											3			4		32
dxdydz d d dy d d										dy 2									d								0				.
dxdydz d d dy d d										dy 2									d										3		.
V		V				0	0			0			0			4					2 3								3
V		V				0	0			0			0			4
Следовательно,				yc	ydxdydz / dxdydz							4 3						3	и центр масс C 0,											3		,0 .
Следовательно,				yc	ydxdydz / dxdydz														и центр масс C 0,											3	8	,0 .
					V			V				32				8															8
					V			V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																									Oz , занимающего
область		V : z x2			y2 ,	z 3.		9	2
									2
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																									Oz , занимающего
область		V : z2 x2 y2 ,				z 3.		243		10
										10
Строим данное тело.

																											y
														x
Перейдём к цилиндрическим координатам.
Iz x, y, z x2											y2			dxdydz x2 y2 dxdydz.
	V																			V
x cos					y sin											z z
Конус запишется в виде: z
											2										2
											2					3		3			2				3												3
Iz 3d d dz d																3d dz					d				3d (3 2 ) 2												(3 3		5 )d
										0						0		2			0				0												0

2 (		3	4		1		6 )			3		(		3		9	1	27) 2 (						27				27		) 2 (				243			729	) 2
										3


4					6				0					4		6					4						6							4			6
									0
	81 54			2				54					9		.
				2											.
12							12			2
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2 25,																																							3 z 4 . 12	2
																																							3 z 4 . 12	3
																																								3
V : x2 y2 z2					25; z 3; z 4

2				3			4			2				4			25 z2
V 4 d				d dz 4 d d																dz
0				0			3			0				3				3

				4																									3				4
				4		25 2 3 d 9																							3
9 2																						1	25		2 2						3					2
																			2			1									3	2		12		2
																			2													2		12
				3																	3						2						3		3
7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:																																				x y dx x y dy ,
																																				L
где L контур треугольника ABC : A 1;1 ,																										B 2;2 , C 1;3 .													2

8. Вычислите поток векторного поля F xzi yzj (z2 1)k		через внешнюю сторону

границы области, ограниченной поверхностями z	x2 y2	, x2 y2 1, и z 2

( x2 y2 1). 7

Решение:

По формуле Гаусса:

divF	P		Q		R	z z 2z 4z.
	x		y		z
								2					2	1
													2	1
П 4zdxdydz 2 dxdy z2													2 d d 4 2
П 4zdxdydz 2 dxdy z2									x	2	y	2	2 d d 4 2
V					S				x		y	0		0

		2	4	1			1
4 2					4 2			7 .
4 2					4 2			7 .
			4	0			4

Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)

5x 3

y2 3z

z 7 y dz , где C линия пересечения эллиптического

цилиндра

1 с плоскостью 10x 5 y 6z 0. Ответ: 200 .

Решение:

а). Непосредственно:

x 2cost 3sin t

dx 2sin t 3cost

4cost

C :

dy 4sin tdt

z 5sin t, t 0;2

dz 5costdt

10x 5y 6z 0

I 5x 3 dx y2 3z dy z 7 y dz

C
10cost 15sin t 3 2sin t 3cost dt 16cos2 t 15sin t 4sin t dt
C
	2	30sin2 t 30cos2 t 60sin2 t 140cos2 t dt
5sin t 28cost 5cost dt =		30sin2 t 30cos2 t 60sin2 t 140cos2 t dt
C	0
2	15 15 30 70 200 .

б). По формуле Стокса:

cos

10cos .

5x 3

y2 3z

z 7 y

dxdz 10 ab 10 4 5 200 .

ПрYOZ

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a y2 yj 3zk . rota 6 yz i , diva 0 ; поле соленоидальное с векторным потенциалом

A xy2 3zj yk gradФ .

Вариант 15

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : y = 0, y x, y = 2 x2 .

	D
1		0	0	0	0		y
dx			f (x, y)dy dx f (x, y)dy dy				f (x, y)dx
			1		1
2		2 x2	1	x	1	2 y2
2. Найти массу неоднородной пластины D : x 0,									y2 1 x, если поверхностная
плотность в каждой ее точке					x, y 2 x y.				32	m x, y dxdy
									15	D
										D
3. Найти статический момент однородной пластины D :										x2 y2		2y 0,		x2 y2 y 0,
x 0, относительно оси Ox ,					используя полярные координаты.							7
				4 4,				4				2	16
				4 4,				4				2
										2a cos
										2a cos
M x sin d d				a cos 2a cos					sin d		d
		D		a cos 2a cos						a cos
									4
									4

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
8x y2			z2 ,					x 2.			4		3	,0,0
													3
Данное тело симметрично относительно оси Ox , поэтому yc zc																									0, а
	x x, y, z dxdydz
x	V
x	x, y, z dxdydz
c	x, y, z dxdydz
c
		V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x x, z sin ,																										y cos ,
имеем:
															2			6 2					2
															2	3		6 2				1	2	3
xdxdydz x d d dy d d																			xdx			1	d 36 4d
xdxdydz x d d dy d d																			xdx		2		d 36 4d
V								V							0	0		0			2		0	0
V								V							0	0		0					0	0
	2					6
	2					6			3
18								0			d 3 27 2 162 .
18					6						d 3 27 2 162 .
	0				6
															2			6 2		2
															2	3		6 2		2			3
dxdydz d d dy d																d dx 6 d 6 2d
V								V							0	0		0	0				0
2				4
2				4					3				3
6							0			d					2 9 27 .
6					4					d			2		2 9 27 .
	0				4								2
Следовательно,									xc xdxdydz / dxdydz											162			6.	и центр масс C 6,0,0 .
Следовательно,									xc xdxdydz / dxdydz											27			6.	и центр масс C 6,0,0 .
											V						V			27
											V						V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																									Oy , занимающего
область						V :		y2 x2			z2 ,				x2 z2	4,		y 0.	64		5
																					5
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z 4xy, z 0, y 2,																										x y 4.	40
																										x y 4.	3
															x y 4 y 2												3
V : z 4xy;								z 0;			y 2;				x y 4 y 2
2			4 x						2			4 x			2						40
2			4 x						2			4 x			2
V dx 4xydy 2 xy2															2 x 4 x 2 22				dx
V dx 4xydy 2 xy2															2 x 4 x 2 22				dx
0			2						0				2								3
0			2						0				2		0
7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
1 x2 ydx x 1 y2 dy , где L окружность x2																							y2 R2 .		R4
1 x2 ydx x 1 y2 dy , где L окружность x2																							y2 R2 .		2
L																									2
L

Решение:

а) Непосредственно:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке СИДЗ

#
16.01.202316.72 Mб160Курсовая 2 часть.pdf
#
16.01.2023950.34 Кб148Сидз 2.pdf