Райцин / СИДЗ / Курсовая 2 часть

D

3 y

0

3

3

3 2 x

3

2

dx

f (x, y)dy dx

f (x, y)dy

dy

f (x, y)dx

3

x

0

x

3

y

2. Найти массу неоднородной пластины D : x 0,

x 2 y 2 0,

x y 1, если

поверхностная плотность в каждой ее точке x, y x2.

32 3

m x, y dxdy

D

3. Найти статический момент однородной пластины D :

x2 y2

2y 0, y x 0,

x y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

1

3 8

6

4

4,

4

2a cos

2

M x sin d d

a cos 2a cos

sin d

d

D

a cos

4

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

2z x2 y2 ,

z 3.

0,0,2

Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc

yc 0, а

z x, y, z dxdydz

z

V

.

x, y, z dxdydz

c

V

Переходя к цилиндрическим координатам по формулам:

x cos ,

y sin ,

z z,

имеем:

2

4

8

1

2

4

64 4 2 d

zdxdydz z d d dy d d zdz

d

2

V

V

0

0

2

0

0

1

2

4

512 256 256

4

2

64

4

2

2

4

0

2

4

8

2

2

3 2

4

dxdydz d d dy d d

dz 2

8

d 8 2 d

2

3

V

V

0

0

2

0

0

2

2 3

4

4

128

64

128

2

4

0

2

64

2

.

3

3

3

3

0

Следовательно,

yc

zdxdydz / dxdydz

256 3

768

12

6

и центр масс

128

128

2

V

V

область

V : x 2

y2 z2 ,

x 2.

5

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 x2 y2 ,

2 z2

x2 y2 1.

4

1

1

3

2

z2 x2 y2 ;

2z2 x2 y2 1

1

1

2 1

1

2

2

1

3

3

4

1

V 8 d d

2

1 2

dz 4

1

0

0

3 2

3

0

3

2

L

где L : контур ABC,

A 0,0 , B 1,0 , C 1,1 .

4

3

По формуле Гаусса:

divF

P

Q R

2x 2 y 2z.

x

y

z

П divFdxdydz 2x 2 y 2z dxdydz

V

V

2

4 2

2

2

2

d

d

2 cos 2 sin 2z dz d d 4 2 2

0

0

0

0

2

4

2

8

4 4 .

2

4

2

2

4

0

x2

y2

z2 25

x 3cost

dx 3sin tdt

C :

3sin t

y2

9 z 0

y

dy 3costdt

x2

4, t 0;2

z

dz 0

2

I 2yzdx xzdy x2dz 2 12sin t 3sin t 12cost 3cost 9cos2 t 0 dt

C

0

2

2

2

2

72

36

2

72sin

t 36cos

t dt

dt 18t

36 .

I

36 .

0

0

2

2

0

cos

cos

cos

C

x cos 2x 2 y cos z 2z cos .

x

y

z

2 yz

xz

x2

Т.к.

линия пересечения лежит в плоскости z 4 cos cos 0 ,

I

4 dxdy 4Sпр. 36 .

Пр. XOY

rota k ,

diva 0 ; поле соленоидальное с векторным потенциалом

A

x2

k gradФ .

2

f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0,

y 1,

y 1,

D

1

1

2

log 1

x

1

2

y

2

y log 1

x .

2 dx f (x, y)dy

dx

f (x, y)dy dy

f (x, y)dx

2

0

1

1

1

1

0

2

2. Найти массу неоднородной пластины D : x 0,

y 0,

x 2 y 1, если поверхностная

плотность в каждой ее точке

x, y 2 x2

y2 .

43

96

m

x, y dxdy

D

3. Найти статический момент однородной пластины D :

x2 y2 2x 0,

x y 0,

y x 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4 4,

4

2

2a cos

M y

cos d d

a cos 2a cos

cos d

d

4

D

a cos

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

z 4. 0,0,3

z

x2 y2 ,

Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc

yc 0, а

z x, y, z dxdydz

z

V

.

c

x, y, z dxdydz

V

Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x cos ,

y sin ,

z z,

имеем:

2

4

8

1

2

4

zdxdydz z d d dy d d

zdz

d 64 4 2 d

2

V

V

0

0

2

0

0

1

2

4

512

256

4

2

64

4

0

256

2

2

4

2

4

8

2

2 3 2

4

dxdydz d d dy d d dz 2

8

d 8 2 d

2

3

V

V

0

0

2

0

0

2

2 3

4

4

128

64

128

2

4

0

2

64

2

.

3

3

3

3

0

Следовательно, yc zdxdydz / dxdydz

256 3

768

12

6 и центр масс

V

V

128

128

2

C 0,0,6 .

5.

Найти момент инерции однородного тела относительно оси

Oy , занимающего

область

V : y 3 x2 z2 ,

y 3.

2

6.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 2,

z 0, y x, y 2x,

x 0,

y 0. 1

7.

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

x2 y2 dx 2xydy , где

L

L контур треугольника ABC : A 1;1 , B 3;1 ,

C 3;3 .

40

3

8.

Вычислите поток векторного поля F xi yj (2z 4

z )k

через внешнюю сторону

4 x2 y2

границы области, ограниченной поверхностями

z

2 и z 4 . 32

Решение:

divF

P

Q

R

1 1 2

4

4

2

.

x

y

z