Добавил:

Morze Developerrnrn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Курсовая 2 часть

.pdf

Скачиваний:

181

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

							2		6 2			2
							2	3	6 2			2	3
dxdydz d d dy d									d dx 6 d 6 2d
V			V				0	0	0		0		0
2		4
2		4		3 d		3
6						3	2 9	27 .
6							2 9	27 .
0	4		0		2
Следовательно,				xc	xdxdydz / dxdydz							162	6. и центр масс C 6,0,0 .
Следовательно,				xc	xdxdydz / dxdydz							27	6. и центр масс C 6,0,0 .
					V				V			27
					V				V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего
область	V :		z 9 x2 y2 , z 0.						243	2
										2
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: y x2 ,														z y,			z 2 y.		16
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: y x2 ,														z y,			z 2 y.
																	15
7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:																dx dy		, где L контур
7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:																		, где L контур
															L	x y
															L
прямоугольника 1 x 3,							0 y 4 .			2	4ln3

8. Вычислите поток векторного поля F (2x y2 )i ( y2 z) j zk																	через внешнюю

сторону границы области, ограниченной поверхностями z															x2 y2 9 , z 4 и z 0 .
172

9. Найдите циркуляцию векторного поля F xi z2 j yk по контуру, заданному

x 2cost 3sin t 1,
параметрически: y cost,	3

z 3sin t.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a yi xj. rota 2k , diva 0 ; поле соленоидальное с векторным потенциалом

x2	y2
A		k gradФ .
	2

Вариант 26 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x			y x .
f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x	9 y2 ,	y 0,	y x .
D


														3		2																		3		2
														3		2																		3		2																					9 y2
		0		9 x2																	9 x2																				y													3
		0		9 x2											2						9 x2															2					y													3
	dx						f (x, y)dy											dx								f (x, y)dy										dy								f (x, y)dx										dy				f (x, y)dx
	3			0											0							x														0
	3			0											0							x														0				9 y			2									3 2					9 y		2
																																											2																2

																																																							2
2. Найти массу неоднородной пластины D : x 2,																																									y x,						y 3x, если поверхностная
плотность в каждой ее точке																								x, y 2x2										y2.					152 3										m x, y dxdy
																																																			D
3. Найти статический момент однородной пластины D :																																															x2 y2					2x 0, y x 0, y 0,
относительно оси Ox , используя полярные координаты.
																		4 4,																														2a cos				2

																																						4

M x		sin d d																a cos 2a cos																							sind										d
			D															a cos 2a cos
			D																																				4										a cos
																																							4																						x 0,
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :																																																													x 0,
y 0, z 0, x y z 3.																			3				, 3				, 3
																				4						4		4
Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc zc 0,
yc zc 0; xc yc 0 , а
			y x, y, z dxdydz																							x x, y, z dxdydz																					z x, y, z dxdydz
yc			V																							V																, zc						V
			V															. xc								V																						V
			x, y, z dxdydz															. xc																																x, y, z dxdydz
			x, y, z dxdydz																										x, y, z dxdydz																					x, y, z dxdydz
			V																							V																							V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам:																																																x cos ,									y sin ,				y y,
имеем:
																						2						4				2						1 2						4							1				2
ydxdydz y d d dy																							d d										ydy								d							4								d
ydxdydz y d d dy																							d d										ydy					2			d							4			4					d
V									V														0					0										2			0			0							4
																																2
		2									4																	2
	1	2						4			4									1								2
			2 2											d								16										16 .
			2 2											d								16										16 .
	2	0						16			0									2								0
		0						16											2							4				2						2			4								1
																			2							4				2						2			4
dxdydz d d dy d d dy d
																																												2						d
																																												2			2			d
V								V												0						0											0		0								2
																														2
2					3					4							16								2						32
2					3					4							16								2						32
		2								0			d												0										.
		2				6							d				3														3				.
	0					6											3														3
	0																																				16 3								3	и центр масс C 0, 3														,0 .
Следовательно, yc ydxdydz / dxdydz																																					16 3								3
Следовательно, yc ydxdydz / dxdydz
													V															V									32							2															2
													V															V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																																																					Oz , занимающего

область				V :				z 4				x2 y					2 ,				z 2.								80
																													80
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z 6 x,																																																			z 0,

x2 y 2 2 4, x2 y 1 2 1. 18

7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: y2dx x y 2 dy, где

L контур треугольника ABC : A 1;0 , B 1;1 , C 0;1 . 2 3

8. Вычислите поток векторного поля F x2i ( y 2z) j xzk через внешнюю сторону


границы области, ограниченной поверхностями z 2	x2 y2 ,	y 0	и z 0	( y 0 ).
4 3

Решение:

а). Непосредственно:

	x2		z2		x 4cost		dx 4sin t
C :				1		2cost 3sin t
			25	1
	16		25		y		dy 2sin t 3cos t dt
		10 y 6z 0				5sin t, t 0;2
	5x	10 y 6z 0			z	5sin t, t 0;2	dz 5cos tdt
I x2 3z dx 5 y 3 dy z 7x dz
	C
16cos2 t 15sin t 4sin t dt 10cost 15sin t 3 2sin t 3cos t dt
C
						2
5sin t 28cost 5cost dt = 60sin2 t 30sin2 t 30cos2 t 140cos2 t dt
C						0
2	30 15 15 70 200 .

б). По формуле Стокса:

cos

3 cos 10cos

x2 3z

5y 3

z 7x

dxdz 10 ab 4 5 10 200 .

ПрXOZ

9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)	xdx zdy ydz , где
	C
C контур, полученный при пересечении поверхности y2	4 z x с координатными

плоскостями x 0, y 0, z 0 . Линия проходится по часовой стрелке, если смотреть от начала координат. Ответ: 323 .

Решение:

а). Непосредственно:

C : y2 4 z x , x 0, y 0, z 0 .

	y	2	4 z, dz 2 ydy					0							y		3			0			8			32
		2						0									3

I1									y2 4 dy 2 y2dy										4 y					8			.
I1		2,0							y2 4 dy 2 y2dy										4 y	2				8			.
	y	2,0						2						3						2			3			3
I	x z 4,					4	xdx 1 x2			4 8.
						4
2	x 0,4 , y 0,									0
2								2
								2
						0
	x 4 y			2	, dx 2 ydy				2				8					2	2					2
				2					2
											2					2						4
I3	y 0,2 , z 0								4 y			2 ydy		y							y				16 8			8.
I3									4 y			2 ydy		y							y				16 8			8.
									0				2					0	4					0

I I1 I2 I3 323 8 8 323 .

б). По формуле Стокса:
	cos			cos		cos
	cos			cos		cos
C								2cos .

			x		y		z
			x		y		z
			x		z		y
				2			4 y2	2
				2			4 y2	2	2			y3	2			8	32
I 2			dydz 2 dy					dz 2 4 y		dy 2	4 y			2	8			.
I 2			dydz 2 dy					dz 2 4 y		dy 2	4 y			2	8		3	.
		ПрYOZ		0		0		0				3	0			3	3
		ПрYOZ		0		0		0				3	0			3
10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля												a ; выяснить, является ли данное поле

потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a x i j k y i k z i j . diva 1,			rota 0 ; поле потенциальное со
скалярным потенциалом U	x2	xy xz yz C .

2
		Вариант 27
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x 2 y 6 0,				y x,	y 0.

	1
2	3		x	2	y	3	6 2 y
		2
dx				f (x, y)dy dy f (x, y)dx dy			f (x, y)dx
0	x			0	0	2	0

2. Найти массу неоднородной пластины D : y x, y x2 , если поверхностная плотность

в каждой ее точке									x, y 2x 3y.							1130			m x, y dxdy
																					D
3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2																																2x 0,			y x 0,
x y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.
													4 4,								4											2
																											2a cos
M y		cos d d											a cos 2a cos									cosd									d
			D										a cos 2a cos								4
			D																									a cos
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
															0,0, 9
z 2 x2 y2 , x2 y2										9,				z 0.	0,0, 9		4
																	4
Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc																																		yc	0, а
			z x, y, z dxdydz
z			V									.
z				x, y, z dxdydz								.
c				x, y, z dxdydz
c
			V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x cos ,																																		y sin ,		z z,
имеем:
														2	4		8			1	2		4
zdxdydz z d d dy d d zdz																				1	d 64 4 2 d
zdxdydz z d d dy d d zdz																				2	d 64 4 2 d
V							V							0	0		2				0		0
	1				2				4				512 256 256
	1				2				4		4
		2		64				4			0
	2	2		64	2			4	4
	2				2				4
														2	4	8						2			2 3 2								4
dxdydz d d dy d d																dz 2					8								d 8 2 d
dxdydz d d dy d d																dz 2					8	2				3			d 8 2 d
V					V									0	0	2						2				3			0				0
									4					4
				2		2 3			4					4			128						64			128
2 4									0					2 64					2												.
2 4					3									2 64			3		2				3					3			.
					3									0			3						3					3
														0
Следовательно,								yc	zdxdydz / dxdydz									256 3						768					12			6 и центр масс
Следовательно,								yc	zdxdydz / dxdydz																							6 и центр масс
										V					V				128					128						2

C0,0,6 .

5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего

x2 y2 , z 3. 2

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 y2 ,

z 0,

y 2,

y 2x, y 6 x. 39 12

7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

dx dy

, где L квад-

x y

рат ABCD : A 1;0 , B 0;1 , C 1;0 , D 0; 1 .

8. Вычислите поток векторного поля F

yxi

z yj

xzk

через внешнюю сторону

x 1,

y 0 , z 1 и z 0 .

167

границы области, ограниченной поверхностями y x ,

126

9. Найдите циркуляцию векторного поля F 2xi 2zj yk по ломаной ABOCDA , где

O (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , B (1, 2, 0) , C (0, 2, 3) , D (0, 0, 3) — вершины прямоугольного

параллелепипеда. При вычислении по теореме Стокса в качестве поверхности, опирающейся на контур, выберите часть поверхности этого параллелепипеда. 3

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a zj. rota i , diva 0 ; поле соленоидальное с векторным потенциалом

A xz k gradФ .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке СИДЗ

#
16.01.202316.72 Mб181Курсовая 2 часть.pdf
#
16.01.2023950.34 Кб170Сидз 2.pdf