Добавил:

Morze Developerrnrn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Курсовая 2 часть

.pdf

Скачиваний:

181

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию) x z dx zdy 2x y dz ,

где C контур треугольника с вершинами A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;4 , который обходится в направлении ABCA.

Ответ: ─12.

Решение:

а). Непосредственно:

C : ABCA : A 3;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;3

I1	y 2 x, dy dx		xdx xdx 2.
				0
	z 0; x 2,0	AB		2
I2	z 4 2 y, dz 2dy	4 2 y dy 2 y dy
I2	z 4 2 y, dz 2dy	4 2 y dy 2 y dy
	y 2,0 , x 0		BC
	z 4 2x, dz 2dx
	z 4 2x, dz 2dx
I3	x 0,2 , y 0			4 x dx 4xdx	4x
	x 0,2 , y 0		CA

I I1 I2 I3 2 8 2 12.

б). По формуле Стокса:

cos

2cos cos .

x z

2x y

2cos cos cos .

4 2

dydz

dxdz

12.

ПрYOZ

ПрXOZ

4 y 02 8.

5x	2		2.
		2

2		0

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a x 2 yzi xzj xyk . diva 2 yz , rota 0 ; поле потенциальное со скалярным потенциалом U x2 yz C .

Вариант 23

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : y 3 x2 ,

y x .

131

3x2

3 y

dx f (x, y)dy

dy f (x, y)dx

f (x, y)dx

x y

1 13

131

3 y

2. Найти массу неоднородной пластины D : y x2

1, x y 3, если поверхностная

плотность в каждой ее точке x, y 4x 5y 2. 351

x, y dxdy

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0, y x 0,

y 0,

относительно оси Oy , используя полярные координаты.

													3									,											2cos
													3									,

M y cos d d																		4									cos d								2d
		D											0 2cos												3							0
																										4
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
3x y2 z2 ,							x 9.					6,0,0
Данное тело симметрично относительно оси Ox , поэтому yc zc																																								0,				а
		x x, y, z dxdydz
x		V
x		x, y, z dxdydz
c		x, y, z dxdydz
c
		V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x x,																																							z sin ,						y cos ,
имеем:
														2
														2	3 3								9									3		3									4
xdxdydz x d d dy d																			d							xdx 2							1		81									d
xdxdydz x d d dy d																			d							xdx 2									81									d
V							V							0				0					2									2		0								9
																									3

					2				6		3 3					81 27							9
81											3 3					81 27							3							2187 729							729 .
81			2								0											2			3												729 .
			2			54					0							2				2			3							2
														2																						2
														2	3 3						9					3 3										2
dxdydz d d dy d																			d					dx 2							9							d
dxdydz d d dy d																			d					dx 2							9					3		d
V						V								0	0					2						0										3
																						3

				2				4				3							9 27					81 9								1458 729													243
				2				4				3	3						9 27					81 9								1458 729									729				243
	2 9											0		2															2																	.
	2 9													2															2																	.
					2			12										2							12									12								6			2
Следовательно,										xc xdxdydz / dxdydz																		2 729			6.			и центр масс C 6,0,0 .
Следовательно,										xc xdxdydz / dxdydz																					6.			и центр масс C 6,0,0 .
												V					V												243
												V					V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																																								Oy , занимающего
область			V :			y 4 x2 z2 ,								y 0.					32		3
																					3
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:																																y 0,				z 0,						x y z 4,

2x z 4. 83

7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:	dx dy	, где L квадрат
	x y
L

ABCD : A 1;1 , B 3;1 , C 3;3 , D 1;3 . 2ln 43

8. Вычислите поток векторного поля F x2i ( y 2z) j 2xzk через внешнюю сторону

границы области, ограниченной поверхностями z 2 x2 y2 , x 0 , y 0 и

z 0 x 0, y 0, z 0 . 2 3

9. Найдите циркуляцию векторного поля F xi zj yk по контуру, образованному пересечением конуса (x 1)2 y2 z2 с координатными плоскостями

(x 0, y 0, z 0) . 2

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a xi yj zk. diva 3, rota 0 ; поле потенциальное со скалярным

																	x2		y2 z2
		потенциалом												U															C .
		потенциалом												U						2									C .
																				2
																																Вариант 24
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0, x 2, y 0,
	D
												x2 4
							0					x2 4													4					0										8		y 4
y x2 4.							dx						f (x, y)dy dy																			f (x, y)dx dy f (x, y)dx
						2							0												0					2										4			2
2. Найти массу неоднородной пластины D : y x2																																										1, x y 1, если поверхностная
плотность в каждой ее точке																										x, y 2x 5y 8.																45						m x, y dxdy
																																																			D
3. Найти статический момент однородной пластины D :																																																x2 y2					2y 0, x y 0,						x 0,
относительно оси Ox , используя полярные координаты.																																																					2
																					4											4,									4												2
																																																2a cos
M x		sin d d																			a cos 2a cos																					sind										d
			D																																													a cos
																																									4
																																									4
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
																	0,3,0
y			x2 z2 ,								y 4.						0,3,0
Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc																																																								zc 0,
y z 0; x y 0 , а																												y x, y, z dxdydz
																						y						V															.
																						y																					.
	c			c				c					c										c					x, y, z dxdydz
	c			c				c					c										c
																													V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам:																																																x cos ,								y sin ,		y y,
имеем:
																								2						4						2					1 2					4						1		2
ydxdydz y d d dy																									d							d					ydy					d								4					d
ydxdydz y d d dy																									d							d					ydy				2	d								4		4			d
V										V															0					0											2	0				0						4
																																				2
	1	2		2 2					4					4				d				1		16							2					16 .
	1	2							4					4								1									2


	2	0					16									0						2									0
		0																			2							4					2					2			4							1
																					2							4					2					2			4
dxdydz d d dy d d dy d
																																												2					d
																																												2				2	d
V									V													0						0						2				0			0							2
																																		2
	2				3						4									16							2								32
	2				3						4									16							2								32
				2							0				d												0											.
				2	6										d					3														3				.
	0				6															3														3
	0											yc ydxdydz / dxdydz																											16 3						3		и центр масс C 0, 3										,0 .
Следовательно,																																							16 3						3
Следовательно,
																	V													V									32					2												2
																	V													V

5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего
область V : x 3 y2 z2 , x 3.
	2
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 , z 0,	x2 y2	1.
					4
7.	Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
2 x2 y2 dx x y 2 dy , где L контур прямоугольника 0 x 5 , 1 y 3 .					10
L
8.	Вычислите поток векторного поля F xyi xzj yzk через внешнюю сторону
границы области, ограниченной поверхностями x2 y 0 , z y 1 и z 0			.	16
			.
			35

8 2 16 35 35

9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)

x y z dx y z dy 2 x 3z dz , где C контур треугольника с вершинами

A 2;0;0 , B 0; 3;0 , C 0;0;3 , который обходится в направлении ABCA. Ответ: 4,5.

Решение:

а). Непосредственно:

C : ABCA : A 3;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;3

			y						3		x 3, dy								3	dx						5					3			3				0	19				15
			y								x 3, dy									dx						5					3			3					19				15
I1									2									2									x	3	dx			x	3		dx					x					dx
I1									2									2									x	3	dx			x	3		dx					x					dx
			z 0; x 2,0																				AB			2					2			2				2	4					2
			z 0; x 2,0
	19					2						15
	19					2						15				0
				x										x			5,5.
				x										x			5,5.
		8										2				2
			z y 3, dz dy																								2					3			1						0					3
																											2					3
I2																									2 y				3 dy			6 zdz				2 y 3				2					3z2
			y 3,0 , x 0, z 0,3																																						3					0
																																			4
																										3						0			4
		9					9			27 27.
		4				4				27 27.
		4				4
			z 3										3	x, dz						3	dx			2						3		2					9				3
													3							3												2

I3												2						2						x 3							x dx 2 x			9				x				dx
I3												2						2						x 3							x dx 2 x			9				x				dx
			x 0,2 , y 0																					0						2		0					2				2
			x 0,2 , y 0
			1					2								21
			1					2								21						2
					x					3x								27x					5			21 54 28.
					x					3x								27x					5			21 54 28.
			4													4						0
I I1				I2								I3			5,5 27 28 4,5.

б). По формуле Стокса:

	cos		cos		cos
C							cos cos cos .

		x		y		z
		x		y		z
	x y z		y z		2 x 3z

2cos cos cos .

2 3

dydz

dxdz

dxdy

4,5.

(обход по часовой стрелке)

ПрYOZ

ПрXOZ

ПрXOY

a x2 z 3yzi xzj 2xyk . diva 2xy x2 3z2 , rota 0 ; поле потенциальное со скалярным потенциалом U x3 yz2 C .

Вариант 25

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0, y 0, y 1,

D

				2			1		3		1					1		3 1 y2
x 3 2 y2 1. dx f (x, y)dy dx													f (x, y)dy dy						f (x, y)dx
				0			0		2		2	8				0		0
											6 x x	8

2. Найти массу неоднородной пластины D : x 0,																y 0, y 4, x						25 y2 ,	если
поверхностная плотность в каждой ее точке														x, y x. 118 3							m x, y dxdy
																						D
3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2																			2x 0, x y 0, y 0,
относительно оси Oy , используя полярные координаты.
								4 4,							4					2
																		2a cos
M y cos d d								a cos 2a cos								cosd			d
	D							a cos 2a cos							4
	D																	a cos
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
x y2 z2 ,			y2 z2 9, x 0.						3,0,0
Данное тело симметрично относительно оси Ox , поэтому yc zc																					0, а
	x x, y, z dxdydz
x	V
x	x, y, z dxdydz
c	x, y, z dxdydz
c
	V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x x,																			z sin,				y cos ,
имеем:
								2			6 2					2
								2		3	6 2				1	2	3
xdxdydz x d d dy									d	d			xdx		1	d	36 4d
xdxdydz x d d dy									d	d			xdx		2	d	36 4d
V					V				0	0	0				2	0	0
V					V				0	0	0					0	0
	2	6
	2	6				3
18					0		d 3 27		2 162 .
18		6					d 3 27		2 162 .
	0	6

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке СИДЗ

#
16.01.202316.72 Mб181Курсовая 2 часть.pdf
#
16.01.2023950.34 Кб170Сидз 2.pdf