Райцин / СИДЗ / Курсовая 2 часть

Вариант 20

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : y 0, x2 y,

x

2 y2 .

D

2 y2

1

0

2

0

0

dx

f (x, y)dy dx

f (x, y)dy dy

f (x, y)dx

0

x2

1

2 x2

1

y

2. Найти массу неоднородной пластины D : x 0,

y 0, x2 y2 4,если поверхностная

плотность в каждой ее точке

x, y 4 x2. 3

m x, y dxdy

D

3. Найти статический момент однородной пластины D :

x2 y2 2x 0, x2

y2 x 0,

y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4 4,

4

2

2a cos

M y cos d d

a cos 2a cos

cos d

d

D

4

a cos

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

, x 20. 15,0,0

x 5

y2

z2

Данное тело симметрично относительно оси Ox , поэтому yc zc 0, а

x x, y, z dxdydz

x

V

x, y, z dxdydz

c

V

Переходя к цилиндрическим координатам по формулам:

x x,

z sin ,

y cos ,

имеем:

2

6 2

2

3

1

3

xdxdydz x d d dy d d

xdx

d

36 4d

V

V

0

0

0

2

0

0

2

6

3

18

0

d 3 27 2 162 .

6

0

2

6 2

2

3

3

dxdydz d d dy d

d

dx 6 d 6 2d

V

V

0

0

0

0

0

2

4

3

3

6

0

d

2 9

27 .

4

2

0

Следовательно, xc xdxdydz / dxdydz

162

6. и центр масс C 6,0,0 .

V

V

27

5.

Найти момент инерции однородного тела относительно оси

Oz , занимающего

область V : 2z x2 y2 , x2 y2 4,

z 0. 32

3

6.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2

4, x2 y2 9.

4

V

5 5

3

7.

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: 2 x y dx x y dy ,

L

где L часть параболы y x2

и хорда, проходящая через точки A 1;1 , B 1;1 .

4

8.

Вычислите поток векторного поля F x3i y3 j xz3k через внешнюю сторону

границы области, ограниченной поверхностями x2 y2 9 и x2

y2 z2 25

( x2 y2 9). 0

y 3 x, dy dx

0

1

2 0

I1

x 3,0

y 0 dx 2x dy 3 x 2x dx 3x

3x

4,5.

AB

3

2

3

I2

z 3 y, dz dy

zdy y 3z dz y 3 2 y 9 3y dy

0

y 3,0

BC

3

0

y2

0

3 4 y dy 3 4 y

3

22,5

2

3

x 3 z, dx dz

0

0

I3

zdx 3zdz z 3z dz z2

9.

x 3,0 , y 0

CA

3

3

I I1 I2 I3

22,5 4,5 9 18.

cos

cos

cos

C

1 1 cos 1 cos 1

cos

x

y

z

y z

2x z

y 3z

2cos cos cos .

I

dxdy

dydz

dxdz 4

3 3

18.

2

ПрXOY

ПрYOZ

ПрXOZ

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a x y i zk.

rota k , diva 0 ; поле соленоидальное с векторным потенциалом

y2

A xy j

k gradФ .

2

Вариант 21

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : y 0, y 1,

y x,

D

4 x2

y

3

0

1

1

1

1

x 4 y2

dx

f (x, y)dy dx f (x, y)dy

dx

f (x, y)dy dy

f (x, y)dx

2

0

0

0

x

0

3

x 4 y2

2. Найти массу неоднородной пластины D : y x2 ,

y 2, если поверхностная плотность

в каждой ее точке x, y 2 y. 32

m x, y dxdy

2 15

D

3. Найти статический момент однородной пластины D :

x2 y2 2y 0, x y 0,

x 0,

относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4 4,

4

2

2a cos

M x sin d d

a cos 2a cos

sind

d

D

4

a cos

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

y x2 z2 , x2 z2 10,

y 0. 0,10

,0

3

Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc

zc 0,

y z 0; x y 0 , а

y x, y, z dxdydz

y

V

.

c

c

c

c

c

x, y, z dxdydz

V

Переходя к цилиндрическим координатам по формулам:

x cos ,

y sin ,

y y,

имеем:

2

2

10

1

10

ydxdydz y d d dy d

d

ydy

2 4d

V

V

0

0

0

2

0

6

10

1000

.

0

6

6

4

dxdydz d d dy 2

10 50 .

4

0

V

V

Следовательно,

yc

ydxdydz / dxdydz

1000

10

и центр масс C 0,10

,0 .

6 50

V

V

3

3

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси

Oz , занимающего

область

V :

z 2 x2 y2 ,

z 2.

3

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 4y,

x y,

x y 2.

32

15

7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

xy2dy x2 ydx , где L

L

эллипс

x2

y2

1.

ab

a2 b2

a2

b2

4

Решение:

а) Непосредственно:

2 y y2 dx y2

2xy dy

x R cos , dx Rsin d ,

L

y Rsin , dy R cos d , 0,2

2

2Rsin R2 sin2 Rsin d R2 sin2 2R2 cos sin Rcos d

0

2

2R2 sin2 R3 sin3 R3 sin2

cos 2R3 cos2 sin d

0

0

0

2