Курсовая 2 часть

Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

f (x, y)dy dy

f (x, y)dx

.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

					Вариант 1
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : y									x 0.

								4 x2 , y 3x,
D

				y2 3		4 y2
	4 x2
1	4 x2		3		2
dx			f (x, y)dy dy		f (x, y)dx dy		f (x, y)dx
0			0	0		0
0		3x	0	0	3	0

2. Найти массу неоднородной пластины D :																														y2 x, x 3, если поверхностная плотность
														x, y x.														m x, y dxdy
в каждой ее точке																						36	3
в каждой ее точке																								5
																															D
3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2																																										2y 0, x y 0,
относительно оси Ox , используя полярные координаты.																																					1		8 9						2	3
относительно оси Ox , используя полярные координаты.																																							8 9
																																					12							3		4
M x		sin d d																															2sin		2	d				8			4	d
																																	2sin		2					8			4
																			4						sind																	sin
						D												0 2sin															0								3
	8						1 cos 2						2				2										4	1		cos 4							2					4



																																						sin 2
														d							1 2cos 2													d
	3								2					d			3				1 2cos 2									2				d			3
	3				4				2								3			4										2							3									4
					4															4																										4
	2				1				1									2		9					3					2


										sin 4												1
	3				2				8	sin 4								3				1		4						3
	3				2				8							4		3		8				4						3
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
x 6				y2				z2		,		y2 z2				3,			x 0.			6,0,0
Данное тело симметрично относительно оси Ox , поэтому yc																																								zc 0,				а
			x x, y, z dxdydz
x					V
x				x, y, z dxdydz
c				x, y, z dxdydz
c
						V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x x,																																										z sin ,				y cos ,
имеем:
																					2					6 2							2
																					2	3				6 2						1	2			3
xdxdydz x d d dy d d																													xdx			1	d		36 4d
xdxdydz x d d dy d d																													xdx				d		36 4d
V											V										0	0					0			2			0		0
V											V										0	0					0						0		0
				2				6
				2				6					3
18											0				d 3 27 2 162 .
18								6							d 3 27 2 162 .
					0			6

							2		6 2		2
							2	3	6 2		2	3
dxdydz d d dy d									d	dx 6 d 6 2d
V			V				0	0	0		0	0
2		4
2		4		3 d		3
6						3	2 9	27 .
6							2 9	27 .
0	4		0			2
Следовательно,				xc	xdxdydz / dxdydz						162	6.	и центр масс C 6,0,0 .
Следовательно,				xc	xdxdydz / dxdydz						27	6.	и центр масс C 6,0,0 .
					V				V		27
					V				V

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего

область V : y2 x2	z2 , y 4. 512
Решение: x, y, z	5
Решение: x, y, z	1.
Момент инерции относительно оси Oy, находим по формуле:
I y x, y, z x2	z2 dxdydz x2 z2 dxdydz.
V	V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам: x cos ,		y sin ,	y y,

имеем:

				2	4	4	4	4 d 2
I y	2 d d dy d 3d dy 2 3							4 d 2
	V			0	0		0
			1024		256	512
	2	256		2			.
	2	256		2			.
			5		5	5

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 9x,

V : z2 9x; x y; x y 2.

	4	5
			4
4			0

	4	5

x y, x y 2 . 165

		1	2 x
		1	2 x		2		2			1	16
V 2 3	xdxdy 6 dx			xdy 12	2	x x	2	x2		1	16
									x
									x
D	0		x		3		5			0	5

7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
		3		y2 x2 2												dx						x2			1 xy dy, где L контур треугольника ABC :																																							A 1;1 , B 2;2 ,
		4		y2 x2 2												dx					2				1 xy dy, где L контур треугольника ABC :																																							A 1;1 , B 2;2 ,
L
																																															Y						C(1,3)
																																															3						C(1,3)					D				B(2,2)


																																															2


																																															1
																																															1						A(1,1)
																																																					A(1,1)
																																																																X

C 1;3 .																	22																														O									1					2
																	22
																	3
																	3
Решение.

а) Непосредственно: AB :																															y x; dy dx, x 1;2 .

																							BC :						y 4 x;										dy dx, x													2;1 .

																							CA:						x 1, dx 0,														y			3;1 .
Тогда
																							2														2																2
		3		y2 x2 2 dx																		x			1 xy dy													3			x2 x2 2 dx													x			1 x2 dx
		4		y2 x2 2 dx																		2			1 xy dy													4			x2 x2 2 dx													2			1 x2 dx
L																																					1
	2																												2																								1
			3		4 x 2 x2 2 dx																							x			1 x 4 x dx																			1			1 y dy
			4		4 x 2 x2 2 dx																							2			1 x 4 x dx																			2			1 y dy
	1																																																				3
	2				5			4					2									2		5			4						3								2															1 1			1 y dy
							x			x						dx										x			8x						10x							12x 24 dx
	1						x			x						dx						1				x			8x						10x							12x 24 dx														2 3
	1				4																	1		4																																2 3
						4			11						3					2										2				1							1			2	1			22
			2x									x						6x				24x								1						y							y								.
			2x						3			x						6x				24x														y					2		y					3			.
									3																									2							2				3			3
б) По формуле Грина:
P x, y dx Q x, y dy																																Q						P
P x, y dx Q x, y dy																																	x					y					dxdy
L																														D			x					y
																																															2		4 x
P x, y dx Q x, y dy x 3y dxdy dx																																																					x 3y dy
L																													D																		1			x
	2								3					2					4 x							2	12 4x x												2		dx														2				1		3		2
	2								3					2					4 x							2													2																2				1		3		2
			xy								y												2																						2 12x 2x															x
			xy								y												2																						2 12x 2x															x
	1								2										x							1																																	3				1
	1																		x							1
																		8													1						22
2						24 8														12 2																				.
2						24 8														12 2																	3			.
																		3													3						3

8. Вычислите поток векторного поля F xi yj zk через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями x2 y2 1 2z2 , z 2 и z 0 . 22

Решение:

1. По формуле Гаусса:

divF P	Q		R		1 1 1 3;
x	y		z
							2				3											9
																2 1
																2 1					1			t 1
П 3 dxdydz			3 2 d d 2																6	6		dt	2
П 3 dxdydz			3 2 d d 2												2				6	6	2	dt	2	2
V							0				1				2						2	1		2

		t 1				3 2
								9									2
								9
6 3 2t							2			6 3 16								16 2
6 3 2t			3				2	1		6 3 16							3	16 2
			3					1									3



		32									16
6 3 16				6 3									22 .
6 3 16				6 3							3		22 .
		3									3
2. Непосредственно:

а) По z 0;	n k;				F,n z							z	0.		П1 0;
												z	0
По z 2;	n k; F,n z								z 2				2.	П2 2 9 18 .
По z 2;	n k; F,n z												2.	П2 2 9 18 .

б) По боковой поверхности: N 2x,2 y, 4z ;

;

x2 y2 4z2

F , n			x2 y2 2z2																		1						1	;
			x2 y2 2z2							z			x2 y2 1								1						1

				x2 y2 4z2														x2	y2 2x2 2 y2 2								3 2 2
				x2 y2 4z2										2				x2	y2 2x2 2 y2 2								3 2 2
														2
							1				1								1
	2	3					1				1					3			1				3	2	2
	2	3														3								2
П3 d d															2	d
											cos
					3			2																	2	1
								2																	2
0		1							2							1			3	2	2	2
																				2

																									2
		3				1											3
		3

2 d dt												2			2 1				2 2 2 0 4 .
																	1

						2
		1						1

Суммарный поток: П П1 П2 П3 18 4 22 .

9. Найдите циркуляцию векторного поля

x2	y2 z2 4,	0
	x y 2.	0
	x y 2.

Fxz z2

	x2
j xz		k	по контуру
j xz	2	k	по контуру
	2

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный

или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a x2 y 3yzi 2xzj xyk . diva 2xz x2 3y2 , rota 0 ; поле потенциальное со скалярным потенциалом

U x3 y2 z C .

Вариант 2

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

f x, y dxdy в декартовых координатах для области D : x2 2y, 5x 2 y 6 0.

2. Найти массу неоднородной пластины плотность в каждой ее точке x, y x2.

D : x 0, y 0, x y 1, если поверхностная

112 m x, y dxdy

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2																																											2x 0, x y 0,
относительно оси Oy , используя полярные координаты.																																								1				2
относительно оси Oy , используя полярные координаты.																																							4					3
															4 4,																	4							4					3
															4 4,																	4												2
																																							2a cos
																																							2a cos
M y		cos d d													a cos 2a cos																		cosd										d
				D											a cos 2a cos																		4
				D																																				a cos
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
																							0,27					,0
y 3					x2 z2 , x2					z2 36,							y 0.						0,27				4	,0
																											4
Данное тело симметрично относительно оси Oy Ox,Oz , поэтому xc zc 0,
yc zc 0; xc yc 0 , а
			y x, y, z dxdydz																		x x, y, z dxdydz																	z x, y, z dxdydz
yc				V																	V													, zc				V
				V										. xc							V																	V
				x, y, z dxdydz										. xc							x, y, z dxdydz																				x, y, z dxdydz
				x, y, z dxdydz																	x, y, z dxdydz																				x, y, z dxdydz
				V																	V																	V
Переходя к цилиндрическим координатам по формулам:																																						x cos , y sin ,											y y,
имеем:
																		2				4					2					1	2		4							1			2
ydxdydz y d d dy																			d d									ydy					d 4													d
ydxdydz y d d dy																			d d									ydy				2	d 4									4				d
V								V											0			0										2	0		0							4
																											2
	1	2					4			4						1							2
	1	2					4			4						1							2
				2 2								d						16									16 .
				2 2								d						16									16 .
	2	0					16			0						2							0
		0					16								2				4					2					2			4						1
															2				4					2					2			4

dxdydz d d dy d d																										dy d									2						d
dxdydz d d dy d d																										dy d									2			2			d
V							V									0			0										0			0						2
																								2
2						3			4				16							2					32
2						3			4				16							2					32
				2					0		d											0							.
				2		6					d			3												3			.
	0					6								3												3
	0																													16 3						3	и центр масс C 0, 3											,0 .
Следовательно, yc ydxdydz / dxdydz																														16 3						3
Следовательно, yc ydxdydz / dxdydz																																			2												2
											V											V									32				2												2
											V											V
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси																																												Ox , занимающего
область V :							x y2 z2 ,							x 2. 4
																						3

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2													z2 5,				z x2 y2 1.

	20	5 41
6	20	5 41
			x2 y2	z2	5;		z x2		y2 1 (внутри параболоида)

			x2 y2 1			x2	y2		1 2 6		D x2 y2 1 1

				1			5 2				3			2		4
		2		1			5 2				3			2		4	1		20		41
			V 4 d d					dz 2		1	5 2
										1		2								5
												2								5
		0		0			1 2			3			2		4		0	6

7.	Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
xy x y dx xy x y dy , где L парабола y x2		и хорда y 4 .	128 5
L
8.	Вычислите поток векторного поля F xi yzj xyzk	через внешнюю сторону

границы области, ограниченной поверхностями y x , y 0 , x z 1 и z 0 . 840323

9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)

5zydx z 3 5x dy y 5x 7 dz , где C линия, определяемая уравнениями

x 2(sin t cost); y 2sin t;	z 2cost ; t 0; 2 (в направлении, соответствующем
возрастанию параметра t ).	Ответ: ─16 .
Решение:
а). Непосредственно:

	x2		z2		x 4cost		dx 4sin t
				1		2cost 3sin t
				1
C :	16		25		y		dy 2sin t 3cos t dt
		10 y 6z 0				5sin t, t 0;2
	5x	10 y 6z 0			z	5sin t, t 0;2	dz 5cos tdt
I x2 3z dx 5 y 3 dy z 7x dz
	C
16cos2 t 15sin t 4sin t dt 10cost 15sin t 3 2sin t 3cos t dt
C
						2
5sin t 28cost 5cost dt = 60sin2 t 30sin2 t 30cos2 t 140cos2 t dt
C	30 15 15 70 200 .					0
2	30 15 15 70 200 .

б). По формуле Стокса:

cos

3 cos 10cos .

x2 3z

5y 3

z 7x

dxdz 10 ab 4 5 10 200 .

ПрXOZ

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке СИДЗ

#
16.01.202316.72 Mб117Курсовая 2 часть.pdf
#
16.01.2023950.34 Кб97Сидз 2.pdf