Вариант 15
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
15.1y sin x y sin x y ; y 2 .
15.2x y dx x y 2 dy 0.
15.3y y x 1; y 1 0.
15.43x2 y cosxy y dx x xcosxy dy 0.
15.52xy y y 2 1.
15.6xy y .
15.7y ae y .
15.8y y y y 0; y 0 3,y 0 2,y 0 1.
15.9y 6y 9y 10sinx .
15.10y 2y 5y excosx x2
15.11 |
y 2y y e x |
x 1. |
|
15.12 |
y ex y2; |
y 0 0. |
|
15.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A 1; 5 и
обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.
15.14 Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна 0 , прямо
пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m . Сила тяги локомотива F t b k t , где t скорость локомотива в
момент t , а b и k постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t .
81
Вариант 16
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
16.1 |
yln |
3 |
y y |
x 1 0, |
|
15 |
|
å. |
|
y |
16 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16.2y xy dx xdy .
16.3xy 2y 2x4 .
16.4xy dx y3 lnx dy 0.
16.5y yx x .
16.6y 2 y 1 ctgx .
16.7 y 2 y 2 / 1 y 0, y 0 0,y 0 1
16.8y IV 5y 4y 0, y 0 2,y 0 1,y 0 2,y 0 0
16.9y 5y 4y 4x2e2x .
16.10y V 4y ex 3sin2x 1.
16.11y y 1/ 5e x 1 .
16.12 y y cos y x; y 0 1, |
y 0 3. |
16.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A 1; 2 и обладаю - |
|
щей свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэффициент пропорциональности равен 3.
16.14 Последовательно включены катушка с индуктивностью L , сопротивление R и конденсатор емкости C , заряд которого при t 0 равен q . Цепь замыкается
при t 0. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер.
82
Вариант 17
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
17.1yy lny; y 2 1.
17.2xy y xtg xy .
17.3x y y 1 x2 еx .
17.4yxy 1dx xylnxdy 0.
17.5y arctgx .
17.61 x2 y xy 2.
17.7 y 1 y 5 y 2 ; y 0 0,y 0 1.
17.8y IV 10y 9y 0; y 0 y 0 0,y 0 8,y 0 24.
17.9y 4y 5y 2y 2x 3.
17.10y 9y 2xsinx xe3x .
17.11y 5y 6y e 2x / e2x 1 .
17.12 y x y y2; |
y 0 1. |
17.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A 2; 1 , если из-
вестно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности равен 6.
17.14 В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество С. Установить зависимость количества вещества С от времени, если в момент вступления в реакцию количества веществ А и В были равны соответственно a и b . Скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс.
83
Вариант 18
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
18.1 |
|
xy |
x dx |
xy |
y dy 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
18.2 |
xy |
y arctg x x; y 1 0. |
||||||||
|
||||||||||
18.3y xy 1y .
18.4еydx xеy 2y dy 0.
18.5 |
y |
y |
x2 |
; |
y 2 0,y 2 4. |
||
|
|
|
|||||
x |
y |
||||||
18.6 |
|
|
|
. |
|
||
y x ln x y |
|
|
|||||
18.7 |
y 2y 3 2 |
y 2 0; y 0 0,y 0 3. |
|||||
18.8y y y y 0; y 0 y 0 0,y 0 1.
18.9y y 6y 6x 2.
18.10y y 4cosx x2 1 ex .
|
|
|
|
|
|
e2x |
|
|
18.11 |
y |
4y |
4y |
3 x 8 . |
|
|||
|
|
|
||||||
18.12 |
y esin x xy; |
y 0 0. |
y 0 1. |
|||||
18.13 Записать уравнение кривой, обладающей свойством: отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
18.14 Стальная шаровая оболочка с внутренним радиусом 6 см и внешним 10 см находится в стационарном тепловом состоянии. Температура на внутренней ее
поверхности равна 2000C , а на внешней 200C . Найти температуру на расстоянии r от центра и количество теплоты, которое в I с шар отдает наружу (теплопроводность стали k 0,14 ).
84
Вариант 19
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
19.1y sin x y sin x y .
19.2xy y xcos2 xy .
19.3y cosx ysinx 2x; y 0 0.
19.4x2 y2 2x dx 2xydy 0.
19.5xy(IV) 1.
|
|
|
y |
|
x2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||
19.6 |
2y |
|
|
|
|
; y 1 |
|
|
|
,y 1 |
|
. |
|
|
x |
y |
|
5 |
|
2 |
|||||||
19.7 |
4 y 2 |
1 y 2 ; |
y 0 |
|
1,y 0 0. |
||||||||
19.8y 3y 3y y 0; y 0 y 0 0,y 0 4.
19.9y y x .
19.10y IV 16y xex 2sin2x 3cos2x .
19.11y 9y cosec3x .
19.12 y x2 y2; |
y 0 1. |
19.13Записать уравнение кривой, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-либо точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
19.14Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону E E0 sin t , сопротивление R , катушка с индуктивностью
L и конденсатор с емкостью C . Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте сила тока наибольшая?
85
Вариант 20
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
20.1 yy cos2xy .
20.2 |
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|||||
y |
е |
x . |
||||||
|
|
|||||||
20.32ydx y2 6x dy 0 .
20.43x2tgy 2xy33 dx x3 sec2 y 2y3 3xy22 dy 0.
20.5y''' x cos x.
20.6y''' 1 y'' 2 .
20.7 2 y' 2 y 1 y'', |
y 0 y' 0 2. |
20.8y''' y'' 4y' 4y 0, y 0 1, y' 0 0, y'' 0 6.
20.94y''' y' 2sin x / 2 .
20.10y IV 2y''' 2y'' 2y' y xex 0,5cos x.
20.11y'' y 1/ sin3 x.
20.12 y e y sin y ; |
y 1, |
y |
2 |
. |
|
|
|
|
20.13 Записать уравнение кривой, для которой произведение абсциссы какойлибо ее точки и длины отрезка, отсекаемого нормалью в этой точке на оси Oy ,
равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.
20.14 Конденсатор емкостью C включается в цепь с напряжением V и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после
включения.
86
Вариант 21
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
21.1 x 1 y2dx y |
1 x2dy 0; y 0 1 |
21.24x 3y dx 2y 3x dy 0.
21.3y y cosx; y 0 0,5.
21.4 |
2xy2 3y3 dx |
7 3xy2 dy 0 |
|
y2 |
y2 |
21.5xy 1 2x2 y .
21.6y y 2 0; y 0 0,y 0 2.
21.71 y 2 yy ; y 0 1,y 0 0.
21.8y IV 2y y 0; y 0 y 0 0,y 0 1,y 0 2.
21.9y 4y x2 .
21.10y y 3xe x ex 5sinx cosx .
21.11y 8y 16y e 4x 3 x .
21.12 y x2 y2 y sin x; |
y 0 0,5. |
21.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку P 1,2 и обладающей
следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиусвектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.
21.14 В электрическую цепь с сопротивлением R 1,5 Ом в течение 2 мин равномерно вводится напряжение (от нуля до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число генри в цепи равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта.
87
Вариант 22
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
22.1y ex y ex y ; y 0 0.
22.2y x22xyy2 .
22.3y 2y x2; y 0 0,25.
22.43x2 y y3 dx x3 3xy2 dy 0.
22.5y x .
22.6x2 y y 2 .
22.7yy y 2 0; y 0 1,y 0 2.
22.8y IV y 0; y 0 y 0 y 0 0,y 0 4.
22.9y 3y 2y xcosx.
22.10y y 5xex e2x 6cosx sinx .
22.11y y 24sin4x .
22.12 y y cos y x; y 0 1, |
y 0 3. |
22.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A 2; 0 и |
|
обладающей свойством: отрезок касательной между точкой касания и осью Oy имеет постоянную длину, равную 2.
22.14 На расстоянии a друг от друга в точках A и B сосредоточены два равных разноименных заряда q и q . Приняв точку A за начало координат и
направив ось X по линии AB , составить уравнение семейства эквипотенциальных линий электрического поля, создаваемого указанными зарядами.
88
Вариант 23
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
23.1 |
dx |
|
dy |
0; y 1 1. |
|
x y 1 |
y x 2 |
||||
|
|
|
23.2x2dy y2 xy x2 dx .
23.3y 2y e x .
23.4x3 3xy2 2 dx 3x2 y y2 dy 0.
23.5xy y 0.
23.6xy 2yy y .
23.7yy y 2 0; y 0 1,y 0 2.
23.8y IV 16y 0; y 0 y 0 y 0 0,y 0 8.
23.9y 2y 4x2 3.
23.10y IV y xe2x 3sinx 5cosx.
23.11y y e2xcos ex .
23.12 y 2y2 yex ; |
y 0 1 |
3 |
. |
|
|
|
23.13Записать уравнение кривой, каждая касательная к которой пересекает прямую y 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
23.14Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источ-
t E0 sin t , индуктивности L и емкости C ,
причем |
1 |
|
. Найти ток I в цепи как функцию времени t , если |
LC |
|
||
I I t dI |
|
|
|
0 |
при t 0. |
||
dt |
|
|
|
|
|
89 |
|
Вариант 24
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения
со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
24.1y sinx ylny; y /2 e.
24.2y x dx y x dy 0.
24.3xydy y2 x dx.
24.42xdx y2 3x2 dy 0; y 1 1. y3 y4
24.5 |
y |
1 |
|
1 |
. |
x 1 3 |
x 1 3 |
24.6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
y |
xy |
2. |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
24.7 |
yy |
y 2 |
y2lny; |
y 0 y 0 1. |
||||||
24.8y y 4y 4 0; y 0 y 0 0,y 0 12.
24.9y 4y xe2x .
24.10y 3y 2y 3x 5sin2x.
24.11 |
y y e2x |
1 e 2x . |
|
24.12 |
y x2 y2; |
y 1 2, |
y 1 0,5. |
24.13Записать уравнение кривой, обладающей свойством: если через любую ее точку провести прямые, параллельные осям координат, до пересечения с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой на две части, причем площадь одной из них вдвое больше площади другой.
24.14Сила тока I в цепи с сопротивлением R , индуктивностью L и напряжением U удовлетворяет дифференциальному уравнению
L dIdt R I kt ,
где k ,L,R постоянные. Найти I t при начальном условии I( 0) 0. 90