Райцин / СИДЗ / Сидз 2

y

z

y2z dx

2xyz z2 y dx 2 x2 y dy

y

2zdx

2

y 2xyz 2

x

2

xy

2

z

2y xy

2

z.

2xyz x

y dy

Следовательно,

b M b x,y,x x2 yz xyz2 j 2y xy2z k.

Проверка:

rot

b M

F.

i

j

k

M

rotb

x

y

z

0

x2 yz xyz2

2y xy2z

2 2xyz

x2 y 2xyz i y2z

j

2xyz yz2 k

2 x2 y i y2z j 2xyz yz2 k F.

Известно, что векторный потенциал вычисляется с точностью

f

grad f , где

произвольная функция, поэтому окончательно имеем:

M x

2 yz xyz2 j

b

2y xy2z k

grad f .

2-ый способ.

Векторный

потенциал

поля

F

определяется

с

точностью

до градиента

b1 M

произвольной дифференцируемой функции: b1 M b2 M

grad f , где

и b

M – два векторных потенциала одного и того же поля

F .

2

Этим обстоятельством пользуются при отыскании векторного

потенциала. А именно, полагают одну из компонент поля b

равной нулю.

Пусть, для определенности P x,y,z 0., тогда из равенства F

rotb или, в

1

i

j

k

следует, что

подробной записи, Pi

Qj Rk

x

y

z

0

Q1

R1

R1 Q1

P,

R1

Q,

Q1

R.

y

z

x

x

b

Интегрируя эту систему, получаем некоторый потенциал

данного поля

F .

Общее решение имеет вид b M

1

b1 M

grad f , где f – произвольная

дифференцируемая функция.

F (2 x2 y)i y2zj (2xyz z2 y)k.

P

Q

R

2xy

2yz 2xy 2zy 0.

Из 1 способа имеем: divF

x

y

z

rot F 2xz z2 y2 i 2yz j x2 k

0.

Т.к. P1 x,y,z 0

R1 Q R Q x R xy2z F

y,z

x

1

1

1

Q1 R Q R x Q

x2 yz yz2x F

y,z .

x

1

1

2

R1

Q1

А теперь используем равенство:

P 2 x2 y

2xyz F1

F2

y

z

F1

F2 2

x2 y 2xyz

2 x2 y , т.е

. Положим теперь

y

тогда F1

z

y

z

F (y,z) 0,

2 или F (y,z) 2y,

поэтому

2

y

1

R xy2z F y,z 2y xy2z.

1

1

Следовательно, векторный потенциал данного поля равен:

b M x2 yz xyz2 j

2y xy2z k

grad f .

Решение:

P

Q

R

2y 2

0.

divF

x

y

z

i

j

k

i

j

k

rotF

0

i

(1 1) j (2x 2x)k

0.

x

y

z

x

y

z

P Q R

2xy z

x2 2y x

Для того чтобы векторное поле F было потенциальным, необходимо, чтобы в

каждой точке этого поля выполнялось условие

rotF 0.

Следовательно, данное векторное поле F потенциальное и

имеет скалярный

потенциал, то есть функцию U (x,y,z)

такую, что выполняется равенство

F(x,y,z) gradU (x,y,z).

x

y

z

U (x,y,z) P(x,y0,z0)dx

Q(x,y,z0)dy R(x,y,z)dz C ,

x0

y0

z0

положив

x0 y0 z0 0, так как никаких особенностей область задания

вектора

F не имеет,

U (x,y,z) x 2x 0 0 dx y

x2 2y dy z x dz C x2 y y2 xz C ,

0

0

0

где C - произвольная постоянная.

Проверим полученный результат. Так как F gradU , то

gradU

U

U

U

(x

2

x

i

y

j

z

k (2xy z)i

2y) j

xk

F

Решение:

П F

а). Непосредственно: По определению, имеем:

n0dS, где S внешняя

сторона поверхности пирамиды

ABCO.

S

1. Грань

AOC лежит в плоскости

y 0,

dS dxdz

n0 j ,

4

2

x

4

4

2

x

2

x3

16

П1

xdS xdxdz xdx

dz x

2

dx x

0

.

AOC

AOC

0

0

0

2

6

3

П2

0 dxdy 0.

AOB

3.

Грань BOC

лежит в плоскости x 0,

dS dydz

n0 i ,

2

0

2

z3

2

2

4

П3

zdydz zdz dy z z 2 dz

z

0

.

3

3

BOC

0

z 2

0

4.

Грань

ABC

лежит в плоскости x 2y 2z 4 0, а нормаль к этой грани

имеет вид

0

i 2

j 2k

i 2

j 2k

1

2

2

n

1

4 4

3

3

i

3

j

3

k,,

dS

1 zx 2 zy 2dxdy,

z

1 x y

2,

zx

1

,

zy 1

1

3dxdy,

2

2

dS

1

1dxdy

1

3

4

2

1

П

x z 2 2y x 27 dxdy

3x 4y 3z dxdy

4

3

2 ABC

2 ABC

1

1

1

3

2 ABC

3x

4y

3

2

x

3y

2 ABC

2

x

y

6 dxdy

6 dxdy

1 0

dy

2y 4

3

x

1

0

3

2y 4

2

0

2

y 6 dx

2

4

6 y 2y 4 dy

2 2

2

1 0

y

2

20y 36 dy

1

y3

2

0

52

10y

36y

.

2

3

3

2 2

2

Следовательно,

П П П

2

П

3

П

4

32.

1

3

б). По формуле Остроградского – Гаусса: Имеем П divFdV ,

P

Q

R

V

x z

2y

x

z 1 2 1 4,поэтому

divF

x

y

z

x

y

z

1Sосн. h , то

4 dxdydz 4 Vпирамиды,

П divFdV

но т.к.

Vпирамиды

V

V

4 1 4 2 32.

3

окончательно получаем:

П 4 V

пирамиды

3

3

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)

циркуляцию

векторного поля F

(3y 5x)i (6x 5y) j (4z xy 4)k

по контуру

2

2

(z 1)

2

,

L :

x

y

По определению циркуляция векторного поля F по контуру L

равна

Fdl (3y 5x)dx (6x 5y)dy (4z xy 4)dz.

L

L

Здесь контуром L

является окружность x2 y2 4, полученная в результате

сечения конуса x2 y2 (z 1)2 плоскостью z 1.

Параметрические уравнения этой линии имеют вид

x 2cost,

y 2sint,

z 1.

Отсюда находим dx 2sintdt,dy 2costdt,dz 0. Направление обхода

контура выбирается таким образом, чтобы ограниченная им область

оставалась слева. Следовательно, обход окружности x2 y2 4

будем

совершать против

часовой стрелки, если смотреть с конца

оси Oz . Тогда

0 t 2 . Теперь, переходя к определенному интегралу, найдем искомую

циркуляцию

Fdl (3y 5x)dx (6x 5y)dy (4z xy 4)dz

L

L

2

i

j

k

i

j

k

rotF

xi

yj

3k.

x

y

z

x

y

z

P Q R

3y 5x

6x 5y

4z xy 4

65

2

2

(z 1)

2

,, возьмем часть плоскости z 1,

натянутой на контур

L : x

y

z 1.

ограниченную окружностью x2 y2 4, то есть круг радиуса

R 2. Тогда

единичный вектор нормали n k и скалярное произведение rotF

n 3.

Следовательно,

dxdy