Добавил:

Morze Developerrnrn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / Практикум 1. 2-е

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

14.1. Формулировка теоремы

Теорема 14.1. Пусть функция y f (x) имеет в некоторой окрестности

точки a все производные до порядка n 1 включительно. Тогда в этой окрестности справедлива следующая формула (Тейлора):

f x f a

f ' a

f '' a

x a

f n a

x a

f (n 1)

n 1

, где между и .

(n 1)!

Rn x остаточныйчленвформеЛагранжа

Замечания:

это формула Тейлора при

Формула Маклоренаf '–(0)

f ''(0)

f n 0

f x f 0

Rn (x)

f n 1 x

xn 1,0 1

n 1!

2.При условии ограниченности (n+1)ой производной f (x) остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде o(x a)n . Это так называемый

остаточный член в форме Пеано. Тогда формулы Тейлора и Маклорена примут соответственно вид

n		(k )	(a)		n		(k )	(0)
f (x)	f			(x a)k o(x a)n ,	f (x)	f			xk o(xn ).
		k!
k 0					k 0		k!

На самом деле, для справедливости этих формул достаточно существование всех производных функции f (x) до порядка n включительно в

точке a .

3.Разложения по формуле Маклорена основных элементарных функций имеют вид:

ex 1 x

o(xn )

sinx x

( 1)n

x2n 1

o(x2n 2)

(2n 1)!

cosx 1

( 1)n

x2n

o(x2n 1)

(2n)!

ln(1 x) x

( 1)n 1

o(xn )

( 1)

( 1)...( n 1)

(1 x)

1 x

...

o(x

)

В частности ( 1),

1 x x2

1 n xn o(xn )

1 x

Или, заменяя x на x ,

1 x x2

xn o(xn )

1 x

Первые 3 разложения справедливы для всех x, а остальные только при

14.2. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

14.2.1. Разложить многочлен

5 по степеням

Решение. P(2) 11;P (x) 3x

4x 3;P (2) 7;P (x) 6x 4;P (2) 8;

P (x) 6;P (2) 6;PIV (х) 0

P(x) P(2)

P (2)(x

P (2)

(x 2)2

P (2)(x 2)3

PIV ( )

(x 2)4

11 7(x 2) 4(x 2)2 (x 2)3 .

14.2.2. y 1. Разложить по формуле Тейлора n-ого порядка при x

Решение.

2 3

y(x0) 1,y (x)

x2 ,y (x0) 1,y

(x) x3 ,y (x0) 2,y (x)

y (x ) 2 3,..., y(n)(x)

( 1)n

,y(n)(x ) ( 1)n n!,y(n 1)(x) ( 1)n 1 (n 1)!.

xn 1

x(n 2)

Подставляя полученные производные в формулу Тейлора, имеем:

1 1(x 1)

(x 1)2

2 3

(x 1)3 ... ( 1)n n!

(x 1)n ( 1)n 1

(n 1)!

(x 1)

n 2(n 1)!

Или:

n 1 1

n 2

1 (x 1)

(x 1)

... ( 1)

(x 1)

( 1)

(x 1)

n 2

Тот же результат можно было получить из приведенного выше стандартного разложения:

1x 1 (1x 1) 1 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 ... ( 1)n(x 1)n ...

14.2.3. РазложитьпоформулеМаклоренафункцию f (x) ln(1 x),x ( 1,1).

Оценить погрешность, допускаемую при сохранении 10 членов.

; f

(x)

2 3

;

1 x

(1 x)2

(1 x)3

(1 x)4

Решение. f (x)

(x)

f (k)(x) ( 1)k 1

(k 1)!

;

(k)

(x)

( 1)

k 1

;

(k)

(0)

( 1)

k 1

(1 x)k

k(1 x)k

ln 1

∙10

остаточный член.

Если остаточный член отбросить, то погрешность

) 10

(1 )

14.2.4. Пусть

f (x) ex .

Сколько нужно взять членов в формуле Маклорена,

чтобы получить

1,1

с точно-

стью до 0.001? многочлен, представляющий эту функцию на

Решение.

0 1, имеем,

: ex0 1 1x;

обозначая точку

в формуле Тейлора

как x,

e x

xn 1

n 1 !

2! 3! 4!

xn 1

. Чтобы

xn 1

, достаточно потребовать, чтобы

n 1 !

(n 1)!

1000

Т.е. достаточно найти такое

, чтобы (n 1)! 1000e.

n 1 !

1000

1;2!

2;3!

6;4!

24;5!

120;6!

720;7!

720∙7

1000

. Т.е.

нужно взять 7 членов (перед остаточным членом стоит

chx1

член).

shx

14.2.5. Разложить по формуле Маклорена функции

Решение.shx	ex e x	,chx	ex e x	.Как	указано	выше,
	2		2

ex 1 x x2!2 x3!3 x4!4 ...

Заменяя

обеих

частях

этой

формулы

на

–x,

имеем:

e x

1 x

...

Вычитая и складывая эти формулы, получаем: e x ex 2(x

...)

2(1

...),

откуда

shx x

...

сhx 1

...

(сравните с разложением

функций

y sinx

y cosx ).

14.3.Задачи для самостоятельного решения

14.3.1.f (x) многочлен 4ой степени. Зная, что

f (2) 1, f (2) 0, f (2) 2,		f (2) 12, f iv (2) 24, найти

f ( 1), f (0), f	(1).

14.3.2. Написать формулу Тейлора 3-го порядка с остаточным членом в форме

Пеано для функции y

x при x0 4.

14.3.3.Написать формулу Маклорена 2-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для функции y tgx.

14.3.4.Написать формулу Маклорена 3-го порядка с статочным членом в форме Пеано для функции y arcsinx.


Ответы: 14.3.1.		f ( 1) 143, f (0) 60, f (1) 26.
14.3.2. y 2 1	(x 4)		1	(x 4)2		1		(x 4)3 o(x 4)3.
						512
4	64
14.3.3. y x 1		1 2sin2 x			x3,0 1.		14.3.4. y x		1 x3	o(x)3.

3		cos4 x							6

ЗАНЯТИЕ 15 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА (продолжение)

15.1. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

15.1.1. Разложить функцию f x sin2 x x2e x по целым положительным степеням x , ограничиваясь членами до 4-го порядка малости включительно.

Решение. f x sin2						x x2e x				1		(1 cos2x) x2e x								. Используяготовые разло-
										2
жения функций cos2x (c заменой х на 2х) и ex (с заменой х на –х), имеем:
f x		1					(2х)2				(2х)4					4				2				x2			2
			1 (1											) о(х			) x				1 x					о(х			)
		2	1 (1						2!				4!	) о(х			) x				1 x			2		о(х			)
		2							2!				4!											2
	2			x4				4				2		3	x4			4				3	5		4			4
x						о(x			)	x			x				о(х		)		x			x		о(х				).
x					3	о(x			)	x			x		2		о(х		)		x		6	x		о(х				).
					3										2								6

15.1.2. Пусть f x ex x 1. Написать разложение по целым положительным степеням x , ограничиваясь членами до 4-го порядка малости включительно.

Решение. Используя готовое разложение функции 1 1x , имеем:

f x

1 x

о(х5) 1

о(х4)

120

1 q q2 q3 q4 o(x4 ) 1

120

2 6

2 24

x4 , что после приведения подобных членов даёт

1 12 x 121 x2 7201 x4 о(х4).

Как уже было видно из примеров 14.2.3. и 14.2.4., формулу Тейлора можно применять для приближенных вычислений.

15.1.3. Найти cos100 с точностью до 0,001. Доказать, что для достижения указанной точности достаточно взять формулу Тейлора 2-ого порядка.

Решение. Разложение по формуле Маклорена cosx 1 x2 x4 ...даёт, что

2! 4!

							2


cos100 cos					1		18			1 0,01523 0,98477. Погрешность этого ответа
cos100 cos			18		1		18			1 0,01523 0,98477. Погрешность этого ответа
			18				2
это остаточный член формулы R2(x)														f ( )				3			1	sin			3
																									и
															3!						6				и
															3!		18				6			18
		1				3		1			4	1	4 4		1	2		4		8			1
	R2(x)	1				3		1			4	1	4 4		1	2				8			1		, т.к. 8000

				18				6	18
19683.		6		18				6	18			6	18		6	9			19683				1000
19683.

Заметим, что приближенное равенство cosx 1 x2 следует и из формулы

Тейлора 3его порядка ( f (0) 0), и тогда оценка погрешности будет иметь

	R3	(x)	f (4)	( )		4	1			4	1		4


вид								cos						,что уменьшает по-
			4!		18		24		18		24	18

грешность.

Формула Тейлора также бывает полезной при вычислении пределов.

15.1.4. Найти lim		1 1 x2 cosx							.
15.1.4. Найти lim			tg4x						.
	x 0		tg4x
Решение. lim	1	1 x2 cosx				lim				1			1 x2 cosx						x4			lim		1			1 x2 cosx
Решение. lim			tg4x			lim								x4					tg4x			lim					x4
x 0			tg4x				x 0							x4					tg4x				x 0				x4
(разложим числитель по формуле Маклорена до члена с																								x4			включительно,
													1	c заменой x на x2 и cosx)
используя готовые разложения (1 x)2														c заменой x на x2 и cosx)
								1				1
				1		2		2				2			4		x	2			x	4			4
				1		2		2				2			4		x				x				4
			1 1		x									x		1							о(х			)
			1 1	2	x						2			x		1	2			24			о(х			)
				2							2						2			24

	lim
	lim													x4
	x 0													x4

	1 1 1 x2						1 x4						1 x2					1 x4				1										1		1		1		4
																								x4				о(x4)									x
																																8		4		24

lim			2				8						2					4		24									lim
lim														x4															lim						x4
x 0														x4																x 0					x4
lim	о(x4)			1	.
lim		x4		3	.
x 0		x4		3
								cosx e							x2
15.1.5. Найти lim															2		.
															2
												x4
					x 0							x4
Решение.			Аналогично										предыдущему,													из готовых						разложений							функций
y cosx			и	y ex (c заменой x на																			x2			) до членов с x4 включительно, полу-
y cosx			и	y ex (c заменой x на																						) до членов с x4 включительно, полу-
																							2
		limcosx e							x2							1					x	2				x	4			x	2	x	4
										2		lim										2					4				2		4
чаем:																			1									1							o(x4)
чаем:																			1									1				4 2			o(x4)
		x 0			x4								x 0 x4							2					24				2			4 2

	1		1					1
=											.
=	24		8			12					.
	24		8			12

15.2.Задачи для самостоятельного решения

15.2.1.Написать формулу Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано при x0 1 для функции y x3 lnx.

15.2.2.f (x) x80 x40 x20. Найти первые 3 члена разложения f (x)по степеням x 1и вычислить приближенно f (1,005).

15.2.3.Проверить, что для углов, меньших 280 , ошибка, которая получится

при замене sinx на x

будет меньше 0,000001. Пользуясь этим,

вычислить sin200 с шестью верными цифрами.

15.2.4.Вычислитьlim

ctgx

1 3x

1 2x

15.2.5. Вычислить: lim

x 0

Ответы: 15.2.1.x 1 12 x 1 2 213 x 1 3 314 x 1 4 ... 1 n x 1 n

o x 1 n ,	x 1	1.15.2.2. f (x) 1 60 x 1 2570			x 1 2 ...;
o x 1 n ,	x 1	1.15.2.2. f (x) 1 60 x 1 2570			x 1 2 ...;
f (1,005) 1,364. 15.2.3. 0,342020. 15.2.4.			1	. 15.2.5.		1 .
			3			2

ЗАНЯТИЕ 16 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ЭКСТРЕМУМ

16.1. Определения и формулировки теорем

Предполагается,что f (x) непрерывнана a,b иимеетконечнуюпроизводную f '(x) внутри этого отрезка.

Теорема 16.1. f x const, x a,b f ' x 0, x a,b .
Определение 16.1.		f (x)	называется возрастающей (убывающей) на a,b ,
если f x1 f (x2) f x1 f (x2) при x1							x2	x1,x2 a,b .
Теорема 16.2. Пусть f (x)			возрастающая (убывающая) на a,b f '(x) 0
f '(x) 0 ,x (a,b). Пусть f '(x) 0 f '(x) 0								,x (a,b) f (x)
возрастающая (убывающая) на a,b .
Определение 16.2.		f (x)		имеет в точке x0				максимум (минимум), если
существует	такая	окрестность				точки	x0,	что	в этой	окрестности
f (x) f x0	f (x) f x0 . Точки максимума и								минимума функции
называются точками экстремума этой функции.										f (x) имеет
Теорема 16.3. (необходимое условие экстремума). Пусть
экстремумвточке x (a,b)				f	'	(x0) равна 0 или не существует(вчастно-
сти равна ).		0

Точки, где производная функции равна 0 или не существует, называются критическими точками функции. Пример y x3 показывает, что критиче-

ские точки не обязательно являются точками экстремума.

Теорема16.4.(достаточноеусловиеэкстремума).Пустьфункция f (x) не-

прерывна в окрестности точки x0 и в некоторой окрестности точки x0 (кроме, разве что, самой точки x0 ) имеет конечную производную f '(x). Тогда, если при переходе через точку x0 слева направо производная f '(x) меняет знак с на (с на ), то в точке x0 функция f (x) имеет максимум (минимум); если при переходе через точку x0 производная f '(x) знака не меняет, то в точке x0 экстремума у функции f (x) нет.

Теорема 16.5. (достаточное условие экстремума в терминах второй производной).

Пусть f '(x) существует в окрестности точки x0 и f ' x0				0, и существует
f '' x	. Тогдаесли f '' x	0,то x	–точкамаксимума f	(x); если f ''(x ) 0,
0	0	0		0
то x0	– точка минимума f (x).

Теорема 16.6. (достаточное условие экстремума в терминах производных высших порядков).

Пусть f ' x0 f '' x0	f (n 1)	x0 0,	а f (n) x0 0. Тогда при	n
четном, если f (n) x0	0, то x0 –	точка максимума, если f (n) x0 0, то x0		–

точка минимума f (x); при n нечетном экстремума у f (x)в точке x0 нет.

Теорема 16.7. (метод нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке). Для этого нужно найти все критические точки функции на этом отрезке, вычислить значения функции в этих точках и на краях отрезка и взять наибольшее и наименьшее из этих значений.

16.2. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

16.2.1. Найтиинтервалывозрастания/убыванияиточкиэкстремумафункции f x x2e x .

Решение. f ' x 2xe x x2e x e x х(2 x) f ' x 0

при x 0 и при

x 2. Т.к. f '(x) всюду непрерывна, знак f '(x) может меняться лишь при переходе через эти точки. Знаки f '(x):

_ + _

0 2 Рис. 16.1

,0 – функция убывает; 0,2 – функция возрастает; (2, ) – функция убывает; x 0 – точка минимума; x 2 – точка максимума функции.

16.2.2. Найти точки экстремума функции y 33 x2 x2.

1		1			4	4
1						4
Решение. y' 3 2x 3 2x 2			x		21 x3	; 1 x3	0 x4 1;
Решение. y' 3 2x 3 2x 2			x		21 x3	; 1 x3	0 x4 1;
3	3 x				3 x
x 1. Критические точки:	x 1,			x 0 (в этой точке производная не
существует. Знаки производной:				89
				89

–1

Рис. 16.2

x 1 – точка максимума

x 0 – точка минимума, в которой

2 ;

касательная вертикальна

;

x 1 – точка максимума

2 .

16.2.3. Найти точки экстремума функции

y 2sinx cos2x.

Решение.

В силу периодичности f (x)рассмотрим только отрезок

0,2

,x2

3 ;1 2sinx 0,sinx

5 ;

cosx

2cosx 2sin2x 2cosx

4sinxcosx

2cosx(1

2sinx) 0;

y 2 2sinx2 4cos2x ;

6 ,

y''

2 4 0; y'' 3

2 4 0

и x

– точки минимума;

'' 5

y 6

1 2 0; y 6

1 2 0 х3

и x4

– точки максимума.

16.2.4.

Пусть y f (x) ex e x

2cosx.

f ' x

e x 2sinx

x 0

стационарная точка, т.е. f ' 0 0 (могут быть и другие стационарные точки). Исследовать функцию на экстремум в этой точке.

Решение.	f '' x ex	e x 2cosx ; f '' 0 0 – теорема 16.5. ответа на вопрос
не дает;	применим	теорему	16.6.:	f ''' x ex e x 2sinx ; f ''' 0 0;
f IV x ex e x 2cosx ; f IV 0			4 0	x 0 – точка минимума.

16.2.5. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

Решение. Пусть R – радиус шара. Нужно найти r – радиус основания цилиндра и h – высоту цилиндра.

Рис. 16.3 90

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб117вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб132Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб207Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб140Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб141СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб134Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб131таблица производных и дифференциалов.pdf