Райцин / Практикум 1. 2-е

дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри от-

резка

a,b

найдется хотя бы одна точка c , a c b , что

а с

b х

Рис. 9.7

Теорема Коши. Если

f x

и g x –

функции, непрерывные на a,b и

дифференцируемыена a,b ,и g x 0

на a,b ,тона a,b найдетсятакая

точка x c , a c b ,

f b f a

f c

что

.

g b g a

g c

В приведенных ниже примерах приближенные значения выражений вы-

числяются по формуле y x

y x0

y x0 x x0 . Эта формула получена из

определения дифференциала y x0

x

y x0 dy x0 o x , или в

других обозначениях y x y x0

dy x0 o x x0 ,

x x x0 .

10.4.2. Вычислить приближенное значение

10 .

Решение. Для вычисления

10 рассмотрим функцию y

x , найдем рядом с

точкой x 10 точку x0 , в которой значение

x0 вычислялось бы точно. Этой

точкой является точка x0 9. Производная функции y

1

x

в точке x0 9

1

2

9 6 , и значение функции f 9 3, тогда по формуле вычисления

равна y

приближенных значений получим:

10 3 1 10 9 3,16.

6

1

рем x0 1, тогда

y 1 4 и значение производной

y

arctgx

в

1 x2

точке x0 1 равно

y 1 0,5. По формуле вычисления

приближенных

значений имеем:

arctg1,05 0,5 0,05 0,81.

4

0

Решение. Рассмотрим функцию y cosx . Так как 31

6

, то положим

180

x

и вычислим в этой точке значения функции и ее производной:

0

6

3

, y cosx sinx ,

1

y

cos

y

sin

.

6

6

2

6

6

2

ции вычисляется по формуле yx

yx t .

xt

yx b tgt

при

t

2k 1

и

xt 3a cos2 t sint .

a

2

Вычислим yx b

1

и подставим yx

и xt в формулу для производ-

t

a cos2 t

t

ной второго порядка параметрически заданной функции:

b

1

a

b

1

yxx

cos2 t

.

3a cos2 t sint

3a

cos4 t sint

цию по x , считая

y зависящим от

x :

y 1

1

y , и выразим

y из полу-

y

ченноговыражения y

y

.Затемповторнопродифференцируем последнее

y 1

равенство по x , считая y зависящим от x :

y

y 1

y

y y

y

y

.

y 1

2

y 1

2

y 1

Найдем производную x функции y x ln y . Полагая

x зависящим от y ,

1

дифференцируем по аргументу y и определяем x

y , затем выражаем

: 1 x

x

:

y 1

. Продифференцируем полученное

выражение x

по y и,

y

x

подставив вместо производной x его значение, получим:

1

1y 1

y 1

10.4.8.

x

y2

y2 .

Укажите,

для

каких

функций

выполняется

теорема

Ролля:

а)

f x 1 3

x2

на отрезке 1,

1 ;

б)

f x

lnsinx на отрезке ,

5

; в)

x 1

на отрезке 1, 1 .

6

6

f

x

Решение.

а) Функция f

x 1 3

x2

непрерывна на отрезке 1, 1 и

f 1 f 1 0

3

2

2

. Производная функции

f

x

1

x

33 x

существует во всех точках,

кроме

точки

x 0,

которая

принадлежит

отрезку

1, 1 ,

следовательно,

условия теоремы Ролля не выполняются.

б)

Функция

f

x lnsinx непрерывна

на

отрезке

,

5

и

f

f 5

6

6

ln2.

Производная

функции

f x lnsinx ctgx

6

6

,

5

существует

во

всех точках отрезка

. Условия

теоремы Ролля

6

6

, 5

выполняются:

f x

0

в точке

на отрезке

.

2

6

6

в) Функция

f

x

1

x

1 x при x 0,

непрерывна на отрезке

1, 1

и

1 x при x 0

f 1 f 1 2. Производная функции f x

в точке x 0

не существует,

так как

односторонние

производные

функции в

точке

x 0 не

равны:

f 0 0

1, f 0 0 1. Следовательно, условия теоремы Ролля не выпол-

10.4.9.

Удовлетворяют

ли

функции

f x x2

2x 3

и

g x x3

7x2 20x 5 условиям теоремы Коши на отрезке 1,

4 ? Найти со-

ответствующее значение .

Решение.

Функции f x x2

2x 3

и g x x3

7x2 20x 5 непрерывны

на R, значит, и на отрезке 1,

4 . Функции являются дифференцируемыми

f x 2x 2 и

g x 3x2

14x 20

для всех x R и g x 0. Определим

из уравнения

f 4 f 1

f

или 11 2

2 2

для 1,

4 .

g 4 g 1

3 2 14 20

g

27 9

Решив последнее уравнение, получим 1 2 1, 4

, 2 4 1, 4 .

Ответ. Функции

f x x2 2x 3 и g x x3 7x2 20x 5 удовлетворяют

10.3.3. ey xy e . Найти yxx 0,1 .

10.3.4. x3 2x2 y2 5x y 5 0. Найти

yxx 1,1 . 10.3.5. x 2t t2 / t 1 ,

y t2 /t 1. Найти yxx 0,4 .

10.3.6. x ln 1 sint , y ln 1 cos2t . Найти yxx ln 3/ 2 ,ln 1/ 2 .

10.3.7. y x2 x 1 e x . Найти d 2 y .

10.3.8. y xx . Найти d 2 y .

10.3.10. Удовлетворяет ли функция f x 3 x 1 2

на отрезке 0,2 усло-

виям теоремы Ролля?

ной точки a ; б)lim f x limg x 0

или lim f x limg x ;

x a

x a

x a

x a

вуют конечные производные

x 0;

f (x) и

g

(x), причем g

г) существует (конечный или нет) lim

f (x)

k .

x a

g (x)

Тогда существует lim

f (x)

k, т.е. lim

f (x)

lim

f (x)

.

g(x)

x a

g(x)

x a

x a

g (x)

итоге, при соответствующих условиях, lim

f (x)

lim

f (n)(x)

;

g(x)

g(n)(x)

x a

x a

lim

f (x)

может существовать и тогда, когда lim

f '(x)

не существует.

g(x)

g'(x)

x a

x a