Райцин / Практикум 1. 2-е

ЗАНЯТИЕ 4.

4. СРАВНЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 4.1. Бесконечно малые функции и их сравнение

Определение 4.1. Функцию x называют бесконечно малой при x a или при x , если

Если lim x 0, то это значит, что для любого наперед заданного произ-

a 0

вольномалогочисла 0 найдетсячисло 0 такое,чтодлявсех x ,удовлетворяющих условию x a , будет удовлетворяться неравенство

x .

Например, функция x x 1 2 есть бесконечно малая при x 1, так

4.1.1.Основные свойства бесконечно малых функций

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – функция бесконечно малая.

2.Произведение ограниченной функции (или константы) на функцию бесконечно малую - функция бесконечно малая.

3.Произведение конечного числа бесконечно малых функций - функция бесконечно малая.

4.1.2.Сравнение бесконечно малых функций

31

Заметим, что частное двух бесконечно малых функций, может быть какой угодно функцией, даже – бесконечно большой.

Пусть x и x - бесконечно малые (б.м.) функции при x a .

Определение4.1. Если lim x 0,то x -б.м.болеевысокогопорядка,

x a x

чем x .

Определение 4.2. Если lim x , то x называют б.м. более низкого

x a x

порядка, чем x .

Определение 4.3. Если lim x q 0, то x и x - б.м. одного по-

x a x

рядка малости.

Если q 1,то x и x называютэквивалентными(илиравносильными) б.м. и обозначают знаком , т.е. x x .

порядка малости относительно x .

4.1.3. Связь бесконечно малых функций с функциями бесконечно большими

Теорема 4.1. Если функция f x - бесконечно-большая при x a , то функ-

Теорема 4.2. Если x - б.м. функция при x a и в некоторой окрестности a ,a точки a ( кроме, быть может, самой точки a ) x 0, то

4.1.4. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях

были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность при x a была бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем каждая из них.

Заметим, что теорема 4.3. имеет место не только для б.м. функций. Так, при вычислении предела частного двух функций полезна следующая обобщающая теорема

Таблица наиболее известных эквивалентных б.м. функций при x 0

случае, когда f x x , символ o x выражает множество б.м. функций более высокого порядка малости при x a по сравнению с x .

Пользуясь таблицей эквивалентных б.м. функций и теоремой 4.4, можно получить полезные формулы, справедливые при x 0

sin x x o x ; cos x 1 x22 o x2 ; tg x x o x ; ex 1 x o x ;

ln 1 x x o x ; 1 x m 1 mx o x .

Эти формулы называют асимптотическими, поскольку эти равенства имеют место лишь при x 0.

4.2. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

Обратите внимание, что в случае разности бесконечно малых, отдельные слагаемые менять на эквивалентные при вычислении предела отношения в общем случае нельзя. Такая замена может привести к неправильному результату.

4.2.3. Вычислить limtgx 3sinx .

x 0 x

Решение. Если использовать эквивалентности из таблицы известных эквивалентностей, то при x 0, получим

34

то видно, что последний предел не обязательно равен нулю, так как числитель не является бесконечно малой более высокого порядка, чем x3 .

4.3. Задачи для самостоятельного решения

35

Ответы: 4.3.1. a) 10,25; б) 0,145; 4.3.2. 1/2; 4.3.3. 3/ 4; 4.3.4. ; 4.3.5. 1;

4.3.6.e ; 4.3.7. 3/ 2; 4.3.8. 1/3; 4.3.9. 1; 4.3.10. 2; 4.3.11. 1; 4.3.12. 1.

ЗАНЯТИЕ 5.

5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

5.1 Непрерывность функции в точке

определена в точке x0 , а если она определена в этой точке, то значение f x0

никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f x0 существует, и это значение должно быть равно

36

lim f (x).

x x0

этому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотостиокрестности 0 x x0 .

Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим x x x0 , эту величину будем называть прираще-

нием аргумента. Так какx x0 , то x 0, т.е. x – б.м. (бесконечно малая) величина. Обозначим y f x f x0 , эту величину будем называть приращением функции, так как y должно быть (при достаточно малых x ) меньше произвольного числа 0, то y тоже б.м. величина, поэтому

Определение 5.1.3. Пусть функция y f x определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f x называется непрерывной в точке x0 ,

если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Определение 5.1.4. Функция f x называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности xn точек области определения, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции f (xn ) сходится

к f(х0): lim f (xn ) f limxn f (x0).

n n

Определение 5.1.5. Функция f x не являющаяся непрерывной в точке x0 , называется разрывной в этой точке.

Определение 5.1.6. Функция f x называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

37

5.2. Основные теоремы о непрерывных функциях

g x0 0).

Теорема5.2.2.(Опереходекпределуподзнакомнепрерывнойфункции).

Теорема 5.2.3. (О непрерывности суперпозиции непрерывных

непрерывна в точке x0 . Тогда сложная функция y f (t) непрерывна в точке t0 .

Односторонняя непрерывность

Определение 5.2.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева,

если f (x0 0) lim f (x) f (x0).

x x0 0

Определение 5.2.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа,

если f (x0 0) lim f (x) f (x0).

x x0 0

Определение 5.2.4. Если одно из этих условий не выполнено, то функция f x имеет в точке x0 разрыв, соответственно, слева или справа.

Если функция определена на отрезке a,b , то в левом конце отрезка x0 a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце

38

x0 b о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f x непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа (доказать самостоятельно).

5.3.Непрерывность и разрывы монотонной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Следствие 1. Если множество значений монотонно возрастающей на

непрерывна на отрезке a,b и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то найдётся точка c a,b , в которой функция обращается в нуль: f c 0, a c b .

Теорема 5.3.3. (О промежуточном значении). Если функция f x непре-

рывна на отрезке, и в двух точках a и b a b принимает неравные значения A f a B f b , то для любого числа C , лежащего между Aи B , найдётся точка c a,b , в которой значение функции равно C : f c C .

Теорема 5.3.4. (Об ограниченности непрерывной функции на отрезке).

Если функция f x непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

39

Теорема 5.3.5. (О достижении минимального и максимального значе-

ний). Если функция f x непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Следствие 2. Из предыдущих теорем следует: множество значений непрерывной на отрезке a,b функции заполняет весь отрезок m,M , где

Теорема 5.3.6. (О непрерывности обратной функции). Пусть функция y f x непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке a,b . Тогда

наотрезке m,M существуетобратнаяфункция x g y ,такжемонотонно возрастающая (убывающая) на m,M и непрерывная.

5.4. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

f 1 0 f 1 0 f 0 1, то функция непрерывна и при x 1 Функция

непрерывна на всей числовой оси.

5.4.2.Построить пример функции, определенной для всех значений x и непрерывной только при x 0.