Райцин / Практикум 1. 2-е

16.2.6. Найти размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы наоблицовку его стен и дна пошло наименьшее количество плитки.

Критическая точка: x 4, знак производной при переходе через эту точку слева направо меняется с – на + , значит это точка минимума функции. Т.к. на всем промежутке изменения переменной x 0; других критических точек у функции нет, в этой точке функция принимает наименьшее значение. h 32x2 1632 2 искомые размеры бассейна это 4 4 2.

16.3.Задачи для самостоятельного решения

16.3.1.Найти экстремумы функции y x 5 2 3 x 1 2.

16.3.2.Найти экстремумы функции y x2 2x lnx 32x2 4x.

91

16.3.3. При каком значении a функция f (x) asinx 13sin3x будет иметь экстремум в точке x 3 ? Будет ли это максимум или минимум?

16.3.6.Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

16.3.7.Корабль стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега. С корабля нужно послать гонца в лагерь, расположенный на берегу в 15 км от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость гонца пешком 5 км/час, а на веслах 4 км/час. В каком пункте берега должен пристать гонец, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

Максимум, равный -11. 16.3.5. 2R3 3 . 16.3.6. 4R . 16.3.7. В 3 км от лагеря.

ЗАНЯТИЕ 17 ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

17.1. Определения и формулировки теорем

Определение17.1.Кривая y f (x) называетсявыпуклой(вогнутой)вточке M0(x0, f x0 ), если в некоторой окрестности точки M0 все точки кривой лежат под (над) касательной, проведенной в точке M0 (то есть ординаты точек

кривой ( ) ординат соответствующих, точек касательной). Кривая выпукла (вогнута) на интервале, если она выпукла (вогнута) в каждой точке этого интервала.

Определение17.2. Точка M0(x0, f x0 ) называется точкой перегиба кривой y f (x), если в каждой ее окрестности есть и точки кривой, лежащие над

касательной, и точки кривой, лежащие под касательной (проведенной в точке M0 ). В точке перегиба кривая пересекает касательную.

92

Определение 17.3. Пусть дана кривая, которая в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Прямая линия называется асимптотой этой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой стремится к 0 при движении M вдоль кривой в бесконечность.

Аналогично при x .

Примерная схема исследования функции

1.Найти область определения функции и выяснить поведение функции на ее границе.

2.Выяснить, не является ли функция четной (график симметричен относительно оси OY), нечетной (график симметричен относительно начала координат) или периодической (график строится на интервале длиной в период, а затем продолжается по периодичности).

3.Исследовать функцию на непрерывность.

4.Найти асимптоты графика функции.

5.Найтиточкиэкстремумафункции,выяснитьзначенияфункциивэтихточках. Установить интервалы возрастания и убывания функции.

6.Найти точки перегиба графика, вычислить значения функции и ее первой производной в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

7.Используя результаты исследования, построить график функции.

При необходимости можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек (в частности, координаты точек пересечения с осями

OX и OY ).

17.2. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

17.2.1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой y 3 x 2.

93

x 2, кривая выпукла, M0( 2,0) – точка перегиба исходной кривой.

17.2.2. Найти асимптоты кривой y 3x2 . x 1

Решение. Вертикальная асимптота: x 1 ( lim 3x ;

x 1 0 x 1

y 3x 3 – асимптота (при x ).

17.2.3. Исследовать функцию из задачи 17.2.2. и построить ее график.

Решение. Функция определена для x 1, в точке x 1 имеет разрыв второго

рода, график функции имеет вертикальную асимптоту x 1 и наклонную асимптоту y 3x 3 при х .

возрастает на ( ,0) и (2, ) и убывает на (0,2), х 0 точка максимума

(в ней у 0),х 2 точка минимума (в ней у 12).

выпукла), точек перегиба график не имеет, т.к. наша функция разрывна в точке х = 1. График функции имеет вид:

94

Рис. 17.1

График не пересекает наклонную асимптоту (в противном случае он бы имел точки перегиба при х >1 или при х < 1, а таких точек нет).

17.2.4. Исследовать функцию y x 2 arctg x и построить ее график.

Решение. Функция определена для всех х и является нечетной; она всюду непрерывна – вертикальных асимптот нет. Наклонные и горизонтальные

возрастает на ( , 1) и (1, ) и убывает на ( 1,1); х 1 точка максимума,

в ней у = 12 4; х = 1 точка минимума, в ней у =12 4 .

у 2х(1 х(12) х(2х)22 1)2х (1 4хх2)2 , а это выражение > 0 при х > 0 (вогнутость) и < 0 при х < 0 (выпуклость), (0;0) – точка перегиба графика. График функции имеет вид:

95

Рис. 17.2

17.2.5. По данному графику функции (см. рис. 17.3) построить график ее производной.

Решение:

Рис. 17.3

96

Там, где функция возрастает (убывает), ее производная положительна (отрицательна); в двух точках максимума и одной точке минимума производная равна 0; точки перегиба графика функции - точки экстремума производной (при переходе через них вторая производная - производная отпервойпроизводной,меняетзнак);вточкахбесконечногоразрыва функции ее производная тоже имеет бесконечный разрыв; если y kx b асимптота

графика функции, то y k асимптота графика производной.

17.3.Задачи для самостоятельного решения

17.3.1.При каких значениях a и b точка (1,3) будет точкой перегиба кривой y ax3 bx2? Исследовать функции и построить их графики:

17.3.2.y x3x4 1. 17.3.3. y x3e x . 17.3.4. y2 1 x2 3 .

17.3.5. По графику функции построить график её производной:

Рис. 17.4.

Ответы: 17.3.1.a 32, b 92. 17.3.2. Определена при x 1, асимптоты x 1

, график симметричен относительно обеих осей координат, асимптот нет,

ЗАНЯТИЕ 18.

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ . НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

18.1. Основные понятия. 18.1. Основные понятия.

Определение 18.1.1. Переменная u называется функцией n переменных x1,x2,...,xn , если каждой совокупности чисел (точке) M x1,x2, xn из

множества D Rn (D область определения) ставится в соответствие одно значение переменной u U ( U множество значений).

Обозначения: u u x1,x2, xn ,u f x1,x2, xn и др.

Определение 18.1.2. Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она принимает действительные значения.

Простейшим случаем функции нескольких переменных является функ-

ция двух переменных.

Определение 18.1.3. Графиком функции двух переменных u f x;y

называется множество точек пространства R3 , удовлетворяющих условию:

x;y; f x,y .

Определение 18.1.4. Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая области определения, в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение: f x,y c.

Определение 18.1.5. Число А называется пределом функции u f x;y в

точке М0 x;y , если для любого 0, 0, такое что, как только расстояние М0М ( ), выполняется условие F M F M0 .

98

Определение 18.1.8. Если функция непрерывна в окрестности точки, а в самой точке не выполняется условие непрерывности, то точка называется

точкой разрыва.

18.2. Частные производные.

Определение 18.2.1. Производная от функции u f x,y,z t , взятая по x ,

в предположении, что все остальные аргументы являются постоянными, называется частной производной от u по x , и обозначается

Аналогично определяются частные производные по каждому из остальных аргументов.

Определение 18.2.2. Частные производные от частных производных (если они существуют) называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от данной функции.

Определение 18.2.3. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка от данной функции (и так далее).

Теорема 18.2.4. В случае непрерывности результат повторного дифференцирования функции двух переменных не зависит от порядка дифференцирования.