Вопросы к экзамену по курсу высшей математики
I Теория пределов и непрерывность функции
II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Определение производной. Ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к кривой
..Связь между существованием производной и непрерывностью функции в точке. Пример непрерывной функции, не имеющей производной в точке.
Производная суммы, произведения, частного.
Производная сложной функции.
Определение обратной функции. Производная обратной функции.
Гиперболические функции и их свойства..
Производные функций
(вывод формул).
Дифференцирование неявных функций.
Логарифмическое дифференцирование.
Дифференциал. Геометрический смысл.
Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
Параметрическое задание функций. Дифференцирование параметрически заданных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков и их свойства. Формула Лейбница для производной произведения.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
Раскрытие неопределенности. Теоремы Лопиталя (случай неопределенности
).Раскрытие неопределенностей типа
Ф
ормула
Тейлора для функции с остаточным членом
в форме Пеано и в форме Лагранжа.Условие разложимости функций по формуле Тейлора..Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена функций
.Достаточное условие монотонного возрастания (убывания) функции на интервале.
Максимальное и минимальное значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.на отрезке.
Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума (сформулированные а) с помощью первой производной , б) с помощью второй производной.
Выпуклость, вогнутость кривой на интервале. Достаточные условия. Точки перегиба.
Существование и нахождение асимптот у графика функции.
Общий план исследования функции и построения ее графика.
III. Функции многих переменных
Основные понятия. и определения. Предел и непрерывность функций многих
переменных. Свойства непрерывных функций.
Частные приращения и частные производные функций многих переменных.. Геометрическая интерпретация. Дифференцируемость функций многих переменных в
точке. Полное приращение и полный дифференциал.
Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Полная производная. Частные производные сложной функции. Дифференцирование неявных функций.
Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка функций многих переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Поверхности уровня. Производная по направлению и градиент, связь между ними.
Уравнение кривой в пространстве. Касательная к пространственной кривой.
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
Формула Тейлора для функции двух переменных. Исследование функции двух
переменных на экстремум. Необходимое и достаточное условия. Условный
экстремум, функция Лагранжа.
IV. Интегральное исчисление функции одной переменной
Определение первообразной. Теорема об общем виде семейства первообразных для данной функции. Определение неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Замена переменного в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби (формулировка правила и его применение).
Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы вида
.Интегралы вида
(
- рациональные числа).Интегралы вида
.И
нтегралы
вида
10. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Необходимое и достаточное условие существования. Геометрический смысл.
11. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
12. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу.
13. Формула Ньютона-Лейбница.
14. Вычисление определенного интеграла подстановкой. Интегрирование по частям.
15. Вычисление площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
16. Вычисление объема тела по площади поперечных сечений. Объем тела вращения
(относительно оси 0Х и 0Y).
17. Длина дуги плоской кривой в декартовой и полярной системах координат.
18. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Теоремы .о сходимости.Сходимость интеграла
1
9.
Несобственный интеграл от разрывной
функции. Теоремы о сходимости. Сходимость
интеграла вида
