Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / СИДЗ_1 (высшая матеиатика)

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

ВАРИАНТ 30

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1.	16 x2				4.
			dx ;
	x4
2. xtg2 xdx ;					5.
3.	5x 3			dx ;	6.
	2
	2x	4x 5

II. Вычислить определенные

x3 x 1		dx ;
	x4 x2

	xdx	;
	4x 3 x2

tgxdx . sin2 x 3cos2 x

интегралы:

2x 1

1. 0

4. 1

;

dx ;

1 2sin2 x

x3 x

ln 1 x dx

2. xsin xdx ;

1 x

sh2

;

1 x

sh1

III. Вычислить несобственные интегралы:

arctg 1 x dx

;

3. xln sin x dx.

3 1 x

;

x 3x

2x 1

Определить сходимость несобственных интегралов:

		x3				3	dx						1	dx
		x3					dx						1	dx
4. arctg								2	;	5. sin					.
4. arctg				2			x	2	;	5. sin					.
0		1 x					x				0	cos x		x
IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
	y 2x2ex ,										2	2sin 2 ,
1.	y 2x2ex ,								2.		1,
1.		3	x		.				2.		1,
	y x		e		.						1.
											1.

3.Вычислить длину дуги всей кривой y2 8x, расположенной в вертикальной полосе, левее прямой x 2 .

4.Решение типового варианта

I.Вычислить неопределенные интегралы:

																																													3
					1.							arctg2x															1																	1 arctgx 2							1		3
																						dx 2								arctg2x darctg2x														2	3		C				3	arctg		2x C.
												1 4x2										dx 2								arctg2x darctg2x														2	3		C				3	arctg		2x C.
							arccos x																																						2
					2.		arccos x									dx					2 arccos x d															1 x 2						1 x arccos x 2									1 x d arccos x
					2.					1 x						dx					2 arccos x d															1 x 2						1 x arccos x 2									1 x d arccos x
					=		2						1 x arccos x 2																		1 x							dx 2				1 x arccos x 2								d 1 x
					=		2						1 x arccos x 2																		2							dx 2				1 x arccos x 2
																															1 x																				1 x
					= 2							1 x arccos x 4																	1 x C.
3.					2x 1										dx												2x 1										dx
3.					x2 x 4										dx													1		2		15					dx
																										x		2					4
																												2					4
Сделав замену x																					1			t; х t 1									;			dx dt, получим:
																					2										2
																							2				15
		2t 1 1																d		t							4									dt								15							15
																		d		t
											dt																		2											2		t2			2ln	t				t2
											dt																		2											2		t2		4	2ln	t				t2
				t2		15																t	2				15							t2					15					4							4
				t2		4																t	2				4							t2					4
						4																					4												4
C 2													1		2					15					2ln						1									1 2			15				x	2	x 4
C 2							x						2								4				2ln			x			2						x						4	C 2			x		x 4
													2								4										2									2			4

2ln									1						x	2			x
2ln					x				2						x				x				4 C.
									2
							x4 1												dx										2x3 2x2 2x
								2					2																					2				2
4.				x 1				2		x				1													1		x 1					2							dx
				x 1						x				1															x 1						x 1
Так как подинтегральная дробь не является правильной,
то разделим числитель на знаменатель
	x2 2x												x2								x4 2x3 2x2 2x 1
	x2 2x								1				x2				1				x4 2x3 2x2 2x 1
	_ х4																										1
			х4 2х3 2х2																	2х 1
							2х3 2х2																2х

Теперь разложим полученную правильную дробь на простые:

		2х3 2х2 2х																					А										В							Сх D
	х						1 2			х2												х 1							х 1 2												x2 1

														1
		2x3 2x2 2x A x 1																																														Cx D x 1 2 ;
		2x3 2x2 2x A x 1																														x2 1 B									x2 1							Cx D x 1 2 ;
		при х 1 отсюда																									2 2 2 2В; В 1;
		2х3 2х2 2х А																						х3 х2									х							В										С			х3 2х2 х									D			х2 2х
		2х3 2х2 2х А																						х3 х2									х					1		В					х2 1					С			х3 2х2 х									D			х2 2х		1 ;
Приравнивая коэффиценты при одинаковых степенях х слева и справа
при B 1 имеем:
		А С 2																															А С 2
					А		В 2C D 2																														2C D									3
					А		В 2C D 2																					или					A				2C D									3				решаем систему методом Гаусса.
																												или																						решаем систему методом Гаусса.
		A					C 2D												2														A				C 2D									2
							B D 0																														D 1
		A					B D 0																										A				D 1
		1 1 0										2						1 1 0										2							1 1 0									2			1 1 0					2


												3														0 1 1		1								0 1 1								1				0 1 1				1
		1 2 1										3														0 1 1		1								0 1 1								1				0 1 1				1
					1 1 2							2														0 0 2		0								0 0 2								0				0 0 2				0


												1														0 - 1 1										0 0 2								0				0 0 0				0
		1 0 1										1														0 - 1 1		-1								0 0 2								0				0 0 0				0
		Таким образом D 0, С 1, А 1 и наш интеграл равен																																																											d x2 1
													dx											dx												x													d x 1									d x 1							1
		dx																																					dx x																						d x2 1					2
		dx									x 1										x 1 2													x2 1					dx x												x 1								x 1 2				x2 1			2
																							1						1							2
																							1						1							2
			x ln										x 1																2 ln x								1 C.
																				x 1																																									t6 1
																				x 1
5.														dx																	Сделаем замену																	6 3x 1 t; x																; dx		2t5dt
														dx
			2					3x 1 33 3x 1																																																					3
			2					3x 1 33 3x 1																																																					3
					2t5dt														2t3						dt								Делим числитель на знаменатель "углом"
					2t5dt														2t3
				2t3 3t2													2t 3
				2t3 3t2													2t 3													d 2t 3													t3			3t2
						2			3						9									27																											9t			27
						2			3						9									27																											9t			27
			t									t				dt									8																																ln		2t	3		C
			t						2			t			4	dt																	2t 3									3				4					4				8		ln		2t	3		C
									2						4																		2t 3									3				4					4				8
		1				3x 1									3 3 3x 1 9 6																		3x 1								27 ln					2 6 3x 1 3										C.
		1				3x 1									3 3 3x 1 9 6																		3x 1								27 ln					2 6 3x 1 3										C.
		3													4												4															8
		3													4												4															8

																											2																											2
6.		cos xcos 2xcos 4xdx 1																												cos3x cos x cos 4xdx 1																									cos3xcos 4xdx
	1	cos xcos 4xdx																				1	cos7x cos x dx 1 cos5x cos3x dx
	2																					4																		4
	1					cos7xd7x														1		cos xdx											1			cos5xd5x									1			cos3xd3x
	28					cos7xd7x														4		cos xdx										20				cos5xd5x								12				cos3xd3x
	28																			4												20												12
	1					sin 7x										1		sin 5x								1			sin 3x								1 sin x C.
	28					sin 7x										20		sin 5x							12				sin 3x								1 sin x C.
	28															20									12												4
II. Вычислить определенные интегралы:
																																											x2 x 1													A						B					C
																																											x2 x 1													A						B					C
																																																																					;
																																									x x 1 x 1															x				x 1							x 1		;
																																									x2 x 1
	4		x				2	x					1							4				x		2		x 1												A x 1 x 1 Bx x 1 Cx x 1
1. 2			x					x					1				dx			2				x				x 1									dx				x 0 : 1 A; A 1
1. 2							x3 x										dx			2	x x 1 x 1																dx				x 0 : 1 A; A 1
																																									x 1: 1 2B; B																1
																																																									2						1
																																									x 1: 1 2C; C																						1
														d x 1														d x 1																																			2
	4 dx								1				4										1			4									ln				x		24 1 ln						x 1							24		1 ln			x 1							24


	2
	2			x						2			2				x 1						2			2			x 1												2														2
ln 4 ln 2																	1 ln 3					1 ln 5								1 ln 3 ln 4 ln 2 ln 3 1 ln 5 ln																															6				.
ln 4 ln 2																	1 ln 3					1 ln 5								1 ln 3 ln 4 ln 2 ln 3 1 ln 5 ln																																			.
																2						2								2																					2												5

2.		4			xtg2 xdx														Пусть х и dx du,																						tg2 xdx dv v tg2 xdx
2.					xtg2 xdx														Пусть х и dx du,

		0

		1 cos2 x																			dx																																		4


															dx														dx tgx x												x tgx x												04 tgx x dx
					cos				2		x				dx					cos			2	x					dx tgx x												x tgx x												04 tgx x dx
					cos						x									cos				x																															0

																	4 d cos x									x2											2															2
																	4 d cos x									x2											2															2
			1														0	cos x											04									ln					cos x			04
	4		1						4																	2			04			4					16	ln					cos x			04					32
	4								4																	2						4					16														32
								2			ln						2							2						1	ln 2.
	4							32			ln					2				4				32						2	ln 2.
	4							32								2				4				32						2
			1																																															1
			1																																															1
			2									dx													Сделаем замену																	2		t								dt					2									dt
			2																						Сделаем замену																	2		t					t		2	dt					2
3.																																		1															t
3.												2																						1										1																			1
			1				x x						8x 2																		x t											3		1							8 2							3 t					1			8		2
							x x						8x 2																		x t											3				t2					8 2							3 t						t2		8		2
			3																																											t2					t													t2			t

	3									dt										1			3							dt									1			3			d t 2
	3				1 8t								2t		2						2		3					1	4t t2										2			3			9 t 2 2
	2				1 8t								2t								2		2					1	4t t2										2			2			9 t 2 2
																												2																	2
				1			arcsin									2 t 2										3				1			arcsin						2	.
				1												2 t 2										3				1									2
				2													3									2					2							3
				2													3														2							3
		Отметим, что при замене переменной меняются пределы интегрирования,
		и возвращаться к исходной переменной не нужно.
																									Сделаем замену																				tg		x	t,
																																															x
	2									dx																																					2
4.										dx																																					2
4.				2sin x							3cos x																							2t										1 t			2				2dt
	0 5			2sin x							3cos x															sin x								2t			,cos x							1 t				,dx			2dt
																										sin x						1 t2					,cos x							1 t2				,dx			1 t2
	1									2				dt													1				dt								1					dt					1			d			t	1
	1								1 t			2		dt													1												1										1
												2
																						2
														3 3t						2		2								2	4t					8					t	2	2t					4		t 1							2
	0		5						4t					3 3t													0 2t				4t					8			0		t		2t					4	0	t 1							3
			5					1	t2						1		t2
								1	t2						1		t2
				1				arctg			t 1							1					1					arctg							1
				1							t 1							1					1												1
																		0																											.
				3										3				0							3											3				6				3	.
				3										3											3											3				6				3
	2					2								2			x2 1
5.				x				1dx																dx
5.				x				1dx										x	2					dx
	1													1				x		1
Рассмотрим такой же неопределенный интеграл.
Согласно известной формуле,																																		x2	1				dx Ax B										x		2		1			K		dx
Согласно известной формуле,																																		x	2		1		dx Ax B										x				1			K		x	2	1
																																		x			1																					x		1
Дифференцируем обе части этого равенства:
x2 1						A x2 1 Ax B																											2 x									K				; x2 1 A								x2			1 Ax2 Bx K;
						A x2 1 Ax B																																								; x2 1 A								x2			1 Ax2 Bx K;
	x2 1																												2 x2							1					x2			1
	x2 1																												2 x2							1					x2			1

2А 1

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, отсюда В 0

А К 1

	А	1
	А	2
		2	2
			x 1		1 x x2		1	dx	1 x x2		1 ln	x x2
В		0 и	x 1	dx		1	1	dx		1			1	.
В		0 и		dx		1				1			1	.
		1	x2 1		2		2	x2 1	2		2
			x2 1		2		2	x2 1	2		2

	К 2
	К 2

Значит,

x2 1dx

1 x x2 1

1 ln

x2 1

1 ln 2

3 .

III. Вычислить несобственные интегралы:

d ln x

d ln ln x

1. е

e ln2 ln x

0 1 1.

xln xln

2 ln x

ln xln2 ln x

ln ln x

Здесь мы использовали справедливость формулы Ньютона-Лейбница и для несобственных интегралов.

2. 2

В этом примере следует заменить переменную:

10 x 3 2 x

3 2 х t; 2 x t3; x 2 t3; dx 3t2dt

Bt C

t3 8

t 2 t2 2t 4

t 2

t2 2t 4

3t2dt

tdt

t A t2

2t 4 Bt C t 2

dt 3

10 2 t3

t3 8

2 A 12;

t 2 :

A 6

A B 0; 4A 2C 0 B 16 ,C 13

							1					1 t			1									1							t			2
3							6					6 3				dt 3								1							t			2				dt
3											2					dt 3																		2				dt
										t	2	2t 4							6					t 2				t 1						2		3
			0	t 2						t		2t 4							6	0				t 2				t 1								3

1							1			u 3							1				1					u							3
														du																							du
2					u 3				u		2			du			2					3			u	2	3					u	2		3		du
2	1				u 3				u			3					2	1 u				3			u		3					u			3
1		ln				u 3		ln				u	2		3		3		arctg			u							1							u2 3



																										1				ln									1
																										1				ln									1
2																	3						3						2							u 3

t 1 u,

t u 1, = dt du

3arctg	u

		1

	3

1				ln	u	2		3		ln 2			3		arctg		u		3arctg	1


	2	lim			u 3						2			lim				3	3
		u												u
	1		ln1								3				3	2			3
		ln1					3
	2								2			6			2	3		3

(отметим, что здесь мы сначала объединили разность логарифмов в логарифм частного, а потом уже подставляли и ).


3.						x2e 2 x dx										А здесь мы будем несобственный интеграл брать "по частям"
3.						x2e 2 x dx										А здесь мы будем несобственный интеграл брать "по частям"

		0
	1							2			2 x							1				2			2 x													1				2 x				2			1		lim						x2			1				2 x
	1						x	2		de	2 x							1			x	2	e		2 x													1			e	2 x		dx		2			1								x2			1	2 e			2 x		xdx
							x			de											x		e									0									e			dx													e	2 x			2 e					xdx
	2				0													2																				2			0								2 x											2		0
	2				0													2																				2			0								2 x											2		0
				1								2x						1											2 x										1							1				1					2 x					1			2 x
				1								2x						1											2 x										1							1				1					2 x					1			2 x
				2 limx														2			0		xde																2 limx											2		xe							0	2		0			dx
				2 limx								e2 x 2						2			0																		2 limx						e2 x		2			2										2		0
																																																														e
				1			0				1		lim					x							1			e			2 x									=		1	lim					1						1			0		1	0				1			1	.
				1							1							x							1						2 x											1						1						1										1			1
																			2 x																	0													2 x
				2							2 x e															4																2 x					2e							4										4			4
				2							2 x e															4																2 x					2e							4										4			4
Определить сходимость несобственных интегралов:
									dx					2														dx																		dx
4.									dx																			dx																		dx
4.								3										x						1																						3
		1					x 1							1																x			2				x						2			x	1
		1					x 1							1																			2								1		2			x	1
																																									1
		К обоим интегралам (от неотрицательных функций) применим теорему
		сравнения в предельной форме. Первый из этих интегралов сравним со
																							1																							2		dx
		сходящимся																					2							1					интегралом											1							:
		сходящимся																												1					интегралом													x			1		:
																																																x			1
		lim														x 1																				1				0, . Значит, первый интеграл сходится.
		lim								x 1							x	2																		3				0, . Значит, первый интеграл сходится.
			x 1							x 1							x			x 1																3
		Второй интеграл сравним со сходящимся																																																						3					интегралом
		Второй интеграл сравним со сходящимся																																																						2		1			интегралом
																																																								2
+					dx								dx3		: lim															x				3
					dx																									x									1 0, .
					3																						x			3					1				1 0, .
	2						x				2		x2					x									x								1
																		x
		Значит, второй интеграл тоже сходится. В итоге, исходный интеграл
		сходится.
		2			ln 1 10								x
5. 0														dx
5. 0							esin x				1			dx
				Подинтегральная функция 0, т.к. 0																																												её числитель и знаменатель: 1 10 х 1;
		при х 0;2														sin x 0 esin x																							1.

Интеграл является несобственным из-за единственного на 0;2 бесконечного разрыва подинтегральной функции в точке 0:

esin x 1 sin x 0 x n; т.к. x 0;2 , то п 0.

Применяя эквивалентные бесконечно малые (или формулу Тейлора), имеем, что при х 0 ln 1 x x ln 1 10 x 10 x

sin x x e	sin x	1 e	x	1 x подинтегральная функция	10 х	.
					х

Значит, по теореме сравнения в предельной форме наш интеграл сходится или

2	2		dx
расходится одновременно с интегралом 0	10 х	dx 0		, а этот интеграл
	х		x9 /10

сходится,так как 109 1 исходный интеграл сходится.

При необходимости более строгого обоснования, согласно теореме сравнения

в предельной форме, нужно рассмотреть предел

lim

ln 1 10 x

10 x

lim

ln 1 10

: lim

esin x

lim

ln 1 y

sin x

х 0

x 0

y 0

lim

esin x cos x

1:1

1, что

x 0

(в первом пределе сделана замена 10 x y, во втором пределе использовано правило Лопиталя).

IV. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

	2			2		3			2		3		2
1. y		1	x				; y	1 x				Область определения х		1,	х	1;

кривая симметрична относительно обеих координатных осей.

S1 X

S 4S1			41				1 x2 3 dx				Замена х sin t, dx costdt


					0
												2
		2		3		2			1 cos 2t				dt	Используем формулу понижения
		2		3		2			1 cos 2t					Используем формулу понижения
4 cos					t costdt 4					2				степени и перехода к двойному углу
		0				0				2				степени и перехода к двойному углу

	2	1	2cos 2t cos2 2t dt									2 sin 2t				2	1 cos 4tdt	0 1

															2
										2		2			0		2	2	2	2
	0									2		2				2	2	2	2	2
		1 sin 4t								3 .

	1						02 3	0
	2	4					4			4
2. Окружностью r								3 sin и кардиоидой r 1 cos

r 3 sin , r 1 cos , т.е. нас интересует область,лежащая внутри обеих кривых

X 0

Точки пересечения кривых:
3 sin 1 cos : cos						3 sin 1;			1 cos			3	sin		1
3 sin 1 cos : cos						3 sin 1;			1 cos				sin		2
									2			2			2
cos		cos sin		sin	1	;				1	;			2	2 n
cos	3	cos sin	3	sin	2	;	cos	3		2	;	3		3	2 n
	3		3		2			3		2		3		3

2 n, и 3 +2 n;

, 3 , 5 , ,3 ,5 ,.... и 3 , 3 2 , 3 2 ,...

В пределах нашего чертежа, например, при 0; 2 , 3 и .


												1													1		3						1
Исходя из формулы S												1	r2 d ,					имеем: S							1		3	3sin		2 d			1	1 cos 2 d
												2													2		0						2
																																		3

	3	3	1 cos 2 d							1		1 2cos cos2 d
	4	0								2
											3
	3					3	sin 2			1							sin						1		1 cos 2 d
	3					3				1													1
	4		3			8			03	2				3									4
	4		3			8				2				3							3		4
																								3
				3 3					3		1							1														3 3			3	3
				3 3					3		1							1														3 3			3	3
																			sin 2
	4				16			3	2						3			8	sin 2							4			3		6	16			2	16
	4				16			3	2		4				3			8					3			4			3		6	16			2	16
	3				4 2				12 3			3				3 3				3				3			.
					12				16			4					4					4					.
					12				16			4					4					4
3.	Вычислить длину дуги петли кривой

x t t3

3y t2

Отметим, что хотя каждому значению t соответствует одна вполне определенная точка кривой, одной и той же точке кривой могут соответствовать разные значения параметра t .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб94вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб105Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб161Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб113Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб113СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб112Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб106таблица производных и дифференциалов.pdf