Райцин / СИДЗ_1 (высшая матеиатика)

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

tgx 2 /

2x

cos x

ln 2x 1

; б)

.

а) lim

lim

x

2

x 2

2.

Провести исследование и построить график функции y

18

x 2 2

.

x3

3.

Построить график функции в полярной системе координат r 2sin 3 .

5.

Вычислить y

28

функции

y

3

2x2

.

2x2

3x

2

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

1 x

1

x

x2

x3

,0 x 0,2 .

2

8

16

2

t

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x

в точке

t0 1

22t

y

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

1 2tgx ex x2

.

arcsin x sin x

x 0

10.

Применима ли теорема Ролля к функции f x 3 x2

3x 2 на отрезке 1;2 ?

Если да, то найти c .

11.

По графику функции построить график ее первой производной

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

2arctgx ln x ; б)

1

1 /

1 ln x

а) lim

lim

.

2

x

x 0

x

2.

Провести исследование и построить график функции y

e2 x

.

2

x

3.

Построить график функции в полярной системе координат

r

1 2sin 2

4.

На правой ветви квадратичной гиперболы

y

4 2

,

x 0 , найти точку C ,

ближайшую к началу координат.

x2

5.

Вычислить y 3 функции y x28 ln x .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x sin 2t

в точке

t0 0 и вычислить yxx x0 .

y et

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: 3

x 3

y 3 6 .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

1 2x3

cos x4

.

tgx

x

x 0

Вариант 30

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

/ 2

arctgx

; б)

lim

1 x

2

1 / ln x

.

ln

x

x

1 / 2

x 1 /

1

x

2.

Провести исследование и построить график функции

y

4x3

3x2 8x 2

.

2

3x2

3.

Построить график функции в полярной системе координат r

1 2cos2 .

приближенной формулы: arcsin x x

x3

, 0 x 0,5 .

6

1 t

2

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x

в точке

t t3

y

t0 2 и вычислить yxx x0 .

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: 3x 5 y2 .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x

1 sin x ln 1 x

.

x 0

tgx sin x

10. Удовлетворяют ли функции f x ex и

g x x2 / 1

x2

условиям теоремы

0

1

1 .

0

lim

x

x 1

ln x

1

2

x

2x

2

lim ln y lim 2x ln tgx lim

ln tgx

lim

2x

1

2tgx cos

2

x

x 2 0

x

2 0

x 2 0

x 2 0

2x

2

2x

2

0

2 2x 0

lim

lim

0.

lim

0

sin 2x

x 0

2sin xcos x

x 0

x

0

2cos 2x

1

2

lim

y 1.

2

2

Значит,

x 0

2

k lim

x 2arctgx

1 2lim arctgx

1,

x

x

x

x

b lim

x 2arctgx x 2 lim arctgx 2

,

2

x

x

т.е. при x асимптотой является прямая

y x , а при x

асимптотой является прямая y x .

2

x

2

1

x 1

x 1

Далее имеем: y

1

1 x2

1 x2

1 x2

; знаки

y

:

1

1

мума:

y 1 1

2

1

0,57,

y 1 1

2

1

0,57,

4

2

2

4

2x 1 x

2

x

2

1 2x

4x

y

;

2

2

2

2

1 x

1 x

знаки y :

т.е. график функции будет выпуклым на

График строится “по точкам” с учетом того, что r

возрастает при

0

, то есть при 0

3 , и убывает при

, то есть при

3

2

2

2

3

3

1

3

3

3 ; r 0 0, r

sin

, r sin

, r

sin

1,

2

6

2

3

2

2

2

2

r 3

sin 0 и так далее. В итоге, график будет иметь вид:

наименьшей при H 4.

Тогда R

4

4

2. Таким

16 8

2 2

образом,

H 4, R

2.

5. Вычислить y

7

функции y

x2

1

. Разделим числитель на знаменатель

x2

2x

и разложим оставшуюся правильную дробь на простые:

y

x2 2x 2x 1

1

2x 1

;

2x 1

A

B

; 2x 1 A x 2 Bx;

x x 2

x x 2

x

x 2

x2 2x

при x 0 отсюда

2A 1,

A 1

; при x 2

отсюда 2b 3,

B

3 .

2

2

Таким образом, y 1

1

3

. Теперь легко найти искомую произ-

2x

2

x 2

водную: y 7

1 2 ... 7 3 1 2 ...

7 7! 1

1

8

2x

2 x

8

8

x

2

8

2

2 x

Теперь вычислим y 7 функции

y

x2

e x .

1

Используя формулу Лейбница при u e x ,

v x2 1,

имеем:

y

7

u

7

v

7u

6

7 6

v

(все остальные члены будут равны 0);

2!

v

y 7 e x

x2

7e x 2x 21e x

2 e x

x

2 1 14x 42

e x

x2 14x

1

41

6. Используя формулу Тейлора 2-ого порядка, вычислить приближенно

5

и

доказать, что при этим погрешность r

допускает оценку

r

1

10

5

4 1 2

1

1

2

4

1

Далее используем формулу

f

x 1 x

1 x

x2 r,

1 ,

1

2!

в которой

x

2

4

1

1

3

c

1

2

3

5

1

3

è

r f

x3

1

c

x3

2

2

2

1 c

2

3!

3!

4

3!

3

1

1

,

3 24

26

1 c 5

210

1 c 5