Райцин / СИДЗ_1 (высшая матеиатика)

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

2

1

ln 1 x

а) lim xln

arctgx

; б)

lim

.

x

x 0

x

3. Построить график функции в полярной системе координат

r 1 cos

.

3

5.

Вычислить y 18 функции y xln

3

x

.

3

x

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора: sin10 с точностью до 10 6 .

t

2

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x ln 1

в точке

y t arctgt

t0 1 и вычислить yxx x0 .

x y

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции:

x .

x y

ln x x 1 ex 1

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

lim

.

2 x 1

3

x 1

10. Доказать, что функция f x , где f x x 4 2

x 2

2 , имеет на

промежутке 2;4 два корня.

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim x

2arcsin

x /

x2 1

; б) lim sin 2x 1/lnsin x .

x

x 0

2.

Провести исследование и построить график функции: y arcsin

4x

.

4 x2

3.

Построить график функции в полярной системе координат r

2

; 0;2

5.

Вычислить y 19 функции y xln x2 3x 2 .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора: cos50 с точностью до 10 5 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x cos 2t

в точке

2 / cos2 t

y

t0

и вычислить yxx x0 .

4

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y2 2 2 px .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

lim

2xex 2

x3 6x2 10x

.

x

2

2

x 2

10. Написать формулу Коши для функций f x x2

и g x

x , и найти c на

.

1;4

Вариант 20

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1

1

lim 1 x ln x .

а) lim

; б)

2

x 0 xarctgx

x

x 0

x ln 1 3

x .

2.

Провести исследование и построить график функции y 3

5.

Вычислить y 20 функции

y x3 cos x .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора: 3 30 с точностью до 10 4 .

2

/ t

2

1

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой x 1

t

в

y t / t2

1

а) lim

2x 2

1 x 1 x 1x

2

; б) lim

.

2

cos

x

e

x

x 0

5. Вычислить y 21

функции y 2xcos2 x / 3 .

t

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x e

в точке

t0 0 и вычислить yxx x0 .

y arcsin t

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x2 y2

2 .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ln 1 x2 x2e x2

.

x 0

x3

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1

а) lim x3 ln2 x ; б)

lim x

ln shx

.

x 0

x 0

x2 1 .

2.

Провести исследование и построить график функции y ln x

3.

Построить график функции в полярной системе координат r 2

1 cos .

1

arctgx

3x

2

3

x

1 x

а) lim

4

; б)

lim

.

3

x

x 0

x

x

5.

Вычислить y 23 функции y

x

.

1

5x

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: sin x x

x3

x5

,

x

1.

3!

5!

x arctgt

в точке

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

t0 1 и вычислить yxx x0 .

y t2

/ 2

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ex ey y x .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

ln 1 x

xe x

lim

.

x2

x 0

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

arctg x 1

; б)

lim

2x cos x .

x 1

x2 x 2

x 2

5.

Вычислить y

24

функции

y

x2

.

1

2x

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

cos x 1

x2

x4

x6

,

x

0,5 .

2!

4!

6!

7.

x tgt

в точке

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

y 1 / sin 2t

t0 и вычислить yxx x0 .

3

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y ln y x .

ex ln 1 x 2

e x

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

.

x2

x 0

на 1;2 .

10. Написать формулу Лагранжа для функции f x x3

5 и найти c

Вариант 25

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim arcsin x arctgx

; б)

lim

tgx cos x .

2

x 0

ln 1 x

x 2

2.

Провести исследование и построить график функции y ln x

2

1

1

.

x2

1

Вычислить y

3

x/2

3

5.

функции

y e

cos

x .

2

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

tgx x

x3

,

x

0,1.

3

x cost sin t

в точке

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

y sin 2t

t0 и вычислить yxx x0 .

2

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y cos(x y) .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ln 1 2x 2x2

sin 2x

.

x3

x 0

Вариант 26

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1

а) lim

1

; б)

lim xx .

e

x

1

x 0 tgx

x 0

2.

Провести исследование и построить график функции

y

ln x

.

x

5.

Вычислить y 3 функции y e2 x sin2 x .

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: ln 1 x x

x2

x3

x4

,

x

0,1.

2

3

4

3

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x t

в точке

t0 и вычислить yxx x0 .

y sin t

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x2 3xy y2 1.

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ex

1 x

.

1 x cos

x

x 0

10. Написать формулу Коши для функций

f x x2 2x 3

и

g x x3 7x2 20x 5 , и найти c на 1;4 .

11. По графику функции построить график ее первой производной

3. Построить график функции в полярной системе координат r

1 2sin 2 .

5.

Вычислить y 4 функции

y x2 sin2 x .

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы:

1 x 1

x

x2

x3

,0 x 0,2 .

2

8

16

t

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x

в точке

t0

26

t

y

3

и вычислить yxx x0 .

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ey 4x 7 y .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

xcos x arctgx

.

3

x 0

ln 1 x

10. Написать формулу Лагранжа для функции f x

3x3 3x и найти c на

0;1 .