Райцин / СИДЗ_1 (высшая матеиатика)

2tg3x 6tgx

2

x

а) lim

; б) lim

arctgx .

3arctgx arctg3x

x 0

x

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x sin t

в точке

y 1 / cost

t0 и вычислить yxx x0 .

3

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x y ex y .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

xsin x 2

x2 2x

.

x 2

3

x 2

Вариант 9

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

tgx x

; б) lim 1 x ln x .

arcsin x ln 1 x

x 0

x 1

2.

Провести исследование и построить график функции: y xln x .

3.

Построить график функции в полярной системе координат r 1 sin 2 .

cos x .

5. Вычислить y 9 функции y 1 x2

6. Вычислить с помощью формулы Тейлора 4 83 с точностью до 10 3 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x 2ln tgt

в точке

y tgt ctgt

t0 и вычислить yxx x0 .

4

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y 3 xey .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

xsin x ex2

1

.

x4

x 0

а) lim

tgx x

; б) lim

ln

x e

1

x3

ln3 1 x

x 0

x 0

5.

Вычислить y 10 функции y

1 x

.

x

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора 5 250 с точностью до 10 3 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x t cost

в точке

y t sin t

t0 и вычислить yxx x0 .

2

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y x ln y .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2xex 1

x3 x

.

x

1 3

x 1

10.

Написать формулу Коши для функций f x sin x

и g x cos x , и найти c

на 0;

.

2

11.

По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 11

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim sin2 2x 2x

; б) lim

2

arctgx 1x .

x 0 x arcsin x

x

x

2.

Провести исследование и построить график функции: y

.

ln x

3.

Построить график функции в полярной системе координат

r

2sin 2 .

5. Вычислить y 11

функции y x3 ln x .

Вариант 12

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

2x4 3x3 4x2 9x 4

; б) lim 1 cos x x .

x 1

3x4 5x3 3x2 3x 2

x 0

ex

2. Провести исследование и построить график функции: y

.

x 1

5.

Вычислить y 12 функции y x 1 2x 1 .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора sin850 с точностью до 10 3 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

3

1

в точке

x t

y t2

t 1

t0 1 и вычислить yxx x0 .

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: arctg(x y) x .

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

ln x x 1

; б)

lim arcsin x 1 / ln x .

x 1

x xx

x 0

2.

Провести исследование и построить график функции: y x ln x .

3.

Построить график функции в полярной системе координат r 2 sin

.

2

2

x 1 ln t / t

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в

2ln t

/ t

y 3

точке t0 1 / e и вычислить yxx x0 .

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции:

x

y a .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x2

sin2

x

.

x4

x 0

10.

В какой точке касательная к параболе y 4 x2 параллельна хорде, соеди-

няющей точки A 2;0 и B 1;3 ?

11.

По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 14

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

x4 x3 3x2 5x 2

; б)

lim ctgx 1 / ln x .

x 1

x4 2x3 2x 1

x 0

2.

Провести исследование и построить график функции: y ex x .

3.

Построить график функции в полярной системе координат r 1 cos .

5.

Вычислить y 14 функции y 2x 1 23x 32 x .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора ln1,3с точностью до 10 3 .

2

x 1 t / t

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в

2 / t

y 3 / 2t2

точке t0 4 и вычислить yxx x0 .

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y x ln y .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ln 1 x xex

.

x2

x 0

Вариант 15

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

ln 1 cos x

sin x

x 3

а) lim

; б) lim

ln tgx

x

x 0

x 0

2.

Провести исследование и построить график функции: y x e x .

3.

Построить график функции в полярной системе координат r 1 cos

.

2

5.

Вычислить y 15 функции y 3 2x 2 e2 3x .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора arctg0,8 с точностью до 10 3 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

2

t

в точке

x cos

y tg2t

t0 и вычислить yxx x0 .

4

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ye y

ex 1 .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ln 1 x e x 1

.

x3

x 0

10. Написать формулу Лагранжа для функции f

x

ln x и найти c

.

на 1;2

Вариант 16

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

3 ln x

; б) lim 4 x tg x / 6 .

3ln sin x

x 0 2

x 3

ex

2.

Провести исследование и построить график функции:

y

.

ex 1

3.

Построить график функции в полярной системе координат

r 1 cos 2 .

10.

Написать формулу Коши для функций f x x2 2

и g x x3 1, и найти c

.

на 1;2

11.

По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 17

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1/ x2

.

а) limsin x ln ctgx ; б) lim cos x

x 0

x 0

1

Провести исследование и построить график функции: y x 2

2.

e x .

3.

Построить график функции в полярной системе координат r 1 cos3 .

4.

На прямой l : y 3x 2 , найти такую точку C , чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до прямой l1 : x y 1 0 ,

и точки

P2 6;3

была

наименьшей.

5.

Вычислить y 17 функции y ln x 1 2 x .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора: 10

с точностью до 10 3 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x t sin t

в точке

y 2 cost

t0 и вычислить yxx x0 .

3

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ln x2 e2 e2 y .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2

1 x 2 x

.

10. На интервалах 1;1 и 1;2

x 0

x2

найти точки, в которых касательная к графику

функции f x

горизонтальна.

x2

1 x 2