![](/user_photo/70644__xXXN.png)
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU1x1.jpg)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский технический университет связи и информатики Кафедра математического анализа
СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ
по темам
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Москва 2010
1
План УМД 2009/2010 уч. г.
СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ
по темам
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Составители: Ю.Л.Александров, ст. преподаватель Р.В. Арутюнян, канд. физ-мат наук, доцент Е.В. Ильина, ст. преподаватель
А.Р. Лакерник, канд. физ-мат наук, профессор И.А. Надежина, ст. преподаватель А.М. Райцин, канд. техн. наук, доцент
Издание утверждено Советом ОТФ-1.Протокол № 7 от 18.03.2010г.
Рецензент: Данилов В.Г., доктор физ.мат. наук, профессор
2
СОДЕРЖАНИЕ
1.Варианты контрольных заданий по дифференциальному исчислению… 4
2.Решение типового варианта по дифференциальному исчислению.…….. 34
3.Варианты контрольных заданий по интегральному исчислению.……….42
4.Решение типового варианта по интегральному исчислению..…….……..72
3
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU4x1.jpg)
1. Варианты контрольных заданий по дифференциальному исчислению.
|
|
|
Вариант 1 |
|
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|||
|
а) lim |
x50 50x 49 |
; б) lim 2x 1 x/ x2 1 |
|
|
x100 100x 99 |
|
||
|
x 1 |
x 1 |
x2 x 5 . |
|
2. |
Провести исследование и построить график функции: y 3 |
|||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат |
r 1 sin . |
4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.
5. Вычислить y 15 функции |
y |
|
x2 |
|
sin x . |
|
x 1 |
3
6.Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно 1,012 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 625 10 10
7. |
|
|
|
|
3 |
t |
|
в точке |
|
Составить уравнения касательной и нормали к кривой x 2sin |
|
|
|||||||
|
|
|
y 2cos3 t |
|
|
||||
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислить yxx x0 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: sin y 7x 3y . |
||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
e x2 |
cos |
|
|
2x |
. |
||
|
x4 |
|
|
|
|
||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
10.Известно, что ex ex для всех x . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду?
11.По графику функции построить график ее первой производной
4
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU5x1.jpg)
Вариант 2
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|
|||
|
а) lim |
5x3 x 2x |
; б) |
lim sin x tg2 x . |
|
|
|
|
|||
|
x 1 |
5 x2 1 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y 3 |
x3 3x . |
|||
3. |
Построить график функции в полярной системе координат |
r 1 sin . |
4.В трапеции три стороны имеют длину a . Какую длину должна иметь четвертая сторона, чтобы площадь была максимальной?
ex .
6.Используя формулу Тейлора 2 го порядка, вычислить приближенно значение cos610 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
оценку: |
|
|
|
|
|
. |
||
|
6 |
180 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x 3 cost |
||
|
|
|||
|
|
|
y sin t |
|
|
t0 и вычислить yxx x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x4 y4 |
|||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
cos2 x e x2 |
. |
|
|
x4 |
|||
|
x 0 |
|
|
10.В формуле Лагранжа определить значение c для функции f x 4x3 5x2 x 2 на отрезке 0;2 .
11.По графику функции построить график ее первой производной
вточке
1.
5
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU6x1.jpg)
|
|
|
|
Вариант 3 |
1. |
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
|||
|
а) lim |
ln 2arccos x / |
; б) |
lim x 1 x 1 . |
|
|
|||
|
x 0 |
ln 1 x |
x 1 |
|
|
|
|
||
2. |
Провести исследование и построить график функции: y x 3 x . |
3.Построить график функции в полярной системе координат r 0 r 2sin 2 .
4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольшую полную поверхность.
5. |
Вычислить y 5 |
функции y e x sin x . |
|||||||
6. |
Используя формулу Тейлора 4 го порядка, вычислить приближенно значение |
||||||||
|
sin100 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую |
||||||||
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
оценку: |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
120 18 |
|
|||
|
|
|
|
|
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
t |
cost |
в точке |
x e |
|
|||
|
y et sin t |
|
||
t0 0 и вычислить yxx x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
y |
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: |
x2 y2 |
e |
x . |
|||||
|
|||||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2 sin2 |
x 2cos x |
. |
|
|
|
||
|
x4 |
|
|
|
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
10.Применима ли теорема Ролля к функции f x 1 3 x2 на отрезке 1;1 ?
11.По графику функции построить график ее первой производной
6
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU7x1.jpg)
Вариант 4
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
|
xx 1 |
1/ |
x e |
|
|
а) lim |
|
|
; б) lim ln x |
|
. |
ln x |
|
||||
x 1 |
x e |
|
|
2.Провести исследование и построить график функции: y
3.Построить график функции в полярной системе координат
x 2
x2 1
r 2cos 2 .
4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольший объем.
5. Вычислить y 10 |
функции y x log2 x . |
6.Используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно
значение e и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 1921 .
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
2t t |
2 |
в точке |
||
x |
|
||||||
|
|
|
y |
3t t3 |
|
||
|
t0 2 и вычислить yxx x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y x arctgy . |
||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
xex 1 |
x2 |
. |
|
|
|
|
x 1 2 |
|
|
||||
|
x 1 |
|
|
|
|
10.Написать формулу Лагранжа для функции f x arctgx и найти c на 0;1 .
11.По графику функции построить график ее первой производной
7
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU8x1.jpg)
Вариант 5
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
xarcsin x2 |
; б) lim |
1 |
x |
xsin x . |
|
xcos x sin x |
||||||
x 0 |
x 0 |
|
|
2.Провести исследование и построить график функции: y 3 x 2 2
3.Построить график функции в полярной системе координат r 0
3 x 2 2 . r sin 2 .
4.На прямой l : y 2x 1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов
расстояний от неё до двух прямых: l1 : x y 3 0 , и l2 : x y 5 0 , была наименьшей.
5. Вычислить y 100 функции y x2 shx .
6.Используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно значение ln 54 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую
оценку: r 10241
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой x t sin t |
в точке |
|||
|
|
|
y 2 cost |
|
|
|
t0 и вычислить yxx x0 . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ex y xy . |
|
|
||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
2cos x xsin x 2 |
. |
||
|
|||||
|
|
x 0 |
x4 |
|
|
10. |
Написать формулу Коши для функций f x x3 и g x x2 , и найти c . |
||||
11. |
По графику функции построить график ее первой производной |
|
|
8
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU9x1.jpg)
Вариант 6
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim |
x 1 ln 1 x x |
|
ex x 1 |
||
x 0 |
1
; б) lim sin x x2 . x 0 x
2.Провести исследование и построить график функции: y 3 x2x 1 .
3.Построить график функции в полярной системе координат r 0 r sin 3 .
4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.
5. Вычислить y |
3 |
функции |
y |
x2 |
x 1 |
в точке x 0 . |
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
x 1 |
|||||
|
|
|
|
|
6.Cчитая, что ln10 2,30258 и используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно значение ln11 и доказать, что при этом погрешность
r допускает нижеследующую оценку: r 0,25 10 4 .
|
x 1 / t |
|
|
|
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
|
|
|
в точке |
|
t2 |
|
||
|
y 1 / 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
t0 1 и вычислить yxx x0 . |
|
|
|
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y tg(x y) . |
|
||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
ln 1 x sin x 0,5x2 |
. |
|
x3 |
||||
|
x 0 |
|
10.На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A 1;10 и B 2; 44 .
11.По графику функции построить график ее первой производной
9
![](/html/70644/137/html_heoeGxD1BI._VHs/htmlconvd-psTBbU10x1.jpg)
Вариант 7
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: |
||||
а) lim |
ln 1 x / 1 x 2x |
; б) |
lim |
ln x x . |
x 0 |
x sin x |
|
x 0 |
|
2.Провести исследование и построить график функции: y x2 1 .
x2 1
3.Построить график функции в полярной системе координат r 0 r cos 2 .
4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.
5. Вычислить |
y |
7 |
|
функции y |
1 x2 |
. |
|
|
1 x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
6.Используя формулу Тейлора 2 го порядка, вычислить приближенно значение функции 1,5 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 1281 .
|
|
|
|
t |
|
|
|
7. |
Составить уравнения касательной и нормали к кривой |
x |
|
|
в точке |
||
|
1 / |
t |
1 |
||||
|
|
|
y |
|
|||
|
t0 2 и вычислить yxx x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x3 y3 3xy . |
||||||
9. |
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
x 2 ln x 1 |
. |
||||
|
|||||||
|
x 2 |
x 2 2 |
|
|
|||
10. Написать формулу Лагранжа для функции f x x43 |
и найти c на 1;1 . |
||||||
11. По графику функции построить график ее первой производной |
|
|
|
10