Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Райцин / СИДЗ_1 (высшая матеиатика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.01.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики Кафедра математического анализа

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ

по темам

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Москва 2010

План УМД 2009/2010 уч. г.

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ

по темам

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Составители: Ю.Л.Александров, ст. преподаватель Р.В. Арутюнян, канд. физ-мат наук, доцент Е.В. Ильина, ст. преподаватель

А.Р. Лакерник, канд. физ-мат наук, профессор И.А. Надежина, ст. преподаватель А.М. Райцин, канд. техн. наук, доцент

Издание утверждено Советом ОТФ-1.Протокол № 7 от 18.03.2010г.

Рецензент: Данилов В.Г., доктор физ.мат. наук, профессор

СОДЕРЖАНИЕ

1.Варианты контрольных заданий по дифференциальному исчислению… 4

2.Решение типового варианта по дифференциальному исчислению.…….. 34

3.Варианты контрольных заданий по интегральному исчислению.……….42

4.Решение типового варианта по интегральному исчислению..…….……..72

1. Варианты контрольных заданий по дифференциальному исчислению.

			Вариант 1
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	а) lim	x50 50x 49	; б) lim 2x 1 x/ x2 1
	а) lim	x100 100x 99	; б) lim 2x 1 x/ x2 1
	x 1	x100 100x 99	x 1	x2 x 5 .
2.	Провести исследование и построить график функции: y 3			x2 x 5 .
3.	Построить график функции в полярной системе координат			r 1 sin .

4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.

5. Вычислить y 15 функции	y		x2		sin x .
				x 1

6.Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно 1,012 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 625 10 10

7.					3	t		в точке
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой x 2sin					t		в точке
			y 2cos3 t
	t0
	t0	и вычислить yxx x0 .
	3
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: sin y 7x 3y .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim		e x2	cos			2x		.
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim			x4					.
		x 0		x4

10.Известно, что ex ex для всех x . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 2

1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	а) lim	5x3 x 2x	; б)	lim sin x tg2 x .

	x 1	5 x2 1
				x 2
2.	Провести исследование и построить график функции: y 3				x3 3x .
3.	Построить график функции в полярной системе координат				r 1 sin .

4.В трапеции три стороны имеют длину a . Какую длину должна иметь четвертая сторона, чтобы площадь была максимальной?

ex .

6.Используя формулу Тейлора 2 го порядка, вычислить приближенно значение cos610 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую

	r	1		3

оценку:				.
		6	180


7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой		x 3 cost
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой
			y sin t
	t0 и вычислить yxx x0 .
	t0 и вычислить yxx x0 .
	3
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x4 y4
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	cos2 x e x2		.
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim		x4	.
	x 0		x4

10.В формуле Лагранжа определить значение c для функции f x 4x3 5x2 x 2 на отрезке 0;2 .

11.По графику функции построить график ее первой производной

вточке

				Вариант 3
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	а) lim	ln 2arccos x /	; б)	lim x 1 x 1 .
	а) lim		; б)	lim x 1 x 1 .
	x 0	ln 1 x		x 1
		ln 1 x
2.	Провести исследование и построить график функции: y x 3 x .

3.Построить график функции в полярной системе координат r 0 r 2sin 2 .

4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольшую полную поверхность.

5.	Вычислить y 5			функции y e x sin x .
6.	Используя формулу Тейлора 4 го порядка, вычислить приближенно значение
	sin100 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую
		r	1		5

	оценку:				.

			120 18

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой		t	cost	в точке
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой	x e		cost	в точке
	y et sin t
t0 0 и вычислить yxx x0 .
t0 0 и вычислить yxx x0 .

						arctg	y
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции:		x2 y2	e		arctg	x .
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции:		x2 y2	e			x .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	2 sin2	x 2cos x		.
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim		x4		.
	x 0		x4

10.Применима ли теорема Ролля к функции f x 1 3 x2 на отрезке 1;1 ?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 4

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

	xx 1	1/	x e
а) lim		; б) lim ln x		.
а) lim	ln x	; б) lim ln x		.
x 1	ln x	x e

2.Провести исследование и построить график функции: y

3.Построить график функции в полярной системе координат

x 2

x2 1

r 2cos 2 .

4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольший объем.

5. Вычислить y 10

функции y x log2 x .

6.Используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно

значение e и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 1921 .

7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой			2t t		2	в точке
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой		x	2t t			в точке
			y	3t t3
	t0 2 и вычислить yxx x0 .
	t0 2 и вычислить yxx x0 .
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y x arctgy .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	xex 1		x2	.
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim		x 1 2		.
	x 1		x 1 2

10.Написать формулу Лагранжа для функции f x arctgx и найти c на 0;1 .

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 5

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim	xarcsin x2	; б) lim	1	x	xsin x .
	xcos x sin x
x 0		x 0

2.Провести исследование и построить график функции: y 3 x 2 2

3.Построить график функции в полярной системе координат r 0

3 x 2 2 . r sin 2 .

4.На прямой l : y 2x 1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до двух прямых: l1 : x y 3 0 , и l2 : x y 5 0 , была наименьшей.

5. Вычислить y 100 функции y x2 shx .

6.Используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно значение ln 54 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую

оценку: r 10241

7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой x t sin t			в точке
			y 2 cost
	t0 и вычислить yxx x0 .
		2
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ex y xy .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim		2cos x xsin x 2		.

		x 0	x4
10.		Написать формулу Коши для функций f x x3 и g x x2 , и найти c .
11.		По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 6

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

	а) lim	x 1 ln 1 x x
	а) lim	ex x 1
	x 0	ex x 1

; б) lim sin x x2 . x 0 x

2.Провести исследование и построить график функции: y 3 x2x 1 .

3.Построить график функции в полярной системе координат r 0 r sin 3 .

4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.

5. Вычислить y	3	функции	y	x2	x 1	в точке x 0 .

				x2	x 1

6.Cчитая, что ln10 2,30258 и используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно значение ln11 и доказать, что при этом погрешность

r допускает нижеследующую оценку: r 0,25 10 4 .

	x 1 / t
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой			в точке
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой		t2	в точке
	y 1 / 1	t2

	t0 1 и вычислить yxx x0 .
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y tg(x y) .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	ln 1 x sin x 0,5x2	.
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	x3	.
	x 0	x3

10.На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A 1;10 и B 2; 44 .

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 7

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) lim	ln 1 x / 1 x 2x	; б)	lim	ln x x .
x 0	x sin x		x 0

2.Провести исследование и построить график функции: y x2 1 .

x2 1

3.Построить график функции в полярной системе координат r 0 r cos 2 .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.

5. Вычислить	y	7	функции y	1 x2	.
				1 x2

6.Используя формулу Тейлора 2 го порядка, вычислить приближенно значение функции 1,5 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 1281 .

				t
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой		x				в точке
				1 /	t	1
			y
	t0 2 и вычислить yxx x0 .

8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x3 y3 3xy .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	x 2 ln x 1					.

	x 2		x 2 2
10. Написать формулу Лагранжа для функции f x x43			и найти c на 1;1 .
11. По графику функции построить график ее первой производной

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Райцин

#
16.01.202367.07 Кб58вопросы к экз.doc
#
16.01.2023766.72 Кб68Матан ответы тест.pdf
#
16.01.20231.39 Mб105Практикум 1. 2-е.pdf
#
16.01.20235.12 Mб73Практикум 2 часть.pdf
#
16.01.20231.22 Mб72СИДЗ_1 (высшая матеиатика).pdf
#
16.01.2023109.57 Кб68Таблица неопределенных интегралов.doc
#
16.01.2023123.91 Кб65таблица производных и дифференциалов.pdf