Шпаргалка Раздел 4 Математическая статистика

1. Выборка

Выборка – это последовательность независимых одинаково распределенных с.в., распределение каждой из которых совпадает с распределением генеральной совокупности.

n – объем выборки – число элементов в выборке

2. Генеральная совокупность.

Генеральная совокупность – это с.в. X(ω), т.е. множество всех возможных ее значений или все теоретически возможные результаты наблюдения (опыта)

3. Реализация выборки.

Реализация выборки – это конкретные значения выборки полученные в результате наблюдений: .

Выборочный метод статистического исследования предполагает, что на основе выборки можно сделать заключение о генеральной совокупности.

4. Ранг элемента выборки.

Ранг – номер элемента в вариационном ряду (если есть несколько одинаковых элементов, то считается средний ранг).

5. Вариационный ряд выборки

Ранжирование – расположение результатов наблюдения в порядке неубывания. Результат ранжирования – вариационный ряд: x₍₁₎,…,x_(n), x₍₁₎= x_i, x_(n)= x_i,

6. Размах выборки и интервал варьирования

– размах выборки

– интервал варьирования

7. Выборочное среднее

Выборочное среднее :

Для группированных данных :

– центр i-го интервала группировки.

8. Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия:

Для группированных данных:

9. Несмещенная выборочная дисперсия

Несмещенная (исправленная выборочная дисперсия:

10. Эмпирическая функция распределения

Статистическая (эмпирическая, выборочная) функция распределения с.в. X – это функция , равная доле таких значений , что :

где – число наблюдений <

11. Полигон частот

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (

12. Гистограмма

Гистограмма частот – столбчатая диаграмма с основаниями длины h и высотами

13. Выборочные квантили

14. Статистическая оценка

Оценкой параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данных выбора, т.е. оценка есть некоторая функция от результатов наблюдений (статистика): = .

15. Свойства точечных оценок

1. Состоятельность

2. Несмещенность

3. Эффективность

16. Состоятельность оценки

Оценкой параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при , т.е.

17. Несмещенность оценки.

Оценка параметра называется несмещенной, если она в среднем совпадает с , т.е. М

18. Эффективность оценки.

Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок параметра

19. Метод моментов.

Идея: приравнивание теоретических и выборочных моментов.

Если необходимо оценить параметров получим систему:

MX = =

DX = =

…

M(

20. Метод максимального правдоподобия

Идея: найти максимум функции правдоподобия, т.е. подобрать такие значения параметров распределения, при которых выборка наиболее правдоподобна

21. Интервальное оценивание

При интервальном оценивании указывается интервал, в который с заданной вероятностью попадает параметр

≤

Обычно – ≤ ≤ +

Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность называется доверительной вероятностью или надежностью оценки ( обозначается  ƴ), величина α = 1 - ƴ - уровнем значимости оценки.

P( ≤ ) = 1 – α = ƴ

Обычно уровень значимости α = 0,01 ; 0,05 ; 0,1

22. Уровень значимости при интервальном оценивании

Надёжностью оценки (обозначается ), величина =1- - уровнем значимости оценки.

P( ≤ ) = 1 – α = ƴ

Обычно уровень значимости =0,01;0,05;0,1.

23. Статистическая гипотеза

Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины

24. Ошибки первого и второго рода при проверке гипотезы

Ошибка первого рода – отвергается нулевая гипотеза, когда она на самом деле верна. P(H₁|H₀)=α

Ошибка второго рода – отвергается альтернативная гипотеза, когда она на самом деле верна. P(H₀|H₁)=β

25. Общая схема проверки гипотез

1. Располагая выборкой Х₁, …, Х_n, формулируют нулевую (Н₀) и альтернативную (Н₁) гипотезы;

2. Назначается уровня значимости α (стандартные значения α: 0.1, 0.05, 0.01);

3. Выбирается статистика критерия T_n=T(Х₁, …, Х_n) (тип критерия). Обычно из перечисленных ниже: U – нормальное распределение, X² – распределение Пирсона, t – распределение Стьюдента, F – распределение Фишера-Снедекора;

4. По статистике критерия T_n­ определяют критическую область S (и ). Для ее определения достаточно найти критическую точку t_кр, т.е. границу (или квантиль), отделяющую область S от ;

5.Сравнение табличных и вычисленных значений статистики критерия.

26. Критерий согласия Х² Пирсона

Эта статистика при имеет Х² распределения с k=m-r-1 степенями свободы, где m – число групп (интервалов) выборки, r – число параметров предполагаемого распределения.

27. Критерий согласия Колмогорова

Является наиболее простым критерием согласия. Он связывает эмпирическую функцию распределения F^*_n(x) с функцией F_X(x) непрерывной случайной величины Х. Гипотезы: Н₀:F_X(x)=F₀(x) Н₁:F_X(x)≠F₀(x)

Статистика Колмогорова имеет вид:

D_n= |F^*_n(x)-F₀(x)|

Эта статистика, умноженная на при имеет распределение Колмогорова независимо от распределения с.в. Х: , где К(х) – функция распределения Колмогорова, для которой составлена таблица, которую можно использовать для расчетов уже при n>=20

α	0,1	0,05	0,02	0,01	0,001
x0	1,224	1,358	1,520	1,627	1,950