МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский технический университет связи и информатики»
Кафедра «Теория вероятностей и прикладная математика»
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»
Лабораторная работа 2
Выполнил:
Проверил:
доц. Смирнова Н. И.
Москва, 2022 г.
Задание 1
С помощью критериев согласия Пирсона и Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка из задания 2 лабораторной работы 1 имеет нормальное распределение.
Задание 2
Для выборки из задания 2 лабораторной работы 1 найти интервальные оценки параметров нормального распределения.
Решение задания 1
Заданная выборка:
-
1
7612
2
7888
3
11049
4
11237
5
11688
6
12243
7
17016
8
17306
9
17500
10
18452
11
18946
12
19074
13
20122
14
20193
15
20719
16
20968
17
21955
18
27404
19
28025
20
29626
21
33956
22
34873
23
36813
24
39250
25
39648
26
43799
27
45893
28
58947
29
94697
30
99400
|
[-37; 15261) |
[15261; 30559) |
[30559; 45857) |
[45857; 61155) |
[61155; 76453) |
[76453; 99400] |
|
6 |
14 |
6 |
2 |
0 |
2 |
|
0.2 |
0.47 |
0.2 |
0.07 |
0 |
0.07 |
|
|
|
|
|
0 |
|
ti |
7612 |
22910 |
38208 |
53506 |
68804 |
87927 |
Проверим при уровне значимости α = 0,01 гипотезу H0 .
Объединим интервалы с малыми (частоты меньше 5) частотами. Получим следующий ряд распределения:
|
[-37; 15261) |
[15261; 30559) |
[30559; 43791) |
[43791, 99400] |
|
6 |
14 |
5 |
5 |
|
0.2 |
0.47 |
0.17 |
0.17 |
ti |
7612 |
22910 |
37175 |
71595.5 |
Выборочное среднее:
|
[-37; 15261) |
[15261; 30559) |
[30559; 43791) |
[43791, 99400] |
|
6 |
14 |
5 |
5 |
ti |
7612 |
22910 |
37175 |
71595.5 |
|
30342.15 |
|||
|
516659719.02 |
55236853.62 |
46687839.12 |
1701838886.22 |
Выборочная смещённая дисперсия:
Выборочное стандартное отклонение:
|
[-∞; 15261) |
[15261; 30559) |
[30559; 43791) |
[43791, ∞] |
|
6 |
14 |
5 |
5 |
|
7.26 |
8.94 |
6.066 |
7.734 |
Количество степеней свободы определяется по формуле: k = m – r – 1, где m – количество интервалов (4), r – количество оцениваемых параметров рассматриваемого закона распределения (2).
Зная, что α = 0,01 и k = 1, по таблице находим
При H0 отвергается, а при таких оснований нет.
поэтому H0 о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.
Критерий согласия Колмогорова:
Dn = max{0.042; 0,126; 0.091} = 0,126
При Dn > D0 H0 отвергается, при Dn < D0 нет оснований отвергать гипотезу H0.
0,126 < поэтому гипотезу принимаем.
Расчет в программе Microsoft Excel:
Решение задания 2
Параметры нормального распределения: математическое ожидание и стандартное отклонение.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Для математического ожидания:
α = 1 – γ = 0,01
γ = 0,99
Для γ = 0,99 и 29 (n – 1) степеней свободы по таблицам распределения Стьюдента находим .
Доверительный интервал запишем в виде:
Для стандартного отклонения:
α = 1 – γ = 0.01
γ = 0.99
= 2.58
Расчет в программе Microsoft Excel:
Вывод
С помощью критериев согласия Пирсона и Колмогорова проверил гипотезу о том, что выборка из задания 2 лабораторной работы 1 имеет нормальное распределение. Для выборки из задания 2 лабораторной работы 1 нашел интервальные оценки параметров нормального распределения.