билеты под шпоры

3. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной с.в.

Рассмотрим дискретную двумерную с.в. (X,Y), которая может принимать значения . Тогда закон распределения вероятностей указывает совместную вероятность каждой возможной пары значений:

Причем

4. Доверительный интервал для параметра биноминального определения

Точечная оценка параметра:

Интервальная оценка:

16

1. Схема Бернулли

Схема Бернулли – это последовательность n однородных независимых испытаний, каждое из которых может иметь только два исхода: событие и причем

Наступление события A называется успехом в схеме Бернулли.

Например: подбрасывание игральной кости n раз, событие А={выпадение 3 очков}, событие

2. Медиана распределения

Медиана случайной величины X – есть такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли с.в. X меньше или больше , т.е.

3. Совместная функция распределения многомерной с.в.

С.Ф.Р. двумерной с.в. ( X ,Y ) (или двумерной функцией распределения случайного вектора) называется функция:

4. Уровень значимости при интервальном оценивании

Перед проверкой гипотезы фиксируется некоторая малая вероятность ошибки первого рода α, называемая уровнем значимости критерия.

Уровень значимости α определяет «размер» критической области.

При интервальном оценивании указывается интервал, в который с заданной вероятностью попадает параметр.

Обычно

Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность называется доверительной вероятностью, величина – уровнем значимости оценки.

14

1. Аксиоматическое определение вероятности

Числовая функция P(A), определенная на алгебре событий U называется вероятностью, если выполняются аксиомы:

1. Неотрицательность:

2. Нормированность:

3. Аддитивность:

4. Непрерывность: для любой убывающей последовательности событий такой, что выполняется:

2. Мода распределения

Мода д.с.в. X – это ее наиболее вероятное значение

Мода н.с.в. X с плотностью – это ее значение , при котором функция достигает максимума.

3. Дисперсия функции от случайной величины

Дискретная

где

Непрерывная

4. Метод максимального правдоподобия

Идея: найти максимум функции правдоподобия, т.е. подобрать такие значения параметров распределения, при которых выборка наиболее правдоподобна. Имеет вид:

где – выборка, – предлагаемая плотность или закон распределения с.в.

Ищем максимум функции правдоподобия:

13

1. Независимые события

P(A|B) = P(A) – события независимы, т.е. наступление одного не изменит вероятность наступления другого

2. Математическое ожидание дискретной с.в.

М.О.Д. с.в. X с законом распределения называется число

если этот ряд абсолютно сходится

3. Плотность распределения функции от случайной величины

4. Интервальное оценивание

При интервальном оценивании указывается интервал, в который с заданной вероятностью попадает параметр.

Обычно

Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность называется доверительной вероятностью, величина – уровнем значимости оценки.

11

1. Свойства вероятности

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Функция распределения вероятностей

Функцией распределения вероятностей с.в. X называется функция

Функция распределения может быть построена как для дискретных, так и для непрерывных с.в. и полностью характеризует с.в. с вероятностной точки зрения.

3. Математическое ожидание функции от случайной величины

Для нахождения математического ожидания и дисперсии с.в. , можно воспользоваться формулами

4. Метод моментов

Идея: приравнивание теоретических и выборочных моментов.

Если необходимо оценить параметров получим систему:

Или можно рассматривать не центральные моменты:

9

1. Статистическое определение вероятности

Вероятностью случайного события A называется число, к которому стремиться относительная частота появления события в серии из n однородных независимых испытаний при бесконечно большом числе испытаний:

2. Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина – это случайная величина, множество возможных значений которой несчётно.

Если же множество значений с.в. X заполняет (непрерывно)конечный или бесконечный промежуток на числовой оси, то такая случайная величина называется непрерывной.

3. Дисперсия двумерной непрерывной с.в.

Если (X,Y) – система непрерывных случайных величин

4. Несмещенность точечной оценки

Оценка параметра называется несмещенной, если она в среднем совпадает с , т.е.

Если , то оценка называется смещенной.

Если , то оценка называется асимптотически несмещенной. Требование несмещенности важно при небольшом числе испытаний.

8

1. Классическое и геометрическое определение вероятности

Классическое: Вероятностью случайного события A называется отношение числа m равновозможных исходов, благоприятствующих A к общему числу исходов n.

Геометрическое: Вероятностью случайного события A называется отношение меры области, благоприятствующей A , к мере пространства Ω :

mes(A) – длина, площадь, объем и т.д.

2. Правило «трех сигм»

Т.е. Все значения нормально распределенной с.в. лежат в интервале

3. Математическое ожидание двумерной дискретной с.в.

4. Выборочные квантили

15(6)

1. Правило умножения вероятностей

2. X – дискретная случайная величина,

3. Плотность распределения многомерной с.в.

Называется функция , т.ч.

Таким образом (НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО *наверное*)

4. Полигон частот

Графическое изображения статистического ряда – полигон частот.

27

1. Аксиоматическое определение вероятностей

Числовая функция P(A), определенная на алгебре событий U называется вероятностью, если выполняются аксиомы:

1. Неотрицательность:

2. Нормированность:

3. Аддитивность:

4. Непрерывность: для любой убывающей последовательности событий такой, что выполняется:

2. Экспоненциальное распределение

Моделирует время между двумя последовательными совершениями одного и того же события:

3. Свойства ковариации

4. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального рпспределения при неизвестном математическом ожидании

Где n – объем выборки, является квантилями - распределения, определяемые по таблице квантилей

5

1. Сумма, разность и произведение случайных событий.

Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B (A+B).

Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих A, но не принадлежащих B (A|B).

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих одновременно событиям A и B (AB).

2. Квантиль

Квантилью уровня с.в. X называется решение уравнения:

Если – не единственно, то

3. Независимость случайных величин

C.в. называются независимыми, если

Дискретные с.в. независимы тогда и только тогда, когда

Непрерывные с.в. независимы тогда и только тогда, когда

4. Статистическая оценка

Выборочные характеристики являются статистическими оценками теоретических числовых характеристик: выборочное среднее, выборочная дисперсия, несмещенная выборочная дисперсия, выборочное среднеквадратическое отклонение, выборочные квантили, выборочная ковариация, выборочный коэффицент корреляции, выборочная мода.

28

1. Неравенство Маркова

Если с.в. X принимает неотрицательные значения, то справедливо:

Или

2. Равномерное распределение

Если нет информации о наиболее или наименее вероятных значениях с.в., то она полагается равномерно распределенной с плотностью распределения:

3. Свойства коэффициента корреляции

Свойства

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Если с.в. независимы, то

4. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального рпспределения при известном математическом ожидании

3

1. Пространство элементарных событий.

Множество всех возможных взаимоисключающих элементарных исходов данного пространством элементарных событий и обозначается возможных данного

взаимоисключающих опыта называется

ω Ω={ωi}

2. X – непрерывная случайная величина,

3. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной с.в.

Рассмотрим дискретную двумерную с.в. (X,Y), которая может принимать значения . Тогда закон распределения вероятностей указывает совместную вероятность каждой возможной пары значений:

Причем

4. Эмпирическая функция распределения.

Это функция равная доле таких значений , что

Является оценкой теоретической функции распределения.

30

1. Неравенство Чебышева

Если с.в. имеет конечную дисперсию, то справедливо:

Или

2. Нормальное распределение

Функция распределения стандартного нормального закона имеет вид:

В общем случае:

3. Математическое ожидание двумерной с.в.

4. Эффективность оценки

Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок параметра .

Т.е. оценка эффективна, если ее дисперсия минимальна

Эффективную оценку можно найти в ряде случаев, используя неравенство Рао-Крамера:

2

1. Полная группа событий

Полной группой событий вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них. (пример: противоположные события, несовместные события, сумма вероятностей которых равна 1)

2. Плотность распределения вероятностей

П.Р.В. непрерывной случайной величины (X,Y) называется функция , т.ч.

или

Таким образом

3. Многомерная случайная величина

Многомерная случайная величина – число наступлений каждого из возможных исходов в данной схеме имеет полиномиальное

распределение с законом:

4. Выборочное среднее

Для группированных данных: