Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию  , которая определена по крайне мере на промежутке   (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке  , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье: , где   – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число   называют периодом разложения, а число   – полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем  его подробно: Нулевой член ряда принято записывать в виде  .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения  , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если  , то получаются формулы промежутка  , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений.

Выражение (9) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме   связаны с коэффициентами   и   ряда в тригонометрической форме, и определяются как для положительных, так и для отрицательных частот  . Индекс   в обозначении частоты   указывает номер дискретной гармоники, причем отрицательные индексы соответствуют отрицательным частотам  .

Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме (9) представляет периодические одномерные сигналы   как сумму векторов на комплексной плоскости, вращающихся с положительными и отрицательными частотами. При этом обратим внимание, что в случае вещественного сигнала согласно (9) коэффициенты разложения   для отрицательных частот   являются комплексно-сопряженными соответствующим коэффициентам для положительных частот  . В случае комплексного сигнала это свойство коэффициентов не выполняется ввиду того, что   и   также являются комплексными.

37. Интеграл Фурье.

38. Различные формы интегралов Фурье.

1. в смысле главного значения

2. для чётной

3. lkz ytx`nyjq

39. Преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье.

Преобразование Фурье – это семейство математических методов, основанных на разложении исходной непрерывной функции от времени на совокупность базисных гармонических функций (в качестве которых выступают синусоидальные функции) различной частоты, амплитуды и фазы. Из определения видно, что основная идея преобразования заключается в том, что любую функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусоид, каждая из которых будет характеризоваться своей амплитудой, частотой и начальной фазой.