Потокиотказов

Последовательность отказов, происходящих один за другим в случайные моментывремени,носитназваниепотока отказов. Понятие потока отказов являетсяодним изосновныхприрассмотрениисистемсвосстановлением,ккоторымотноситсябольшинствосистемЖАТ.

Возможны два основных способа задания потокаотказов.Первый способ заключаетсяв изучении некоторого дискретного случайного процесса - числа n отказов на промежуткевремени∆t.Второйспособ заключается в изучении последовательности непрерывныхслучайных наработок междуотказами .

При первом способе задания потока наибольшее распространение в теории и напрактикерасчетовнадежностиполучилпростейшийпоток,обладающийследующимисвойствами: стационарности,ординарностииотсутствияпоследействия.

Стационарностьпотокаозначаетто,чтовероятностьпоявленияnотказовзапромежуток времени ∆t не зависит от положения промежутка на оси времени, а зависиттолько от его длины,т.е.плотность потока появления событий – среднее число отказов вед.времени-постояннавовремени.

Отсутствие последействияхарактеризуется тем, что вероятность появления n отказовза промежуток времени ∆t не зависит от числа и характера возникновения отказов доначала этого промежутка. Иначе говоря, это условие отражает взаимную независимостьсобытий. Число отказов, попадающих на один временной участок, не зависит от числаотказовнадругомучастке.

Ординарностьпотокаозначаетпрактическуюневозможностьодновременногопоявлениядвухиболеесобытий,т.е.событиявозникаютпоодиночке,анегруппами.

Простейший поток, обладающий перечисленными свойствами, называют ещестационарнымпуассоновскимпотоком.

ВТВдоказанапредельнаятеорема,согласнокоторойсуммабольшогочисланезависимыхпотоковпривесьмаобщихусловиях приводитк простейшему.

Каждаясистемасостоитизвесьмабольшогочислаэлементов.Еслинельзявыделить элемент с превалирующимзначением параметрапотока отказов (т.е.потокотказов каждого из элементов мал) и условия эксплуатации неизменны (потокиотказовкаждогоиз элементов независимы и стационарны), то можно предполагать применимостьпростейшегопотокадля описанияотказоввосстанавливаемой системы[1].

Это же утверждение следует и из другой предельной теоремы [2], согласнокоторой,еслиизделиемногократногодействиясостоитиздостаточнобольшогочисланезависимых элементов,имеющих малые интенсивностиотказов,тонезависимо отзаконовраспределениядлительностибезотказнойработыэтихэлементовсуммарныйпоток отказов будет близок к простейшему после некоторого периода времени (периодаприработки).

1. ГнеденкоБ.В., БеляевЮ.К., СоловьевА.Д.Математическиеметодывтеориинадежности.-М.:Наука, -1965. -523 с.

2. ШорЯ.Б.Статистическиеметодыанализаиконтролякачестваинадежности.-М.:Сов.радио,-1962. -551 с.

Таким образом,исходяиз сказанного, можно предположить,что для большинстватехническихсистемпотокотказов-простейший,т.е.обладаетсвойствамистационарности,ординарностии отсутствияпоследействия.

Такоеприближениереальныхпотоковкпростейшемупозволяетвоспользоватьсяследующимисвойствами данного потока.

1. Вероятностьтого,чтонаинтервалевремениtпроизойдетnотказов,определяетсязакономПуассона

n

P(t)(a^n/n!)e^a

(t^n/n!)e^t

(8)

гдеa=t-среднеечислоотказов,приходящеесянаинтервалвремениt

-числоотказоввединицувремени.

2. Вероятностьтого,чтонаучасткевремениt,следующимзаоднимизотказов,непоявитсяни одного отказа(см. Рис.3), равна

отказ

P(t)

t

Рис.3

P(t)e^t

(9)

Ещеоднамодельпотоковчастоиспользуетсяприрасчетехарактеристикинадежности– этопотокЭрланга.

k= 1простейшийпоток

k= 2

k= 3

Рис. 4.

Разрежениепростейшегопотока(отбрасываниенекоторыхсобытий)приводиткпреобразованиюисходного потокавпотокЭрланга.

Сохраненим каждого к-ого события получаем поток Эрланга к-ого порядкаРассмотримпример

Изрис.4видно,чтоеслипотокиобразуютсяпоследовательностьюотказов(к=1),тополучается потокотказов1-гопорядкаилипростейшийпоток.

ПочемупотокиЭрлангавпрактикерасчетанадежностинаходятприменение?

Это объясняется тем, что любые мероприятия по улучшению характеристикнадежности приводяткповышениюрангапотокаотказов.

ДляпотокаЭрлангак-огопорядкааналитическоевыражениепозволяютнайти

1. плотностьвероятностислучайнойвеличины

f_к(t)

(t)^к1

e

(к1)!

t

(10)

2. интенсивностьпотока

_к/k

(11)

3. МОвременимеждудвумяотказами

m_к(t)1/_k

(12)

4. Дисперсию

D(t)1/(k²)

(13)

к k

Приведенныеуравнения12и13 позволяютаппроксимироватьнеизвестныепотокипотокамиЭрланга, еслиизвестны МОи Двремени междуотказами.

Аэтопозволяетоценитьэффективностьмероприятийпоповышениюнадежностивзависимости отувеличения рангакпотока.

Пример.

ОпределитьнаиболееподходящийвидпотокаЭрлангадляпотокасобытийсосреднимизначениями времени междусобытиями

m(t)1/ =2часаидисперсиейD(t)1/(k²)=0,8.

к k к k

Предположим, что это потокЭрлангаk-ого порядка и определим значение k изформул.

_k1/m_к(t)

=0,51/ час

k1/(D(t)²)=5

к k

Следовательно,неизвестныйпотоксобытий–потокЭрлангапятогопорядка.

Такой расчет необходим для того, чтобы улучшить показатели надежности, изменяяранг потока Эрланга. При этом основным показателем должно явиться время междуотказами,котороеувеличиваетсясувеличениемранга.

Такимобразом,представлениеопотокахотказовкакпотоковЭрланговскоготипаможно определить эффективность работы объектов с точки зрения надежности путемувеличениярангапотоков.Чтоприводиткувеличениювременимеждуотказами.